“微积分”在经济中的一些应用举例

李萍

【摘要】现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中.下面列举微积分在经济中的一些应用：（1）导数在边际和弹性理论中的应用；（2）导数在利润最大化问题中的应用；（3）积分在利润最大化问题中的应用；（4）微分方程在经济中的应用.

【关键词】微积分；经济；应用

数学是各个学科得以发展的基础，也是各个学科进行理性、抽象和科学分析问题的重要工具.由于数学高度的抽象性、严谨的逻辑性，造成学生学习的困难.久而久之，就产生了“学数学有什么用”的困惑，所以有必要经过训练和熏陶，使他们建立学习数学的兴趣，树立学习数学的信心[1].

微积分是高等数学的一个重要分支，是进行数学分析的重要基础理论.现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中，微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.

一、导数在边际和弹性理论中的应用

1.函数变化率——边际函数

设函数y=f（x）可导，则导函数f′（x）称为边际函数，它的含义是：当x=x0时，当自变量x产生一个单位的改变时，y近似改变f′（x0）个单位.在西方经济学中，有边际成本、边际收入、边际利润等.

例1 设某产品成本函数C=C（Q）（C为总成本，Q为产量），其变化率C′=C′（Q）称为边际成本，C′（Q0）称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当产量达到为Q0时，生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.

例2 设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R（Q），则R′=R′（Q）称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是：在销售量为Q单位时，再增加一单位产品销售总收入所增量.

例3 设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L（Q），则L′=L′（Q）称为销售量为Q单位时的边际利润.

2.导数与弹性函数

我们先来看一个例子：

经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况，因此先引入下面定义：

定义1[2] 设函数y=f（x）可导，函数的相对改变量

与自变量的相对改变量Δxx之比Δy/yΔx/x，称为函数f（x）从x到x+Δx两点间的弹性（或相对变化率）.而极限

称为函数f（x）在点x的弹性（或相对变化率），记为

注：函数f（x）在点x的弹性EyEx反映随x的变化f（x）变化幅度的大小，即f（x）对x变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上，EExf（x）表示f（x）在点x处，当x产生1%的改变时，函数f（x）近似地改变EExf（x）%，在应用问题中解释弹性的具体意义时，通常略去“近似”二字.

定义2[2] 设需求函数Q=f（P），这里P表示产品的价格，于是，可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下：

η=η（P）=limΔP→0ΔQ/QΔP/P=limΔP→0ΔQΔP·PQ=P·f′（P）f（P）.

注：一般地，需求函数是单调减少函数，需求量随价格的提高而减少（当ΔP>0时，ΔQ<0），故需求弹性一般是负值，它反映产品需求量对价格变动反映的强烈程度（灵敏度）.

用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即

R

知：

（1）若|η|<1，需求变动的幅度小于价格变动的幅度.R′>0，R递增.即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少.

（2）若|η|>1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R′<0，R递减.即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加.

（3）若|η|=1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R′=0，R取得最大值.

综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化.

二、导数在利润最大化问题中的应用

在微分学中，通过对已知的函数进行求导后，就可以得到原函数的导数，即边际函数.而在经济学之中，边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中，企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.

例4 一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2，总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利润L.

三、积分在利润最大化问题中的应用

例5 设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′（x）=0.4x+2（元/单位），求总成本函数C（x）.如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x），并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.

解 因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在[0，x]上的定积分，又已知固定成本为20元，即C（0）=20，所以每天生产x多少单位时总成本函数为

设销售x单位商品得到的总收益为R（x），根据题意有R（x）=18x，

所以总利润函数

由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40，而L″（40）=-0.4<0，所以每天生产40单位时才能获最大利润，最大利润为L（40）=300（元）.

四、微分方程在经济中的应用

例6 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求需求量Q对价格P的函数关系.解 根据弹性公式得，PQQ′=-Pln3，

化简得1QQ′=-ln3，

两边积分得∫1QQ′dP=∫-ln3dP，

其中，C=eC1，由初始条件P=0时，Q=1200，得C=1200，

所以，需求量Q对价格P的函数关系Q=1200×3-P.

结 语

在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下，微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来，通过本文可以看出，利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.

【参考文献】

[1]张柳霞，朱志辉，方小萍.数学建模思想在高等数学教学改革中的作用[J].中华女子学院学报，2011（3）：124-128.

[2]曾令武，刘晓燕.经济应用数学简明教程[M].广州：华南理工大学出版社，2012：67-74.