问题驱动 有效教学——《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计及启示

☉浙江省宁波市惠贞书院 姚荣峰

问题驱动 有效教学
——《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计及启示

☉浙江省宁波市惠贞书院 姚荣峰

在数学教学中，数学问题是引发学生思考与探究的驱动力.有了问题，学生的好奇心才能被激发；有了问题，学生的思维才能启动；有了问题，学生的探究才真正有效.通过问题，才能把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机结合起来，实现知识的逻辑结构向学生的认知结构的转化.一个“好”的问题设计有利于更好地为学生的探究学习创设和谐的气氛和情境，有利于学生的主动学习与思维发展.课堂目标的实现与教学效率很大程度上取决于问题设计.下面以笔者参加浙江省宁波市“一师一优课，一课一名师”活动时对《二元一次不等式（组）与平面区域》的教学为例谈谈自己的感悟，以求教于同行.

一、教材分析

1.教材的地位和作用

线性规划是高中数学的重要内容，是课标重视知识应用的体现.二元一次不等式表示平面区域是线性规划三个课时的第一个课时.它是学生对不等式、直线方程知识的深化和综合应用，也是后续学习“图解法”解决简单线性规划问题的基础，并有助于下一章“点与圆锥曲线的位置关系”的学习和理解，起着承上启下的作用.

本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了数形结合、分类讨论、化归与转化的数学思想.

2.教学的重点、难点和关键

教学重点：用二元一次不等式表示平面区域的方法.

教学难点：探究二元一次不等式（组）所表示的平面区域的过程；正确画出二元一次不等式表示的平面区域.

关键：运用数形结合的思想方法，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述几何图形，用代点法并结合多媒体课件动态演示突破难点.

3.教学目标

（1）知识与技能：经历从实际问题中抽象出出二元一次不等式（组）的过程；了解二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式表示的平面区域；学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力.

（2）过程与方法：通过学生合作探究、独立思考、自由讨论、情景设置等方法帮助学生在原有经验基础上对新知识进行主动建构；引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，突破本节难点.

（3）情感、态度和价值观：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质；通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新识；充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识.

4.教学方法和教学手段

（1）教学方法：本节课以“问题串—引导—点拨—建构—巩固”的模式，采用探索讨论法进行教学，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动.

（2）教学手段：借助计算机在图形动态演示方面的优势，实现计算机辅助教学.同时，采用实物投影，加强课堂练习的反馈与校正.

二、教学过程

1.提出问题，创设情境

问题1 我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？

学生通过思考，相继得到许多不同的解：上述各个解都满足2x+y-100<0.

得到一个新的不等式模型，它比前面讲的不等式多了一个未知数.含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式称为二元一次不等式.几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.满足二元一次不等式或不等式组的x，y组成有序实数对（x，y）叫作二元一次不等式的一个解，所有这样的有序实数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.

问题2 如何解二元一次不等式（组）？

我们把不等式的解集看成是一些点的集合，这样把“解”的问题转化成“点”的问题，体现了一种数形结合思想.那么探究解集的问题就转化为探寻这些点所构成的几何图形的问题，体现一种转化思想.为了解决今天的问题，首先要学习二元一次不等式（组）与平面区域.（板书课题）

问题3 二元一次不等式的解集表示什么区域？先选择一个特殊的二元一次不等式2x+y-100<0.平面直角坐标系内的点被直线2x+y-100=0分为哪三类？以上述解为坐标的点分布在哪个区域？

问题4 直线2x+y-100=0右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？

设计意图：问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发展的生长点和思维的动力，把问题作为教学出发点，创设学生熟悉的问题情境，构造问题悬念，激发学生学数学、用数学的兴趣.问题3与问题4意在构建新知与旧知之间的知识链，找出学习新知的思维的生长点.自然引入课题，为学习新知创造一个最佳心理和认知环境.

2.尝试探求，归纳猜想

针对问题3，学生展开积极的探索活动，分组交流讨论，教师适时用几何画板演示，引导学生观察随着动点P（xP，yP）的变化，2xP+yP-100的数值变化情况，最后师生共同归纳并猜想：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式2x+y-100<0的解为坐标的点的集合｛（x，y）|2x+y-100<0｝是在直线2x+y-100=0的左下方的平面区域.

以二元一次不等式2x+y-100>0的解为坐标的点的集合｛（x，y）|2x+y-100>0｝是在直线2x+y-100=0的右上方的平面区域.

设计意图：（1）让学生交流合作、积极探索猜想.既调动了学生的积极性，又培养了学生的逻辑思维能力和创造力.（2）多媒体动态模拟演示，有助于学生在感性认识的基础上形成理性认识.

3.交流合作，解决问题

学生分组探索证明猜想，教师巡视参与讨论，并适时进行点拨指导.挑选一个小组，通过实物投影展示他们对猜想的证明方案.（师生共同进行完善修正，证明过程由课件展示）

证明：在直线l：2x+y-100=0右上方任取一点P（x，y），过P点作垂直于y轴的直线y=y0交直线l于点P（0x0，y0）.此时有

x>x0，y=y0，

所以，2x+y>2x0+y0，

2x+y-100>2x0+y0-100=0，

即2x+y-100>0.

所以，对于直线2x+y-100=0右上方的任意点P（x，y），2x+y-100>0都成立.

同理，对于直线2x+y-100=0左下方的任意点P（x，y），2x+y-100<0都成立.

猜想得证！

（证明时过P点作垂直于x轴的直线是否可行？此问题交由学生课后思考）

设计意图：（1）“给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），让主体主动构建自己的认知结构，培养学生的创造力”这是建构主义的核心观点，它充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用.（2）学生在自主探索和相互交流的过程中，感受成功和失败的体验.深刻领悟到数形结合思想和转化的思想在解决数学问题中所起的作用.同时又培养了学生的逻辑思维能力和乐于探索，大胆创新的品质以及交流、合作的精神.

4.归纳总结，揭示新知

问题5 由这个特殊的不等式，类比一般的不等式，Ax+By+C>0表示什么图形？

对于一般的二元一次不等式，由学生自行归纳总结，不要求证明.

结论：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.

问题6 直线Ax+By+C=0同一侧所有的点（x，y）代入Ax+By+C所得实数符号如何？

问题7 如何判断Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧平面区域？

引导学生探索分析对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y），把坐标（x，y）代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需要在直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0），从Ax0+By0+C的正负即可判断不等式Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.（一般把特殊点取为坐标原点，这种方法称为代点法）

概括为：画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界，特殊点定域”.

特别地，当C≠0时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”.

问题8 Ax+By+C≥0表示的平面区域与Ax+By+C> 0表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？

总结：我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线.画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，应把边界直线画成实线.

设计意图：（1）启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：让学生做学习的主人.（2）通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般结论，遵循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般”的推理方法.（3）及时梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成新的认知结构.代点法的引入，“直线定界，特殊点定域”，难点的突破也就水到渠成了.

5.应用新知，练习巩固

例题（即问题1） 画出不等式组表示的平面区域

设计以下几个问题：

（1）不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是实线还是虚线？为什么？

（2）运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好？

（3）不等式组表示的平面区域如何确定？（各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分）

问题9 如果增加条件x∈N+，y∈N+呢？（回到问题1）

（是上述公共平面区域内的整点）

问题10 若直线x-my+2=0与线段AB（其中A（0，100），B（10，20））有公共点，求m的取值范围.

设计意图：（1）精心设计了阶梯型的问题，使学生主动参与教学活动，思维层层深入，体现了教师为主导，学生为主体的教学原则.（2）多媒体动态地显示了区域的形成过程，加强了直观性和生动性.（3）问题9是为后续学习线性规划问题的整点最优解做铺垫，同时也是对问题1的呼应；问题10是对“二元一次不等式（组）表示平面区域”的应用延伸.

课堂练习：

（1）画出下列不等式表示的平面区域（课本练习）：

（1）x-y+1<0，（2）2x+5y-10≥0.

（2）画出下列不等式组表示的平面区域（课本练习）：

设计意图：

学生自行练习，教师巡视，收集练习中出现的典型错误，利用实物投影进行集体订正，达到巩固新知的目的.

6.小结评价，问题创新

由学生归纳本节学习内容及本课体现出的数学思想.

（1）二元一次不等式（组）表示平面区域.

（2）画出二元一次不等式（组）表示平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.

（3）数学思想：数形结合、转化、特殊到一般.

提出新问题，学生课后思考题：

高二（1）班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请问最多可以买到几只彩球？

设计意图：

（1）通过小结使学生明确本节课的知识.

（2）适当的作业有助于进一步巩固新知.

（3）思考题创设了在线性约束条件下求x+y最大值的新问题，为下节课最优解的解决铺垫，整点最优解的寻求满足了学有余力的学生的需要.

三、教学启示

1.设计问题，使学生的思维从问题开始

问题是数学的心脏，美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始.”在课堂教学中，我们应该根据学生的“最近发展区”设计问题串，通过问题驱动，立足于问题解决，发展学生的思维.在本节课的教学中，笔者从问题1到问题10，层层递进，问题驱动，拾级而上.较好地完成了教学目标，收到了很好的教学效果.

2.问题的设计要注意处理好新旧知识的矛盾

新旧知识之间既有相互贯通的地方，也有不同之处.而这种不同点往往正是知识的发展与提高，所以教师要抓住新旧知识的连接点，适时地提出有效问题，引起学生的认知冲突，引发学生的探究兴趣与欲望.本节课中问题的提出让学生产生了新旧知识的矛盾，在这样的认知冲突下，学生个个都有参与思考的欲望.

3.问题的设计要注重学生能力的培养

围绕教学目标，教师提出一系列问题，这些问题的设计，能启发学生思维，完成学习目标，同时还要在重点和难点出设置问题，帮助学生突破难点.教师在设置问题的时候，不能只限于“呈现型”问题，要注重“发现型”和“探究型”问题，倡导学生在学习中的“智力探险”，有利于学生思维的飞跃，加深对数学本质的认识.

4.问题设计上要关注大多数学生的接受能力

问题的难易要适度，符合学生的“最近发展区”，既不能过于“暴露”，也不能过于“隐蔽”，教学实践表明，并不是所有的问题都能引起学生思考，僵化的，形式的问题往往使学生应付性的回答.根据具体的教学内容，设计层次分明的问题，能大大降低学生学习的难度，从而使教学活动深入，促进课堂的有效教学.

“问题驱动”的教学，能够培养学生自主学习，善于思考，勤于动手，敢于质疑的良好习惯，教师要精心设计问题，保证有效教学！Z