“中国”“美国”“巴西”数学教材“比和比例”内容的比较研究

李 鹏



“中国”“美国”“巴西”数学教材“比和比例”内容的比较研究

李 鹏1，2

（1．惠州学院数学系，广东惠州 516007；2．中国教育科学研究院，北京 100088）

选取中国、美国、巴西的6年级较主流数学教材，比较教材中“比和比例”的相关章节．3个国家教材的问题定位、认知需求问题的分布和结构均较为相似，组织方式均为螺旋式非线性，很少涉及信息技术运用和数学史情境．对于“比和比例”的内容应从学生数学学习持续发展的角度给予关注．对于教材编写中问题情境的设计，可以适度增加不同主题间数学情境问题所占比重，对于开放式、半开放式问题的设计与相应学段学生心理发展水平和已有知识经验基础相匹配，寻求非数学情境问题类型的多样化．3个国家的数学教材基于熟悉情境的问题比例较高，基于陌生情境的反思式问题占比偏低．

问题情境；教材编写；比和比例；比较研究

1 研究背景

针对“比和比例”的教学国外已有多项研究，如Lesh等将比例看成“数与运算”学习的最高要求，将其视为进一步学习代数和其它主题的必要基础，提出：当学生能够根据分数、商、比例等表达形式的整体关系进行推理的时候，他们就获得了比例推理能力[1]．Spinillo将比例推理能力的发展看作是学生借助多维度策略实现的，认为应从第一学年发展比例推理[2]．也有研究者概括教材给出比例概念的方法后得出，解决比例问题常用十字相乘法和求比例中未知项的方法[3]．

TIMSS、PISA等国际大型测评项目的结果表明：不同国家或地区学生的数学学业成绩、学习兴趣、态度、策略运用等方面存在程度不同的差异．为探析背后的深层次原因，数学教育界日益关注不同国家的数学教材比较研究[4~9]．教材对数学的教学和学习有深刻影响，数学教育研究者关注的一个重要方面是教材如何呈现与当前课程取向相关的关键性数学主题．对于基础教育阶段各国视为核心概念的“比和比例”，不同国家的数学教材是如何处理的？如何呈现相应内容更能帮助学生巩固知识进而使知识系统化？在组织学生学习活动中发挥核心作用的问题性质如何？研究者以中国、美国和巴西3个国家较典型教材中的“比和比例”内容进行对比研究，以期为我国的小学数学教材编写和教学实践提供借鉴．

2 教材选取和研究问题

选择“比和比例”内容进行比较主要基于其在3个国家的基础教育数学课程中扮演重要角色．中国国家数学课程标准将“比和比例”作为义务教育第二学段课程内容的核心要素，基于分数、百分数的相关内容学习比和比例，在学习过程中注重实际问题的解决和函数思想的渗透[10]．巴西与中国同为“金砖国家”重要成员，其课程文件表明：学生在4、5年级需要先学习有理数和百分数，在此基础上，6、7年级再学习比例大小的相应内容[11]．美国并无官方课程，但其数学课程设置的国际影响力巨大，NCTM颁布的系列课程文件体现出，其课程逐渐呈现统一化趋势．文件将比例视为相互关联数与代数、图形与几何其它主题的核心概念，并从第一学年开始通过学习模式和规律、真分数、小数和百分数为理解比例概念提供准备[12~13]．

研究选取3个国家较常见的6年级数学教材：中国的人教版[14]，巴西的Matemática hoje é feita assim[15]和美国的Orlando Math[16]，针对各教材中的“比和比例”内容进行具体研究，重点关注如下方面：

（1）各国教材逐步发展比例概念的呈现方式；

（2）例题和练习等教材问题的认知需求水平、结构和情境设计的具体情况；

（3）教材的主要异同点．

3 研究方法

研究针对3个国家的6年级数学教材，整合了总体分析框架和问题分析框架，主要运用内容分析法进行分析并借鉴了PISA框架对认知需求水平、问题结构及情境的分类．总体分析框架关注一般化层面，如教材所用语言的可理解性、内文插图的性质和作用、章节结构、信息技术运用和数学史的呈现．问题分析框架从认知需求、问题结构和情境设计等维度关注了“比和比例”主题的相应内容，如比例概念是如何呈现的、预备概念是如何提供的、问题提出的主要观念和策略等．

参照PISA框架，研究者将认知需求水平分为再现、联结、反思3个层面[17]．再现式问题属于常规任务，涉及之前获取且练习过的知识的运用，一般较为简单且不要求论证；对问题的解释直接单一，趋向于简单层次的结构化，仅在熟悉情境中呈现．联结式问题要求建立推理、程序或计算之间的关系或链条，要求学生达到一定程度的解释论证水平；它们包含对简单解释的寻求，往往拥有联系紧密的结构并在学生较熟悉的情境中呈现．反思式问题更为复杂，要求进行高水平的解释推理和寻求包含若干步骤的系统化解法，多要求进行书面表达和较详细的论证；结构多为开放或半开放式，通常在较陌生的情境中呈现．

问题结构分为3类：封闭、半开放、开放．封闭问题清晰给出目标和条件；开放问题要求学生在个人理解的基础上给出更进一步的规范化假设、目标和条件；半开放问题介于两者之间．

如“航模小组有男生14人，女生8人，男、女生人数的比是（）:（）．”即属于封闭、再现式问题．“根据家庭成员年龄、收入（题目提供了具体数字）等方面的信息，寻找合适的量，写出这些量之间的比”属于半开放式问题．“还能在生活中发现哪些信息？会用比来表示这些信息中各个量之间的关系吗？”属于开放式、反思式问题．“根据老鼠每分钟心跳约500次，大象每分钟心跳次数约是老鼠的，约是猫的，计算猫的每分钟心跳（ ）次．”属于联结式问题．

对问题情境所作的分类仍主要参照PISA框架，涉及数学内部或非数学的两大类．非数学情境共分6个子类：日常生活情境（包括个体化情境或与学生日常生活直接相关的情境）、学校情境（在学校环境下进行的活动和过程）、专业情境（与学生将来可能从事的职业活动相关）、社会生活情境（社区和社会生活相关的问题）、其它知识领域的情境（如来自物理、地理、体育等学科的问题）、虚拟情境（虚构情境描绘的问题）．数学内部情境指缺乏明确非数学要素的情境．如果数学内部情境指明了其它章节的概念，就称之为跨主题问题；否则认为是同一主题内部问题．

4 研究结果

4.1 总体情况

对3个国家的所选教材进行分析，可以发现一些共同特征和个性化特征．

如各教材的封面除了用相应语言文字指明是数学教材外，与数学没有实质联系；教材语言较为清晰简明，充分考虑了相应学段学生的理解认知能力；采用了改变字体颜色与大小等不同手段让学生关注需要学习的数学概念、公式、性质；很少提及信息技术或计算器的使用．普遍通过图片阐述问题，这些图片都以某种方式密切联系将要或已提出的问题．其中，美国和巴西的教材图片很少显示与解法有关的信息；中国教材中的图片对于解法有一定程度的提示，尤其是教材正文中用以引出新知识的图片．

中国和美国的教材在关于比例的章节中都没有提及数学史．巴西的教材在介绍相似三角形概念时涉及了相关数学史．在名为Tales e a pirâmide（泰勒斯和金字塔）的小节中，介绍了在约2 700年前，数学家泰勒斯是如何利用三角形的相似性及相似比得到Quéops金字塔高度的．

不同教材的章节组织模式较为类似，所有教材都包括了不同复杂程度的课题引入、应用和巩固．巴西教材中的“比和比例”始于问题化情境，通过卡通人物的对话对从情境中提炼出的问题加以解决，之后给出一些题目让学生练习．中国和美国教材的处理方式有一定的相似性：介绍新概念时多通过给出问题情境及其解答呈现，并解释了由例子引出的概念，最后呈现一系列练习，表现出了较强的综合性；对于复习的必要性较为认同，每一新阶段的开头介绍若干常规问题，以回顾之前学过的概念．中国教材的习题数量更多，类型更为多样，层次性和变式特征更加明显，如“做一做”、“练习”、“整理与复习”等常规问题和“自行车上的数学”等综合性较强的问题．

4.2 内容分布和概念组织方面

4.2.1 不同教材比例内容分布概要与处理方法

3个国家的教材均将“正比例”作为“比和比例”内容的核心成分，但章节分布情况、相应准备概念不同，比例概念的组织方式亦有不同．

在巴西和美国的教材中，比例的学习以等式、模型及其性质为基础，与NCTM的建议相符．中国教材在强调对模式与关系进行理解的同时，更加重视教学内容的思想方法价值，比如正比例图像中蕴含的运动变化思想等．

不同教材使用的方法体现出了一些共性和差异．第一，3种教材均以比的概念作为“比和比例”部分的起始内容，不同国家的教材编写者充分考虑了比的概念、分数及其运算在比例学习过程中发挥的根本作用．第二，3种教材都体现出了螺旋式方法，即在介绍“成正比例的关系或量”之后会以不同形式进行回顾总结．第三，中国和巴西的教材介绍了比例的基本性质而美国的教材并未明确提及相应字眼．但中、巴介绍比例基本性质的方式差别很大．巴西的教材在章节末尾用形式化、系统化的方式和严格逻辑演绎的程序推导出比例的基本性质，即由得到，约分后得出．中国的教材则是在引入比例内项和外项的概念后，给出一个具体比例2.4:1.6=60:40，并要求学生计算2.4´40和1.6´60，由两个等式相等归纳出比例的基本性质．美国的教材在“比和比例”章节开头就介绍了两种寻求比例的方法，即通过通分化为同分母判断比例是否相等的方法和“十字相乘法”，在例题解答过程中更为强调“十字相乘法”（如图1）．这种“十字相乘法”在一定程度上将中国教材归纳比例基本性质的过程和解比例的方法[14]糅合到了一起．

图1 美国教材求解比例未知项的例子

4.2.2 对教材给出问题的分析

不同国家教材中给出的问题在认知需求、结构和情境等方面不尽相同（对各种问题所属类型所占比例的确定，研究者邀请两位数学教育工作者各自先行独立进行了确认，结果体现出3人对于90%以上的问题所作分类相同，对分类不同的部分经过协商加以确定，详见表1和表2）．

表1 三种教材给出的问题认知需求水平及结构类型

表2 三种教材给出的问题情境类型

在问题认知需求水平方面，联结式问题在3个国家的教材中占据优势地位，接下来是再现式问题．中美教材的联结式问题占教材给出问题的比例近似，巴西教材的联结式问题明显占据首要地位，占其给出问题数量的强．巴西教材的再现式问题占比明显低于中美．反思式问题在3种教材中各自占比最低，其中中国教材的反思式问题占比显著低于另两个国家．

在问题结构类型方面，绝大多数问题拥有封闭结构．虽然开放和半开放结构的问题在教材中亦有出现，但占比很少．其中巴西和美国的半开放问题占比相当，开放问题偶有出现；中国的半开放问题与开放问题占比相当，均为5%．

在问题情境类型方面，3个国家教材的问题情境类型分布差异显著．美国教材有83%的问题属于数学内部情境，这与Li得出的美国教材强调数学内部情境的结果类似[18]．中国教材的数学内部情境问题和非数学情境问题基本相当．巴西教材中58%的问题属于非数学情境问题．在以数学内部情境设计的问题中，属于同一数学主题内部的概念探索在中美教材中占了大多数．非数学情境问题中最为常见的子类是社会生活范畴，中国教材中的日常生活情境范畴的问题也较常见．

4.3 教材特征对教材编写理念和教学方法的反映

教材编写理念往往受到国家课程文件的规制或影响，有些甚至是决定性的．如巴西教材强调问题提出的非数学情境，呈现了相当多的认知需求问题，应用了体现探究性的非正式方法，以在形式化前维持与学生的扩展对话．这些特点与巴西课程文件的要求相符．美国教材则是部分特点与NCTM文件相符，如强调联结、注意认知需求问题、强调模式和性质的重要性等；但也有些特点与NCTM的指向不同，例如强调数学内部情境和再现式问题的重要性．同时，教材页数和问题数量较多表明了编者期望教师利用教材为学生设计一个明确的学习方案，以引导学生学习．

这给出了数学教材与课程文件强一致性和弱一致性的典型实例．教师需要考虑所教学生的族裔、已有文化背景和生活经验等多方面的不同，客观上要求教材提供更多的额外材料以方便教师设计不同的教学方案．美国教材的弱一致性可能出于对保证更多教师教学适应性的考量．中国教材属于与国家课程文件严格强一致性的情况，在“一纲一本”的传统惯性等方面的影响下共性有余特色不足[19]．

教材编写理念与教学的一般特征之间亦存在互动共生关系．不同国家教材的呈现方式隐含了对教学方法的观照．如巴西的教材以问题情境为基础，要求围绕提出的问题进行讨论以实现概念系统化．中国和美国的教材主要是要求学生理解已学习的例题及分析过程，进而解决接下来提出的一系列问题，其中绝大部分是再现式和联结式问题．教材体现的不同教学方法可能明示或暗示给学生不同的学习方法，进而导致不同种类学习活动的产生．不同国家的一般教学特征也会对教材编写产生影响，如中国的数学教学对“基础知识、基本技能”的重视在教材编写中得到了充分体现，通过数量较多、类型丰富的习题体现对学生理解和掌握“双基”的要求．

5 启 示

5.1 对教材内容处理的启示

“比和比例”作为初等教育阶段最后的重要内容，起着联通“算术”与“代数”，贯穿“数量”到“关系”的作用．对于“比和比例”的内容应从学生数学学习持续发展的角度给予关注，如通过介绍涉及比例大小关系的“比例系数”将中学要学习的函数概念与表示数据的表格运用建立紧密联系，初步渗透函数思想．研究所涉教材对于比例系数关注缺失，建议进行相应内容的增加．

美国、巴西的教材将“比和比例”内容在连续两个章节中进行呈现，而中国教材则是在6年级上、下册分别呈现，由于不同国家教材涵盖的教学内容范畴有异，并不能简单判断连续呈现或分别呈现哪种方式更为优越．在教学内容大致相同的情形下，哪种呈现方式更为优越需要通过具体教学实验并结合教师尤其是“专家教师”的教学经验确定．

对于比例基本性质的处理方式，巴西教材显得严谨有余、具体不足．考虑到学生所处年龄阶段和相应认知水平，中国教材采用由具体实例归纳性质的方式是可取的，但逻辑性和严谨性的程度需要教师在教学过程中加以把握．教师在具体教学实践中可以多给出几个具体的比例，要求学生计算各自的外项积和内项积，从中归纳出比例的基本性质，实现“由多到一”的归纳，以提高学生对性质归纳的认同感，更充分地经历归纳推理的过程．

5.2 对问题情境创设和问题结构设计的启示

问题情境是引起悬念、激发学生求知欲望的教学起点，是组织学生“再创造”式学习数学的依托．3个国家的教材编写对此均给予了充分关切，如对数学内部情境和外部情境均有涉及，外部情境覆盖的类型较为广泛等．

基于对3个国家教材的分析，对于教材编写中问题情境的设计，可以综合考虑美国、巴西教材的做法，适度增加不同主题间数学情境问题所占比重，对于开放式、半开放式问题的设计与相应学段学生心理发展水平和已有知识经验基础相匹配，进一步寻求非数学情境问题类型的多样化，尽量贴近学生的生活实践并做到与社会发展同步．

5.3 对认知需求水平设计的启示

3个国家的数学教材对于问题认知需求水平的要求略显保守，基于熟悉情境的问题均达到90%，基于陌生情境的反思式问题所占比重偏低．小学生的认知发展水平处于具体运演阶段，进行思维活动时脱离不了具体的前提，但能够赋予直观活动以运演的结构，用可逆和传递的方式加以组合[20]．熟悉情境可以为小学生提供思维活动的具体前提，这是3个国家教材体现出的优势．但反思式问题占比偏低可能导致小学生在面对陌生情境，需要自行组织知识、手段、经验发现和解决问题时茫然失措，不利于思维能力的提升和创新意识的养成．这需要结合小学生认知发展水平的特征加以弥补，适度增加反思式陌生情境的数量，同时提供有利于教师在教学过程中挖掘“具体前提”的资源，为反思式问题情境发挥实效服务．

从教材比较的视角来看，研究者主要关注了教学内容组织方式和问题提出方面，对于教材处理方式和设计的问题情境如何具体影响教学实践，怎样避免不良影响和达成良好初衷等均需进一步的实证研究．在课程改革的大背景下，了解学生和教师如何使用不同版本不同类型的教材，运用于课堂实践，尤其是学生学习过程中的“实践性”教材提供了何种学习机会，值得进行更进一步的研讨．同时，教材编写者需要适当突破思维局限，在明确教材可能应用范围的前提下，从教材组织方式和问题设计的认知需求、结构、情境等方面设计编写针对性和应用性更强的教材，使得不同教材异彩纷呈的同时教师能够“选有所依”，更方便地“用教材教”．

[1] Lesh R, Post T, Behr M. Proportional Reasoning [A]. In: Hiebert J, Behr M.[C]. Reston: NCTM e Lawrence Erlbaum, 1988.

[2] Spinillo A G. An historical Incursion into the Hidden Side of the Early Development of Equations [A]. In: Giménez J, Lins R C, Gómez B.[C]. Tarragona: Computer Engeneering Department, Universitat Rovira i Virgili, 1996.

[3] Shield M, Dole S.[R]. Proceedings of the Twenty-Fifth Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, Aukland, NZ: MERGA, 2002.

[4] 陆书环，张蕾．中日高中新课程数学史与数学教学内容整合的比较研究[J]．数学教育学报，2009，18（1）：67-70．

[5] 吕世虎，孙学敏．中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究[J]．数学教育学报，2010，19（6）：70-73．

[6] 吴立宝．中澳数学教科书比较研究——以人教版和HMZ8年级教科书为例[J]．数学教育学报，2013，22（2）：58-61．

[7] 周九诗，王延文．中英初中数学教科书的难易程度比较研究——以中国“人教版”和英国《数学连接》为例[J]．数学教育学报，2013，22（3）：18-23．

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[9] 朱雪芳，叶立军．中国和澳大利亚高中数学微积分教材比较研究[J]．数学教育学报，2014，23（2）：25-27．

[10] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社，2001．

[11]  Ministério da Educação e Ciência.(5ª a 8ª series) [M]. Brasília: Ministério da Educação e Ciência, Secretaria de Educação Fundamental, 1998.

[12]  NCTM.[M]. Reston: NCTM, 2000.

[13]  NCTM.[M]. Reston: NCTM, 2006.

[14] 卢江，杨刚．义务教育课程标准实验教科书小学数学六年级（上、下）[M]．北京：人民教育出版社，2006．

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[17]  OECD.[M]. Paris: OECD, 2004.

[18]  Li Y. A comparision of Problems that Follow Selected Content Presentations in American and Chinese Mathematics Textbooks [J]., 2000, 31(2): 234-241.

[19] 宋运明，李明振，李鹏，等．小学数学教材例题编写特点研究[J]．课程·教材·教法，2014，（2）：47-51．

[20] 涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学论[M]．上海：华东师范大学出版社，2011．

[责任编校：陈汉君]

Comparative Study on Ratio and Proportion in Grade 6 Mathematics Textbooksof Brazil, China and the United States

LI Peng1, 2

(1. Department of Mathematics, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. National Institute of Education Sciences, Beijing 100088, China)

We selected the mainstream Grade 6 mathematics textbooks from three countries: Brazil, China and the United States, and compared the relevant chapters of ratio and proportion. It is found that the locations of problem, distributions and structures of cognition problems are much the same. The organizations are spiral and nonlinear. The information technology and history of mathematics situation are rarely involved. But the significant differences are as follows: the kinds of problems situations, the disposal ways of mathematics concepts and teaching methods. It puts forward proposals about writing of textbooks on contents processing, problem situations and need levels for cognition designing.

problem situation; writing of textbooks; ratio and proportion; comparative studies

G423.3

A

1004–9894（2016）06–0046–05

2016–07–20

教育部人文社科规划基金项目——数学阅读能力：结构与发展研究（16YJA880056）；广东省“十二五”教育科学规划项目——教师教学行为与教学价值取向适切性研究（2013JK169）；惠州学院博士科研启动项目——新课程数学解题教学实践反思研究（C513.0208）

李鹏（1980—），男，山东枣庄人，博士，副教授，中国教育科学研究院博士后，主要从事数学课程与教学论研究．