考虑多种因素的一类三寡头R&D投入系统复杂性研究

孙立建，马军海(. 天津大学管理与经济学部, 天津 300072；2. 天津科技大学理学院, 天津 300457)

考虑多种因素的一类三寡头R&D投入系统复杂性研究

孙立建1, 2，马军海1
(1. 天津大学管理与经济学部, 天津 300072；2. 天津科技大学理学院, 天津 300457)

建立了新兴产业中一个带有技术溢出和内生需求的动态三寡头R&D投入博弈模型，着重讨论了决策调整速度和技术溢出率对于模型复杂性的影响。通过三维稳定域研究了模型的纳什均衡点对于决策调整速度和技术溢出率的稳定性，通过二维分岔图对模型的局部分岔进行了分析研究，发现如果决策调整速度过快，系统会通过flip或N-S分岔失去稳定，并最终走向混沌。同时研究了R&D投入调整速度和技术溢出率造成的系统失稳对于各寡头利润的影响程度，发现系统失稳对于各方利润的影响不尽相同，控制技术溢出率，可以确保合作的两个寡头的利润优势。对该模型进行了全局分岔分析，发现寡头们的每一次决策值都不可以盲目的过高。

R&D投入博弈; 技术溢出; 内生需求; 分岔分析

0 引言

当今，R&D投入已成为企业发展的主要推动力，通过R&D投入，企业不仅可以降低成本，提高生产效率，还可以提升产品品质，扩大市场份额，是一些新兴的领域，如新能源汽车等， R&D投入带来的产品的品质提高会加速消费者对产品的认可，从而创造，扩大产品的需求。科技实力已成为企业的核心竞争力的所在，新兴产业领域企业之间的竞争，体现为R&D投入的竞争，R&D投入成为了企业实力的支撑。但是在新兴的领域，R&D投资巨大，且技术进展往往缓慢，于是出现了技术合作的寡头联盟以加快研发，即寡头企业实现技术共享，以在市场竞争中，取得对其他对手的技术领先，但在产品市场，他们仍是竞争对手，如新能源汽车领域广汽集团与比亚迪汽车的合作联盟。

企业关于R&D的投资的竞争与合作也引起了许多学者的研究兴趣，自从 D′Aspremont 和 Jacqueminde[1]首次对于企业的R&D投入进行研究以来，大量的研究成果涌现出来。 霍沛军[2]等人深入分析了R&D投入竞争中的利润函数，并在此基础上对政府补贴等问题进行了研究。Gersbach，Schmutzler[3]考虑了一个双寡头博弈模型，在该模型中，有内部和外部技术溢出，并且两个寡头在Bertrand价格竞争发生之前选择生产和研发地点，在该文中作者研究了内部和外部技术溢出对于企业集聚的影响。 Femminis[4]分析了在一个动态的双寡头垄断市场中的不可逆投资和R&D溢出，表明R&D溢出对动态博弈的均衡点有重要影响,并且减少了领导者和追随者的最大利润的差异。Vandekerckhove[5]等研究了在技术溢出不平衡条件下的R&D投入合作，并指出如果存在着企业之间的技术溢出水平的不平衡，那么需要收入转移机制来维持合作水平。Dawid[6]等研究了双寡头企业在技术进步条件下的投资行为，指出由于存在研发合作，企业几乎同时引入新产品，这导致了产品市场上的激烈的竞争，新产品的快速推出反而会降低公司的利润。Goel Haruna[7]针对劳动管理公司讨论了带有溢出的合作型与非合作型R&D投入行为，检验了双寡头劳动管理公司之间的战略性相互作用。Breton[8]建立了一个动态的双寡头博弈模型，通过比较Cournot 和 Bertrand两种不同类型的平衡点，他发现如果R&D投入水平较低或者各公司之间R&D投入的差别较大的话，Bertrand竞争更加有效。Cellini[9]分析了一个Cournot双寡头模型中工艺创新对于系统的动态R&D行为的影响。通过比较系统处于稳定状态时的利润和社会福利，他发现在所有的可容许的技术溢出水平下，无论是来自私人的激励，还是来自社会的激励，对于R&D影响效果是一致的。

在以上所示的文献中，均假定商业决策是完全理性的，多为静态的分析，但是关于有限理性企业之间的动态R&D投入竞争性行为的文献相对较少。以下为一些代表的文献：胡荣[10]研究了有限理性双寡头R&D投入竞争行为，通过数值模拟，他发现如果系统所处状态不同，双寡头的R&D平均投入，平均利润的变化趋势是不同的。盛昭瀚等[11]运用非线性动力系统理论对R&D投入动态竞争系统进行了全局复杂性分析。他发现在一定的条件下，系统会呈现出多个吸引子, 包括混沌吸引子和周期吸引子。吴可菲等[12]运用非线性动力系统理论建立了异质双寡头R&D竞争基于有限理性条件下的动态模型，并分析了该系统的均衡点及其稳定性，并展示了系统动态演化状况。Li，Ma[13]建立了一个三寡头R&D投入博弈模型，该系统考虑了企业之间的相互合作和竞争。通过数值模拟，作者展示了该R&D投入系统的复杂动态行为。

在本文中，假设寡头企业进行产量博弈，而R&D投入水平作为各企业产品需求量的唯一决定因素，从而建立了一个带有技术溢出和内生需求的三寡头R&D投入博弈模型，在该模型中，R&D投入既有利于企业降低成本，又有助于扩大该企业市场需求。所有的寡头都是有限理性的，其中两个寡头实现研发成果共享。本文的主要目的在于研究三个寡头在R&D投入竞争中的动态行为，着重研究R&D投入调整速度，技术溢出率及内生需求参数对于系统稳定性及寡头利润的影响。

1 三寡头博弈模型

1.1 模型建立及说明

考虑带有技术溢出和内生需求的三寡头R&D投入博弈模型，在该模型中，寡头企业1和寡头企业2组成团队，就研发活动进行合作，研究成果充分共享，所以两者拥有相同的生产成本。寡头企业 i的产品的价格和需求量分别记为 pi(t) 和qi(t),i=1,2,3。三寡头在产品市场上进行古诺博弈，即以产量作为变量，通过产量的调整影响价格，与对手进行竞争获得更大的利润。三个寡头各自独立做出自己的产量决策qi(t)和R&D 投入水平决策xi(t)。产品的逆需求函数为

p1(t)=p2(t)=a-b(q1(t)+q2(t)+q3(t))+δ(x1(t)+x2(t)+βx3(t))

(1)

p3(t)=a-b(q1(t)+q2(t)+q3(t))+δ(β(x1(t)+x2(t))+x3(t))

(2)

其中，a>0,b>0，内生需求参数δ>0 表示 R&D 活动对于市场需求的影响，正如2014年比亚迪“秦”的上市激发了市场强烈的需求，公司前期的R&D投入无疑是起了巨大的作用。β∈[0,1]表示寡头3与由寡头1和寡头2组成的团队之间的技术溢出率。考虑了技术在寡头之间的溢出，所以任一个寡头企业的R&D投入都对其他企业的产品的需求的扩大有着正面影响，即认为市场需求是由多个企业的努力而共同做大的。因为技术共享，寡头1和寡头2之间的技术溢出率是1。xi(t) 表示寡头i在R&D中的投入。下面的成本函数ci(t) 表示寡头i在进行了R&D 活动之后的单位生产成本。

c1(t)=c2(t)=A-x1(t)-x2(t)-βx3(t)

(3)

c3(t)=A-x3(t)-β(x1(t)+x2(t))

(4)

其中，A为没有R&D 活动条件下寡头的单位生产成本。寡头i在第t期的利润为

πi(t)=(pi(t)-ci(t))qi(t)-γxi(t)2/2, i=1,2,3

(5)

其中，γxi(t)2/2 是R&D投入的成本函数。参数γ反映了寡头i在研发领域进行投入的效率，效率越高，γ越小；反之越大。R&D投入的成本函数呈现2次幂函数是基于以下原因: 技术创新仅仅与R&D投入相关，与寡头的生产规模无关，但是随着寡头企业的R&D投入的规模的扩大，边际回报在下降，单位R&D投入成本上升。如果没有技术的突然更新，技术的提高需要投去更多的研发资源，包括人力物力等，这与实际是相符的。

(6)

为了使利润最大化，在第t期，所有的寡头企业需依据关于xi(t)的边际利润函数进行R&D投入的决策。将(1)～(4),(6)代入 (5), 可以得到关于xi(t)的边际利润函数为

(7)

当以上的边际利润函数为零时，各个寡头企业可以据此做出使利润最大化的关于R&D投入的最优决策，然而在实际中，寡头企业可能不能掌握关于市场和其他竞争者的全部信息，他们可能事先不掌握竞争对手的R&D投入决策。所以他们不能根据(7)计算出最优的R&D投入。所以在此假设所有的寡头企业都是有限理性的，即他们依据边际利润作出决策，如果边际利润为正,那么他们将会在下一期增加 R&D 投入; 否则, 他们将会在下一期减少R&D 投入。 这样该三寡头的R&D投入动态博弈系统可以表示为差分方程(8):

(8)

其中，αi表示寡头企业i的 R&D投入的调整速度。 将(7)代入(8), 可以获得动态方程(9):

(9)

在该模型中，参数a,b,γ,A,δ,可以认为具有客观性，即在短期内认为不变，但是αi体现了寡头的主观愿望，β也可以人为干预，具备主观性，因此二者作为本文的主要研究对象。

1.2 平衡点和局部稳定性

依据系统 (9), 令xi(t+1)=xi(t), 可以得到

(10)

(11)

其中，

依据Routh-Hurwitz 条件,E点处渐进稳定的充要条件是(11)所有的特征值都落在复平面的单位圆内。 所以以下条件需要满足：

其中，f(λ)=λ3+Aλ2+Bλ+C=0为矩阵(11)的特征方程。

1.3 3维稳定域和技术溢出率对稳定域的影响

本节将利用数值模拟来展示系统(9)的均衡点关于策略调整速度和技术溢出率的稳定性。策略调整速度决定了策略调整的周期，之所以选取研究策略调整速度和技术溢出率对稳定性的影响是因为其他参数大都具有客观性，可以认为短期内变化是很小的，如需求函数(决定了a,b)，没有R&D 活动条件下寡头的单位生产成本(决定了A)，寡头在研发领域进行投入的效率参数γ，内生需求参数δ。而策略调整速度完全是主观决定的，技术溢出率也可以人为控制。所以该文的结论可以作为企业的决策参考。

所以，首先，设定以下参数

a=20,b=2,γ=1.2,A=2,β=0.6,δ=0.6

(12)

按照以上确定的参数，纳什均衡点为E=(4.71，4.71,3.96)

系统(9)在该点的雅各比矩阵为

(13)

对应的特征方程为

f(λ)=λ3+A1λ2+B1λ+C1=0

(14)

其中，

A1=4.174α1+4.174α2+2.697 5α3-3.0

B1=0.048 1α1α3-2.181α1α2+0.048 1α2α3+(4.174α1-1.0)(4.174α2-1.0)+

(2.698α3-1.0)(4.174α1+4.174α2-2.0)

C1= 0.228α3(0.311 5α1α2-0.211α1(4.174α1-1.0))+0.228α3(0.311 5α1α2-0.211α2

(4.174α2-1.0))-(2.181α1α2-(4.174α1-1.0)(4.174α2-1.0))(2.698α3-1.0)+

(0.048 1α1α3+0.048 1α2α3)(4.174α1+4.174α2-2.0)

这样，由Routh-Hurwitz 条件确定了关于(α1，α2，α3)的稳定域，如图1所示。在稳定域中α1与 α2的范围几乎形同，如果(α1，α2，α3)的取值在稳定域内，那么经过一系列的博弈之后，三个寡头R&D投入将会稳定在E点，但随着αi的增加，当(α1，α2，α3)处于稳定域之外时，系统将会失稳。

为了分析参数β对于稳定域和均衡点的影响，分别令β=0.5,0.7并保持其他参数不变，相应的稳定区域如图2和图3所示。当β=0.5, 纳什均衡点E2为 (5.63,5.63,3.21)，当 β=0.7,纳什均衡点E2E3为 (4.04,4.04,3.91)。通过对比我们发现，随着β的增加。1)在稳定区域中，寡头3的调整速度的范围变小了，而寡头1,2的调整速度的范围变大了。2)寡头1和寡头2的均衡R&D投入在下降，寡头3的均衡R&D投入在上升。

从经济学的观点来看，如果技术溢出率相对较低(β=0.5), 对于合作团队之外的寡头企业3来说，他的调整速度的范围很大，这意味着其调整速度的改变对于系统的稳定性几乎没有影响。但是随着技术溢出率的上升，寡头企业3的调整速度的范围在缩小，即为了保持系统的稳定，寡头企业3的调整速度必须控制在一定的范围内。通过比较还可以发现，随着技术溢出率的上升，寡头企业1和2的调整速度的范围在扩大，3个寡头之间在均衡R&D投入之间的差别在缩小。

2 2维参数分岔图和局部分岔分析

本节采用2维参数分岔图[14-15]讨论稳定域之外的分岔区域的情况，相对于1维参数分岔图，对于该非线性系统来说，2维参数分岔图是更为强大的数值模拟工具。在2维参数分岔图中，分岔区域及通往混沌的途径可以清晰地展示出来。 在本节中,将会采用2维参数分岔图分析寡头的调整速度对于系统稳定性的影响及分岔的情况。继续采用(12)的参数，然后分别得到如图4, 5和10所示的(α1,α2),(α1,α3),(α2,α3) 2维参数分岔图。在这些图中，系统展示了从稳定区域经过一系列倍周期分岔(或N-S分岔)，到达混沌，最终进入发散(意味着其中一个寡头退出市场)的过程。

图中不同的符号表示该系统在区域的状态，1表示系统处于稳定状态，2表示系统处于2周期状态，……，10表示系统处于10周期状态，混沌表示系统处于混沌状态，拟周期表示系统处于拟周期状态, 发散表示系统处于发散状态。

图4中,α1∈[0，1],α2∈[0，1]，α3=0.3, 系统展示了从稳定到发散的一系列倍周期分岔，和不同的周期区域。在该图中，拟周期区域为8周期区域和2周期区域所围成的区域。 从图4中可以看出，图形大致是关α1=α2对称的，这是寡头企业1和寡头企业2进行合作的原因。稳定区域为近似四分之一圆形与图2对应，并且我们发现，在混沌区域，系统呈现出了拥有自相似结构的参数岛，例如5周期状态和10周期状态。从图4中可以看出，如果合作团队的寡头1和寡头2的调整速度较低，处于稳定区域的话，系统将会处于稳定状态。调整速度向各个方向的增加，系统在都会先后经历倍周期分岔，混沌直到发散。 混沌意味着无序和难以判断，显然相对较大的调整参数(α1,α2)易于使得系统陷入混沌状态。

在图5中，α1∈[0，1],α3∈[0，1]且 α2=0.3, 系统展示了不同于图4的周期区域状况。稳定区域近似矩形，恰与图2对应，当参数对(α1,α3)沿着箭头B或C所示的方向穿越边界时，系统将会经历倍周期分岔，N-S分岔，最终进入混沌状态。图6展示了当α2=0.3时，沿着C方向穿越时的分岔图及对应的最大Lyapunov指数，有趣的是在稳定状态下寡头1和2的均衡R&D投入是相同的，但当系统失稳之后二者就不同了。沿着箭头B所示的方向的分岔图与图6类似，这里不再累述。有趣的是当(α1,α3)沿着箭头A的方向变化时，系统将会经过N-S分岔而进入拟周期状态，然后在进入2周期区域，最终进入混沌状态。相应的分岔图和拟周期吸引子和混沌吸引子如图7～9所示。(在图中，最大Lyapunov指数简记为最大L指数)

在图10中，α2∈[0，1],α3∈[0，1]且α1=0.3,系统展示的分岔路径和稳定区域与图5类似，而且稳定区域与2周期区域之间也有一个拟周期区域。

3 各参数对于利润的影响分析

该节讨论速度参数α1，技术溢出率β及技术对需求的影响参数δ对于寡头企业利润的影响，尤其是要讨论当系统失稳之后，以上参数对于各个寡头企业的利润影响情况。将(1),(2),(3),(4),(6)代入(5)，可以得到所有寡头的利润方程如(15)所示：

πi(t)=bqi(t)2-γxi(t)2/2, i=1,2,3

(15)

将(1),(2),(9),(15)联立，可以得到

(16)

继续采用(12)确定的参数，并令α2=α3=0.3，则速度参数α1对3个寡头企业的利润影响如分岔图11和平均利润图12所示，利润分岔图与R&D投入分岔图同时产生倍周期分岔和混沌现象，但是寡头1与寡头2在进入周期震荡后，震动的幅度并不相同，通过平均利润图12可以发现，从系统失稳开始，寡头1与寡头2的平均利润是下降的，但是寡头3的利润却在上升。即速度参数太大对于寡头1与寡头2不利，却有利于寡头3。

然后讨论技术溢出率对3个寡头企业的利润影响，继续采用(12)确定的参数，并令α1=α2=α3=0.3，β为变量，得到利润关于β的分岔图和平均利润图如图13和图14所示, 可以发现两个特征：

当溢出率 β=1.0, 所有的公司拥有相同的利润, 但随着技术溢出率β的降低, 寡头企业1和寡头企业2的利润会增加，但是寡头企业1的利润会降低，随着β的进一步降低系统会通过倍周期和N-S分岔。一个很有趣的现象是当寡头企业1和寡头企业2的利润在β=0.49点经历倍周期分岔时，寡头企业3的利润依然保持稳定。当由于β的减小市场进入周期震荡状态时，寡头企业1和寡头企业2的利润仍在上升，寡头企业3的利润几乎一直在下降。

明显地看出，寡头企业1和2应通过技术保密，知识产权布局等策略，尽可能减小技术溢出率β，以确保利润优势。

图15,16展示了参数δ对于利润的稳定性和平均利润的影响，随着δ的增加，企业的利润将会从稳定进入不稳定状态，寡头企业1和2的平均利润一直在增加，但是寡头企业3的利润变化很小，他们之间的差距随着δ的增加而不断扩大。

这样的结论是具有实际意义的，新兴产业多为产品升级快的技术密集型产业，例如，新能源汽车，消费电子产业等，技术进步对于拉动产品需求的影响很大，因此δ较高，那么如果寡头企业通过专利交叉授权等方式建立技术合作联盟，就会获得竞争优势，获得更大的利润。所以鼓励中国新兴技术密集型企业(新能源汽车，手机芯片等产业)加快进行研发合作，是具有重要意义的。

4 全局分岔分析

为了研究技术溢出率β对于两个研发合作企业的吸引域的影响，我们引入了吸引盆，进行全局分岔分析，吸引域是收敛到相同吸引子的各企业研发初值的集合。如果吸引域中的点经过一系列博弈后收敛到一个纳什均衡点，从经济学的角度说，该吸引域是一个安全区域，这意味着如果博弈各方的研发初值处于安全区域，该系统在经历了一系列博弈之后将会处于稳定状态。假设寡头3采取朴素理性策略，即将其研发初值始终固定在其纳什均衡点，即x3(t)=3.96，可以得到(17)，进而对寡头1和寡头2进行分析。

(17)

则可得LC=T(LC-1)。

为了便于分析，令参数为 a=20,b=2,γ=1.2,A=2,δ=0.6,α1=0.3,α2=0.3,采用胞映射计算方法，可以得到3个系统(17)的关于 (x1(t),x2(t)) 的吸引盆如图17,18,19所示，其中吸引域，吸引子，逃逸域，LC，LC-1均进行了标注。

在图 17中, β=0.4, 系统(17) 处于拟周期状态, 吸引子为极限环，这意味着如果寡头1和寡头2的R&D投入初值在吸引域中时，系统最终处于震荡状态。 在 图 18中, β=0.5, 系统处于2周期状态，同图17相比，吸引域有所减小。 在图19中, β=0.6, 系统处于稳定状态。 吸引域进一步缩小。从图17,18,19的比较中，可以发现随着β的增大，系统趋于稳定，吸引域在减小。从图17～19中系统的吸引域可以看出LC将状态空间分成三部分，分别为Zi,i=0,2,4，i代表该区域的点的原像个数，当β的值比较大时(图19)，系统的吸引域为规则的四边形，所有的Z2和Z4区域内的点都属于均衡点吸引域。随着β的减小(图17和图18)，系统中部分发散区域穿过临界线，进入Z2区域内，此时属于Z2区域内发散点的点及其原像也变为发散点(其原像为四边形凹入部分，并且其原像属于Z0)，系统吸引域发生结构性变化，变成非凸集合。

从经济学的角度来说，寡头双方都应该把初始投入控制在一定的范围内，以防止多次博弈之后系统发散。

5 结论

本文讨论了一个具有技术溢出和内生需求的三寡头R&D投入博弈系统，在该系统中，两个寡头实行研发成果共享。通过以上的分析可以得出以下结论：

1) 通过局部分岔分析发现如果寡头企业的R&D的调整速度超过了稳定域，市场会通过倍周期分岔和N-S分岔失去稳定。且随着β的增加,寡头3的调整速度的范围变小了，而寡头1,2的调整速度的范围变大了。从经济学的角度说，如果企业依据边际利润调整R&D投入，那么面对边际利润的增减，应该“沉得住气”，如果调整的周期太短，那么系统容易失去稳定，甚至会进入无序状态。国内的高科技寡头可以有这样的启示，既要依据市场，调整R&D投入，又要有长远的规划。

2) 当由于调整速度超过了稳定域时，随着调整速度的进一步加快，寡头1,2的利润减少，寡头3的利润上升；从经济学的角度说，混沌的出现尽管会给市场带来无序和混乱，但是对各方利润的影响却不尽相同——对合作的一方不利，但对寡头3有利，寡头3可以尽量缩短调整周期，以“乱中取胜”。

3) 当寡头企业1和2通过技术保密，控制技术溢出率β时，可以确保利润优势；在技术升级快的新兴产业行业，技术合作更有意义。比如在电信行业，技术升级快，如果华为和中兴能够就下一代移动传输技术进行合作研发，共同对抗国外巨头的话，能够获得更大的利益。

4) 通过全局分岔分析发现合作的两个寡头应该把初始R&D投入控制在一定的范围内，以防止多次博弈之后系统发散。因为寡头们的每一次决策都可以看作后续博弈的初值，所以，从经济学的角度说，寡头们的每一次决策都不可以随意，盲目得过高(不能超出吸引域)，否则长期会导致市场崩溃(发散)。

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(责任编辑 耿金花)

Study on Complexity About a Category Three-Oligopoly System with R&D Investment Considering Multi-Factors

SUN Lijian1, 2， MA Junhai1

(1.College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China；2.College of Science, Tianjin University of Science and Technology, Tianjin 300457, China)

In this paper, a R&D input game model with spillovers, endogenous demand in a triopoly market is considered. All the players only get incomplete information and we assume they are all bounded rational. Two players make up a cooperative team, and share the technology achievements completely. On the basis of analyzing the stabilities of the only Nash equilibrium point, three-dimensional stable regions are investigated. The complex dynamics, such as bifurcation scenarios, route to chaos are displayed by 2D bifurcation diagrams. Impact of the adjustment speed, spillover rate and endogenous demand parameter on the profit is studied.

R&D game; spillovers; endogenous demand; bifurcation

10.13306/j.1672-3813.2016.04.011

2014-11-23；

2015-07-18

国家自然科学基金(61273231)

孙立建(1980-)，男，河北黄骅人，博士，主要研究方向为经济、金融复杂动力学系统分析及其应用。

N941.4,O231.3

A