贝叶斯统计推断思想探究与简明纲要

李玮

英国统计学家哈罗德曾经说过，概率论实际上就像是个理想人步入茫然无知世界时的整套思维方式，人们总是根据概率论作出他对那个世界的全部推断，就像纯数学是个理想人的思维方式样，因为他总能从纯数学中得到准确的计算结果。普通人也完全有理由尽其全力来获取问题的全部答案。

当今国际数理统计由贝叶斯学派和频率学派这两大派别组成。纵观这两大学派，其各自理论存在很大的不同，且均有争议，直至今日尚无定论。但目前，在概率论与数理统计的大学教材中，有关于统计推断的理论几乎清色的由频率学派主导，几乎看不到贝叶斯统计的相关主张，这使得我们度错误的认为统计推断思想方法早有定论，对贝叶斯统计理论也早已了解。其实不然，主流教材中一般倾向于选择主观性较小，客观性、可操作性较强的频率学派基本理论观点作为教授对象，但这并不意味着贝叶斯统计学不重要。随着今日各项技术的发展和新领域的开拓，贝叶斯统计愈加得到人们的重视，并被广泛应用。

一、频率统计学派与贝叶斯统计学派基本思想的差异

频率学派的基本思想是：首先建立总体所服从的分布，且将此处总体分布中的参数视为

未知常数，然后依据样本信息去估计推断该参数。贝叶斯统计学派的基本思想是：将总体分布中的参数视为

随机变量，并依据人们在实验前的认识确定此参数的先验分布，然后借助样本信息进一步修正先前的认识，得到关于此参数的后验分布。此外关于概率的定义，频率学派将频率的极限作为概率，而贝叶斯学派则侧重于人的主观认识，提出先验概率，然后再根据贝叶斯公式不断对其作出修正，得到后验概率，且此概率具有无记忆性，可独立于先验概率。

这里我们可以借助例子去感受

下：现有两完全相同的两个盒子，盒1中有6个白球，2个红球，盒2中有3个白球，5个红球，任选个盒子取球，问是从盒1中取到白球的概率。这里令“取到白球”为事件A，“从盒1中取球”为事件B，“从盒2中取球”为事件c，由上述贝叶斯公式可以看到后验概率P（B/A）与先验概率P（B）及其似然P（A/B）成比例。由于无论从哪个盒子里取球公式中分母均为P（A）保持不变，故唯变化的就是似然P（A/B）的大小，这时可以很容易看出P（A/B）P（A/a，即从盒1中取到白球的可能性更大，于是P（B/A）>P（C/A），而事实也证实了这判断。据此我认为贝叶斯公式更符合人们的认知规律，我们初始的判断也因此变得有迹可循。

二、贝叶斯统计推断的核心思想

1.先验分布

贝叶斯统计学派主张利用先验分布和样本信息确定后验分布，并依此进行统计推断。该理论的关键步是如何确立先验分布π（θ）。关于先验分布的确立贝叶斯统计学实已取得丰硕成果，具体方法可见。

2.后验分布

3.点估计

贝叶斯统计学立足于后验分布，其中心思想是只考虑已出现的样本观察数据，而未出现的数据则被认为与统计推断无关，因此该方法侧重于分析由次试验得到的样本，而忽略其他所有可能出现的样本，因此频率学派中对估计评价的无偏性在贝叶斯统计中将不再适用。为估计参数丹，与频率学派采用样本均值，样本方差估计不同，贝叶斯统计推断中常根据实际选取后验分布的众数、中位数或期望值对丹进行估计。

4.区间估计

对于区问估计问题，不同于频率学派的构造枢轴量的方法，贝叶斯统计学派主张在给定样本和可信水平后，直接根据后验分布确定可信区间（与置信区间相对），二者相比，后者方法要简单得多，毕竟构造枢轴量并不是件轻松的事情。此外二者对所得概率和区问的解释也有很大不同，频率学派对置信水平的解释是，置信区间能盖住θ的可能性，而贝叶斯统计学派将此概率解释为，θ落入可信区间的可能性，相比较而言，后者的解释更能被人们理解和接受。

5.假设检验

对于该问题，频率学派首先是建立原假设H与备择假设H1，然后选取适当的统计量，在给定显著性水平α下确定拒绝域C，然后代入样本观测值观察数据是否落入拒绝域内，并依此作出是否接受原假设的判断；与此不同的是，在贝叶斯统计推断中，可直接依据后验分布计算出原假设与备择假设的后验概率α，α然后计较两概率值的大小，当后验概率比αo/α1>1时接受Ho，当αo/α1<1时拒绝Ho，当αo=l时，无法做出判断，需要更进步的抽样或进步搜集先验信息由此可见，贝叶斯假设检验方法无需构造统计量和给定显著性水平，及确定拒绝域，较为简明。

纵观贝叶斯统计学，他是建立在总体信息，样本信息和先验信息之上的统计推断方法，他主张的先验与后验方式相比于频率学派似乎更符合人们对事物的认知规律，但该理论仍存在较多争议，比如将未知参数视为随机变量是否妥当，以及先验分布是否存在等问题，仍然需要做进步的研究。但不可否认的是，贝叶斯统计学在当今时代的应用愈加广泛，其重要性不容忽视。