一类推广的Hermite-Hadamard不等式

柏传志, 杨丹丹

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)



一类推广的Hermite-Hadamard不等式

柏传志, 杨丹丹

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

建立了涉及带三阶导数的s-(β,m)-凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式.所得结果推广了已有的相关结论.

Hermite-Hadamard 型不等式; Riemann-Liouville分数阶积分;s-(β,m)-凸

0 引言

经典的Hermite-Hadamard不等式有很多推广,其中主要思路是拓广不等式中的函数类．最近,Odemir等人将(s,m)-凸的概念[1]推广到下面的s-(β,m)-凸[2]:

定义1 函数f:[0,∞)→(-∞,+∞),如果∀x,y∈[0,∞)及μ∈[0,1],下列不等式成立:

其中(β,m)∈[0,1]2和s∈[0,1].

Odemir等人[2]利用下列涉及二阶导数的两个积分等式,建立了包含m-凸函数及(s,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．最近涉及m-凸函数及(s,m)-凸函数的一些相关的研究，见文[3-6]．

引理1[3]设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微.如果f″∈L[a,b],则

引理2[1]设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微,且m∈(0,1].如果f″∈L[a,b],则

分数阶微积分理论如同整数微积分理论同样重要, 近年来分数阶微积分的应用和理论都有了很大的发展, 目前在国际上正形成研究热点．以Kilbas,Miller, Podlubny等为代表的学者,对分数阶微积分基本理论和分数阶微分方程进行了研究[7-9]．

文[4]推广了引理1,获得了下列涉及二阶导数的Riemann-Liouville型分数阶积分等式:

引理3[4]设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微. 如果f″∈L[a,b], 则

受上述研究工作的启发,本文的目的是推广现有的工作,建立了涉及带s-(β,m)-凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式.

1 主要结果

引理4 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上三次可微.若f‴∈L[a,b], α∈R+,则

(1)

证明 由引理3, 只需证

事实上,由分部积分有

(2)

注意到

(3)

将式(3)代入式(2), 得到

(4)

由引理3和式(4), 最后可得到式(1), 得证.

为方便起见,引进记号

(5)

引理5 设 p>1, α∈R+, 则不等式成立:

(6)

证明 接下来，将证明分为3个步骤.

步骤1： 令

h(t)=1+(1-t)α+2-tα+2-(α+2)t

(7)

则有

h′(t)=-(α+2)[(1-t)α+1+tα+1+1]<0,

故h(t)为减函数.又h(0)=2>0,h(1)=-(α+2)<0,于是存在唯一的t*∈(0,1),使得

h(t*)=0, h(t)>0,t∈[0,t*), h(t)<0, t∈(t*,1].

步骤2： 易得

(8)

则

(9)

步骤3： 由式(8), 得到

(10)

考虑式(9)(10)及式(5), 有

定理1 假设f:[na,mb]→R是一个三次可微映射,且na

(11)

其中

(12)

证明 情形1： 假设q=1.由引理4,有

因为|f‴|在[na,b]是s-(β,m)-凸的,对任意的t∈[0,1],有

|f‴(tna+(1-t)mb)|≤tβs|f‴(na)|+m(1-tβs)|f‴(b)|.

根据分部积分,引理5, 式(9)和式(10)有,

(13)

情形2： 假设q>1. 由引理4, 幂q的中值不等式,有

(14)

因为|f‴|q在[na,mb]是s-(β,m)-凸的, 故对任意的t∈[0,1], 得

|f‴(tna+(1-t)mb)|q≤tβs|f‴(na)|q+m(1-tβs)|f‴(b)|q

(15)

由引理4和式(14), 有

(16)

由式(9)和式(10), 得到

(17)

由引理5和式 (15)～(17),有

(18)

结合式(13),可以得到式(11), 这就证明了结论.

注1 在定理1中, 假设s=β=n=m=1, 式(11)将化简为

定理2 假设f:[na,mb]→R,na1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 则当有

证明 由引理4, Holder’s不等式, 有

由式(5), 得

另有

因此, 我们得到定理2的结论.

注2 若s=m=β=n=1,不等式简化为

定理3 假设f:[na,mb]→R, na1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 则

(19)

证明 由引理4,应用Holder’s不等式, 有

(20)

另由式(9)(10), 有

(21)

同理, 得到

(22)

将式(21)(22)代入式(20),即得式(19).

注3 在定理3中, 若选择s=m=β=n=1, 则不等式(19)化为

[1] Muddassar M, Bhatti A I, Irshad W.Generalisations of integral inequalities of the type of Hermite-Hadamard through convexity[J].Bull Aust Math Soc,2013 (88):320-330.

[2] Odemir M, Avci M, Kavurmaci H.Hermite-Hadamard-type inequalities via (s,m)-convexity[J].Comput Math Appl,2011(61):2614-2620.

[3] Odemir M E, Avci M, Set E.On some inequalities of Hermite-Hadamard type viam-convexity[J].Appl Math Lett,2010(23):1065-1070.

[4] Wang J, Li X, Feckan M, etal.Hermite-Hadamard-type inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals via two kinds of convexity[J].Appl Anal,2013(10):2241-2253.

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[6] Gao Z, Li M, Wang J.On some fractional Hermite-Hadamard inequalities vias-convex ands-Godunova-Levin functions and their applications[J].Bol Soc Mat Mex, DOI 10.1007/s40590-016-0087-9.

[7] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam: Elsevier Science B V,2006.

[8] Miller K S, Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M].New York: John Wiley & Sons,1993.

[9] Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego: Academic Press,1999.

[责任编辑：李春红]

A Generalization of the Hermite-Hadamard's Inequality

BAI Chuan-zhi, YANG Dan-dan

(School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

We establish some Hermite-Hadamard type inequalities involving Riemann-Liouville fractional integrals fors-(β,m)-convex functions including triple differentiable mappings. Our results extend some recent known results.

Hermite-Hadamard type inequalities; Riemann-Liouville fractional integrals;s-(β,m)-convex

2016-09-12

国家自然科学基金资助项目 (11571136)

杨丹丹(1982-),女,吉林通化人,副教授,博士,主要从事非线性泛函分析及其应用等研究. E-mail: ydd423@sohu.com

O178

A

1671-6876(2016)04-0283-07