渐近伪压缩型映象Noor三步迭代序列的收敛性

张树义，刘冬红，丛培根

(渤海大学 数理学院， 辽宁 锦州 121013)



渐近伪压缩型映象Noor三步迭代序列的收敛性

张树义*，刘冬红，丛培根

(渤海大学 数理学院， 辽宁 锦州 121013)

渐近伪压缩型映象; 渐近非扩张映象; 混合型误差; Noor三步迭代序列

0 引言与预备知识

全文设E是实Banach空间，E*是E的对偶空间.对偶映象Jp:E→2E*(1

T称为一致Lipschitz的，若存在L≥1，使∀x,y∈D(T),∀n≥1,有‖Tnx-Tny‖≤L‖x-y‖.

定义2 设D是E的非空凸子集，T：D→D是一个映象，∀x0∈D，由下式定义的序列，{xn}n≥0⊂D，{yn}n≥0⊂D

(1)

其中{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0,{μn}n≥0，{δn}n≥0和{ζn}n≥0为[0，1]中六个满足某些条件的实数列，{un}n≥0，{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，则称{xn}n≥0为T的带混合型误差的修改的Noor三步迭代序列.特别地，当μn=0,∀n≥0，时，称由(1)所定义的序列{xn}n≥0为带误差的修改的Noor三步迭代序列.当γn=μn=δn=0，∀n≥0,时，称由(1)所定义的序列{xn}n≥0为带误差的修改的Ishikawa迭代序列.

引理1〔1〕设∀x,y∈E，则∀α>0，‖x‖≤‖x+αy‖成立⟺∃f∈Jx, 使〈y,f〉≥0.

由引理1容易推出下面引理2成立.

(2)

‖xn+1-q‖≤‖xn+1-q+α[kn(xn+1-q)+A(xn+1,q)q-(Tnxn+1-q+A(xn+1,q)xn+1)]‖,

其中

关于渐近伪压缩映象和渐近非扩张映象不动点的迭代逼近问题的研究，文〔3〕得到了如下结果:

(i)αn+γn≤1,δn+βn≤1;

近些年来, 文〔4-23〕研究了一些非线性映象不动点的存在性与迭代逼近. 受上述工作启发, 本文的目的是进一步研究渐近伪压缩映象和渐近非扩张映象不动点的迭代逼近问题, 从以下几方面对定理1进行推广和改进：

(ii) 用{Tnyn}n≥0有界取代T的值域T(D)有界.

(v) 将带误差修改的Ishikawa迭代序列推广到更一般的具混合误差的修改的Noor三步迭代序列.

需要指出的是在我们去掉定理1的条件时,并没有增加其它条件,因此本文改进和推广了文〔3〕中的主要结果,同时，本文结果也推广和改进了其他人的相关结果.

1 主要结果

(i)αn+γn+μn≤1，δn+βn≤1；

‖zn-q‖=‖(1-ζn)(xn-q)+ζn(Tnxn-q)‖≤Q(L+1)，

‖yn-q‖=‖(1-βn-δn)(xn-q)+βn(Tnzn-q)+δn(vn-q)‖≤Q(1+L(L+1))+M:=B，

‖xn+1-yn‖≤βn(‖xn-q‖+L‖xn-q‖)+δn(‖xn-q‖+‖vn-q‖)+αn(L+1)‖yn-q‖

+γn(‖yn-q‖+‖un-q‖)+μn(‖yn-q‖+‖wn-q‖)

≤(βn+δn)(L+1)Q+αn(1+L)B+(γn+μn)(B+M)，

从而‖Tnxn+1-Tnyn‖≤[(δn+βn)+αn+(γn+μn)]R,其中R=max{L(L+1)Q,L(1+L)B,L(B+M)}.

令dn=αn+γn+μn, 由(1)式有下列等式成立

(1-dn)xn=(1-dnkn)xn+1+dn(knxn+1-A(xn+1,q)xn+1)-dnTnxn+1+dnA(xn+1,q)xn+1

+dn(Tnxn+1-Tnyn)+γn(Tnyn-un)+μn(Tnyn-wn),

(1-dn)q=(1-dnkn)q+dn(knq-A(xn+1,q)q)+dnA(xn+1,q)q-dnq.

据此可得

(1-dn)(xn-q)=(1-dnkn+A(xn+1,q),dn).

+dn(Tnxn+1-Tnyn)+γn(Tnyn-un)+μn(Tnyn-wn).

‖xn+1-q‖≤(1-A(xn+1,q)αn)‖xn-q‖+2γn‖xn-q‖+4αn(kn-1)‖xn-q‖+αnfn+gn.

(3)

其中fn=2λn(Rdn+M)+2Rdn，gn=2Rdn(δn+βn)+2γnM+2dnγnR.

(4)

1+‖xnj+1-q‖p+Ψ(‖xnj+1-q‖)-Hnj≤1+Qp+Ψ(Q)，所以

下面证明m≥1,有‖xnj0+m-q‖<2ε.当m=1时, 显然成立；当m=2时, 若

‖xnj0+1-q‖<ε，则‖xnj0+2-q‖<ε+gnj0+1+2γnj0+1；若‖xnj0+2-q‖≥ε由Ψ的严格增加性有

由(3)式有

‖xnj0+2-q‖≤(1-A(xnj0+2，q)αnj0+1+4αnj0+1(knj0+1-1))‖xnj0+1-q‖+2γnj0+1‖xnj0+1-q‖

+αnj0+1fnj0+1+gnj0+1

注1 条件D+D⊂D只用于保证迭代序列{xn}n≥0是有意义的，当ζn=μn≡0时，迭代序列即为文〔1〕中的迭代序列{xn}n≥0，此时当ζn=μn≡0时，条件D+D⊂D可以去掉.

由定理2可得定理3.

注2 在本文定理2的证明中{Tnyn}有界条件起了重要作用，那么按本文证法{Tnyn}有界条件是否可以去掉呢？ 这值得我们做进一步研究.

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Convergence of Noor three step iterative sequences for asymptotically pseudocontractive type mappings

ZHANG Shu-yi, LIU Dong-hong, CONG Pei-gen

(College of Mathematics and Physics，Bohai University，Jinzhou 121013, China)

asymptoticallypseudocontractivetypemappings;asymptoticallynonexpansivemappings;mixederrors;Noorthreestepiterativesequences

2016-10-13.

国家自然科学基金项目(No: 11371070).

张树义(1960-), 男,教授, 主要从事非线性算子迭代逼近理论, 变分不等式与优化理论方面的研究.

jzzhangshuyi@126.com.

O177.91

A

1673-0569(2016)04-0293-06