等效重力法有妙用求单摆周期显奇能

华峰

大家都知道，在地球重力场中单摆的振动周期公式是T =2π.可是我们遇到的问题常常是求解单摆在不同条件下的周期，要简捷、顺利地求解此类问题，采用类比的方法，利用等效重力求解有奇效.下面举例分析，希望同学们能够从中受到有益的启示.

一、由于重力加速度变化而引起的周期变化

【例1】单摆在半径为R1、质量为m1的地球表面的周期为T1，若通过宇宙飞船带到半径为R2的另一颗星球表面时，其周期为T2，试求两种情况下的周期之比.

解析：根据万有引力定律有= m′g，再根据单摆周期公式T =2π可得，=.

一般来说引起重力加速度变化的原因有：纬度的变化、高度的变化、场环境的变化，为此可将单摆运动知识与万有引力知识、天体运动知识结合起来求解.

二、由于摆球受到浮力而引起的周期变化

【例2】用一根长为l的细线悬挂一个密度为ρ的小球，并将其放在密度为ρ0（ρ0 < ρ）的液体中，不计液体对小球的运动阻力，试求小球在平衡位置附近做小幅振动的周期.

解析：将重力mg = ρgV和浮力F = ρ0gV（V为小球的体积）合成一个等效重力mg′，则有mg′= ρgV- ρ0gV，即g′= （1-）g.

由此可得小球的振动周期为T =2π=2π.

三、由于单摆处于非惯性系中而引起的周期变化

【例3】如图2所示，沿平直轨道以加速度a做匀速直线运动的车厢中，用一根长为l的细线悬挂一质量为m的小球，求小球在平衡位置附近做小幅振动的周期.

解析：小球在相对车厢静止时，根据物体受力平衡得到等效重力mg′为mg′=，即mg′=m，则g′=.

故此可得小球的振动周期为T=2π=2π.

【例4】如图3所示，将一单摆挂于小车上，将小车放于一辆倾角为θ的斜面上，当小车在斜面上加速下滑时，摆线与竖直方向的夹角也为θ.已知摆球直链状为m，摆长为l，重力加速度为g，求此单摆的周期及小车与斜面间的动摩擦因数.

解析：由图示可知小车运动过程中，摆线的拉力F = mgcosθ，则g′ = gcosθ，故T =2π.

再由受力分析可知，动摩擦因数μ = 0.

一般这些阶段的非惯性系系统指处于匀变速直线运动的力学装置，在此前提下就可用类比法快速求解此类问题.

四、由于单摆处于匀强电场中而引起周期的变化

【例5】将一带电摆球置于一水平向右的匀强电场中，如图4所示.摆球静止时与竖直方向之间的夹角为α，已知摆球质量为m，摆长为l，带电荷量为Q.现若将摆球拉离静止位置一个很小的角度释放，求其振动周期；若要使摆球摆到竖直方向时速度为零，应将摆球拉离竖直方向一个多大的角度？

解析：摆球静止在平衡位置时的拉力F=，则g′=，故此摆球的振动周期为T=2π=2π.

一般当单摆处于匀强电场中时，由于所受的电场力为恒力，与重力的合力仍为恒力，运用类比法求解简捷、快速.

五、单摆周期公式的拓展运用

【例6】有一摆钟在地面上走时准确，其标准周期T0 = 2s，现将其移到高山上，发现它一昼夜慢了1min，求此山的高度.已知地面重力加速度g0=9.8m/s2，地球半径R0=6400km.

解析：设摆钟在标准时间内的振动次数为N，则其在标准时间内指示的时间t=N·T，在标准时间内慢的时间就应为△t=N·△T，其中N=，△T=T-T0.

再由=（），代入已知数据可解得h=4450m.

由上述解题过程可归纳出一个有用的结论：钟在标准时间里指示的时间与摆振动的次数成正比，跟钟摆的振动频率成正比.写成比例关系式为：=====.据此可根据题目的特点，达到快速、简捷求解的目的.

【例7】竖直放置的光滑圆弧形球面半径R较大，在弧面中心O正上方高h处放置一个小球A，当A自由下落的同时，另一个小球B从球面某处C（OC弧远小于半径R）由静止开始滚下，为时两球相碰，h应满足什么条件？

解析：根据题意，小球B在光滑圆弧面上滚动等效于单摆，摆长即为圆弧半径，周期T=2π，考虑到单摆运动的周期性，由相碰的条件有（2n-1）=，解得h=R（n= 1，2，3，…）.

一般类单摆模型的计算，主要是求解其等效摆长或等效重力加速度.

练习

1. 已知北京的重力加速度g1=9.812 m/s2，南京的重力加速度g2=9.795 m/s2，在北京准确的钟摆，如果放在南京，钟将走慢还是走快？一昼夜差多少？要使其走时准确，如何调整摆长？

2. 如图5所示，一个质量为2m的球体A套在光滑水平杆上，用一长为l的小球B与A连接，约束A球，将B球拉离竖直方向一个很小的角度，释放B球的同时撤去A球的约束，之后A、B两球都将做简谐运动，试求A球和B球的周期.

3. 如图6所示，半径为R=10m的光滑凹球面容器固定在地面上，有一小木块在距容器最低点P=10cm的C点，由静止无摩擦滑下，则小木块自静止滑下到第二次通过P点时所经历的时间为多少？若此装置放在以加速度a向上运动的实验舱里，上述所求的时间又是多少？

责任编辑 李平安