例谈高中数学解题策略

杨敏

摘要：数学教学中，解题作为最重要的一环，一直是我们关注的热点，从而培养学生的解题技巧和思考方法也是我们关注的重要方向。数学的解题技巧和日常数学教学活动密切联系，因此，如何在教学中了解学生的解题经验积累、教师如何设置教学情境和教学内容，对保证学生对数学解题的兴趣提高有着重要的意义。

关键词：高中数学；解题例谈；经验交流

高中数学不同于语文、英语、历史这类文科课程，背诵记忆这种学习方法是不适用数学学科的，它更注重变通，需要灵活运用所学知识的同时还要掌握一定的解题方法和技巧。学生在掌握了数学解题技巧后，不但解题速度可以得到有效提升，还有助于数学素养的提高，能够运用数学知识、思维独立思考，解决问题。

一、重视审题训练

想要有效提高解题的效率并保证解题的正确性，最为关键的就是审题。要求学生应该在准备解题之前，首先对题型进行认真分析，能够找到问题的关键点与重要的条件，并且找到与问题有关的信息，将其进行收集，之后进行正确地分析研究，最终找到问题的突破口。

例如我们在学习函数基偶性的判断之后，对有关题目进行解析时，如函数y=x3，x∈[-1，3]，判断此函数的奇偶性。往往许多的同学在面对这类问题时，都没有进行仔细地审题，因此就注意不到x的取值范围，只机械套用函数的奇偶性，最终将公式进行化简后得到y=x3，最后直接定义此函数为奇函数；但是如果学生在解题前能够仔细解题，最后在判断函数的奇偶性时就会参考x的取值范围来进行解题，首先要判断此函数的图像是否关于坐标原点中心对称，如果不对称则说明此类函数不具有奇偶性，所以正确的解题过程应该为：因为2满足定义域，但是-2不在定义域的范围内，所以可以判断此函数图像关于坐标原点不对称，最后判断此函数为非奇非偶函数。

在针对这种类型题的解题时，一定要注意首先要仔细进行审题，在进行审题的过程中不仅能给解题带来一定的思路，更能挖掘出问题的关键与隐含的重要条件。所以对学生进行审题训练显得至关重要，只有这样才能够有效提高学生的解题能力。

二、具体策略

策略1：回到“定义”去。

掌握定义的本质是学好数学的关键，熟悉定义的数学模型、方程形式等，则能在解题时获得解题思路。

例1.已知一动圆外切于已知圆C：x2+y2-2ax=0 （a>0），且与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程。

解：如图，设动圆圆心为M（x，y）。

（1）若圆M在y轴的右侧，且与y轴相切于A，与圆C外切与B，则有|MA|=|MB|。因为|MA|=|MB|=|MC|-|BC|=|MC|-a，所以|MA|+a=|MC|。点M到直线x=-a和定点C的距离相等，根据抛物线的定义，则圆心M的轨迹方程为y2=4ax。

（2）若圆M在y轴的左侧，且与y轴相切、与圆C外切，则圆心M的轨迹方程为y=0 （x<0）。

综上所述，动圆圆心M的轨迹方程为y2=4ax和y=0（x<0）。

点评：数学中的定义是反映数学对象本质属性的思维形式，是构成判断、推理的基础。学好数学，一定要把数学定义理解得生动、形象、具体，要从数、形、式等各方面深入浅出地理解，才能使用起来得心应手。

策略2：化抽象为具体。

数学题有时很抽象，总让我们感到无法入手。这时，我们要将抽象的问题化为具体的表达式，建立一个数学模型，使问题得到合理解决。

例2.已知函数f（x）为偶函数，将函数f（x）的图像向右平移1个单位，得到一个奇函数。若f（2）=-1，求f（1）+f（2）+…+f（2013）的值。

解：构造函数f（x）=cosωx （ω>0），由f（2）=-1，取ω= 。

所以f（x）=cos x，最小正周期为4，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，f（1）+f（2）+…+f（2013）=cos[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）=cos =0。

点评：将一个抽象的数学问题，通过构造一个具体的数学模型，使问题得到简化，从而得到了有效解决。

策略3：数、形转换。

数与形是数学的两个不同侧面，形具有直观、形象、感性的特点，但不够准确、严密；数具有理性、抽象的特点，数量关系具有准确、严密的特点。但两者不能偏废，数形结合是我们解题的有力工具，要真正做到由“数”想“形”、见“形”思“数”。

例3.求函数y= 在[0，π]上的最值。

解：将比值 看作两个点A（2，1）、B（cosx，sinx）连线的斜率，点B是单位圆x2+y2=a的上半圆的一动点，如图，斜率的最小值为 =0，最大值为 =1，所以函数y=的最大值为1，最小值为0。

点评：由分式型联想到直线的斜率、由根式联想到两点之间的距离等，体现了由“数”想“形”的思想。

三、解题后的反思

大部分的人在做题的时候，往往只关心答案。大部分老师的讲解或例题讲解，往往也是主要讲计算过程或答案。但是对整个解题思考过程，往往讲解的并不够清楚细致。只是让我们知道了计算过程，却不知道思考的过程——而这才是解题最重要的方面。这就和我们梳理知识体系一样，如果只看到表面的知识本身，而没有把握知识内在的联系，就不能够真正的做到彻底理解，也就不可能取得长足的进步。？解题后的反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾与思考，是提高解题能力的一个重要途径，只有这样，才能有效地深化对知识的理解，提高思维能力。假如解数学题解一道扔一道，这样将无助于解题能力的提高。

解题后的反思必须做到以下两点：（1）总结经验与方法。解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行总结，从而为以后解题积累经验，培养解题能力；（2）善于推广引申。解完一题后，要善于将原来题目的题设、结论改变一下，或者互换一下，把特殊条件一般化，把一般条件特殊化，尝试举一反三，触类旁通，从而提高解题的能力。

解题策略的构建是一个极为复杂的课题，以上只是本人一些粗浅的想法。在课堂教学中教师不仅要讲清楚如何解决一个问题，更重要的是要讲透为什么这样解。引导学生从常规常法、由特殊到一般法、从模型化的思想方法等几个方面寻找“解题策略”这一过程性思维必不可少。当然学生多练、多思、多归纳总结是培养学寻求“解题策略”的不二法门。

参考文献

[1] 张泉.世纪金榜：高中全程复习方略.福建教育出版社，2014-03.