概率论中关于标准正态随机变量乘积的探究

王蓉华，徐晓岭，顾蓓青，雷平

(1．上海师范大学 数理学院，上海 200234；2．上海对外经贸大学 商务信息学院，上海 201620)

概率论中关于标准正态随机变量乘积的探究

王蓉华1，徐晓岭2，顾蓓青2，雷平2

(1．上海师范大学 数理学院，上海 200234；2．上海对外经贸大学 商务信息学院，上海 201620)

标准正态分布；分布函数；密度函数；随机变量的乘积

1 引言

2 两个标准正态随机变量乘积的分布

所以X1+X2,X1-X2相互独立，进而有Y1,Y2相互独立。

又

对y≤0，

FY(y)=P(Y≤y)=P(Y1-Y2≤2y)

对y>0，

FY(y)=P(Y≤y)=P(Y1-Y2≤2y)

(方法二)对y≤0，

FY(y)=P(Y≤y)=P(X1X2≤y)

对y>0，FY(y)=P(Y≤y)=P(X1X2≤y)=P(X1X2≤0)+P(0

下面验证方法一与方法二的结果是一样的，即要验证如下等式成立：

3 容量为2的两个独立标准正态总体样本乘积的分布

定理2：设总体X～N(0,1),Y～N(0,1)，且相互独立，而X1,X2和Y1,Y2是分别来自总体X,Y的容量为2的一个简单随机样本。记Z=X1Y1+X2Y2，则Z的密度函数为：

证明：注意到

即矩阵A是正交阵，也即上述线性变换为正交变换。

则

又

进而得Z的密度函数为：

则

又Y1,Y2,X1,X2的联合密度函数为：fY1,Y2,X1,X2(y1,y2,x1,x2)=φ(y1)φ(y2)φ(x1)φ(x2)

则Y1,Y2,X1,Z的联合密度函数为：

(方法二)对-∞

4 容量为n的两个独立标准正态总体样本乘积的分布

证明：注意到

又

(Z11,Z12,Z21,Z22,…,Zn1,Zn2)′=A(X1,Y1,X2,Y2,…,Xn,Yn)′

又

而

特别地，当n=2时，

对-∞

即Z～N(0,1)

一般地，对n≥2，作如下变换：

又Y1,Y2,…,Yn,X1,X2,…,Xn的联合密度函数为：

则Y1,Y2,…,Yn,X1,X2,…,Xn-1,Z的联合密度函数为：

fY1,Y2,…,Yn,X1,X2,…,Xn-1,Z(y1,y2,…,yn,x1,x2,…,xn-1,z)

注意到

则

如此进行下去，则有：

于是

由此得：Z～N(0,1)

[1] 张尧庭，方开泰．多元统计分析引论[M]．北京：科学出版社，1997：65-118．

[2] 方开泰．实用多元统计分析[M]．上海：华东师范大学出版社，1986：67-104．

[3] 于秀林，任雪松．多元统计分析[M]．北京：中国统计出版社，1999：9-28．

[责任编辑：崔海瑛]

The Study on Product of Standard Normal Random Variables in the Probability

WANG Rong-hua1, XU Xiao-ling2, GU Bei-qing2，LEI PING2

(1. Mathematics and Science College, Shanghai Normal University, Shanghai200234, China;2. Business Information Management School, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai201620, China)

standard normal distribution; distribution function; density function; product of random variables

王蓉华(1972-)，女，上海人，副教授，主要研究方向应用统计。

上海师范大学骨干教师教学激励计划教研团队建设项目；2015年上海高校外国留学生英语授课示范课程建设(商务统计)项目(A1A-6122-15-002)。

O211.5

A

2095-0063(2016)06-0037-12

2016-06-07

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.06.010