“直线的两点式方程”教学设计

♡鸡西市第十九中学 孙长卿

“直线的两点式方程”教学设计

♡鸡西市第十九中学 孙长卿

（人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》必修2第三章直线与方程3.2“直线的方程”第2课时）

学情分析：

我校为一所普通高中，部分学生基础较差，学生在学习态度、学习习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱.

在学完直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程——点斜式、斜截式的概念并会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，对两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰.但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等能力薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用问题上会有一定困难.

学习内容分析：

直线方程共有四种特殊形式，本节课学习第三、第四种特殊形式，其重要性略低于前两种形式，使用频率也不高.但在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程中有着重要意义.

本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，教学基于点斜式方程；引领学生学会一个数学方法——待定系数法，这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法；另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想.

通过对两点式、截距式方程的学习，让学生感受数学的对称美、和谐美等特质.通过对两点式方程由分式到整式的变形，帮助学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义【直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）】，为学习直线的参数方程做铺垫.使学生掌握整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的技巧，为学生感性认识行列式、进一步学习高等数学埋下伏笔，体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念.

教学目标：

知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；

过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；

态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.

重点：1.掌握直线的两点式方程及应用；2.掌握求直线方程的两种基本方法.

难点：两点式方程的建立，待定系数法的应用，综合性问题的解决.

教法与学法：

采用阅读－交流－展示－提升－检测等步骤，通过生生互动、师生互动等方式，还时间于学生、还思维于学生，让学生经历知识概念及能力的形成过程.生、师的精讲及学生的精练，体现学生学习先行，教师断后的过程，达到提升学生能力的目的.

基于学情，教师让学生先阅读本节知识并小组交流，让一名成绩较好的学生讲解两点式方程的导出过程，教师通过追问让全体学生深刻理解方程的内涵与外延.之后及时通过一定量的练习让学生掌握方程并会灵活应用.为掌握待定系数法，教师通过举例求一元一次函数解析式时可用待定系数法类比，求直线方程也可以用待定系数法并精讲求解过程，让学生明确步骤、学会方法.教师通过引导学生观察、类比、归纳、化归转化、合作探究等方式，使学生转变学习方式.

教学过程（含师生活动）：

复习回顾：让学生回答上节课学习的直线方程的两种形式：点斜式及斜截式方程，并明确已知及方程适用条件.

问题导入：利用点斜式、斜截式可求直线方程，若不知k，只知两个点，能否求直线方程呢？

例已知两点P1（3，-5），P2（-2，5），求直线方程.当两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）变成一般的两点，如何得出用这两点坐标表示的直线方程？

进而导出新课，并展示学习目标，由一名学生到黑板上板演两点式方程及截距式方程.

新知探究：

问题：探究在已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）时，如何求直线方程、让学生阅读教材，由一名学生讲解方程的导出过程：

教师进一步追问学生：1.为什么要x1≠x2？2.为什么要y1≠y2？3.为什么在点斜式方程中要把y1≠y2除以到分母中去？进而引导学生进一步明确提升知识内涵及外延.

通过小组交流讨论澄清以下易错点：

1.这个方程由直线上两点确定；

2.当直线斜率k不存在（即x1=x2）或k=0（即y1=y2）时,不适用（此时方程如何得到）；

3.形式（分式）对称，也可用变形式：（y1-y2）x+ （x2-x1）y+x1y2-x2y1=0，

此时x1=x2,y1=y2能否成立？

当堂训练：

求过下列两点的直线的两点式方程，并化简整理.

（1）P1（5，-3），P2（1，2）；（2）A（a，0），B（0，b）（a≠0，b≠0）.

这两题由小组抢答完成，由学生挑错，教师提醒学生注意易错点.对于第（2）题，教师可引导学生变形，发现另一种比较完美的直线方程形式：，并加以总结提升.

解题小结：

1.解题步骤：明确条件－代入公式－化简整理；

2.截距式方程及说明：

（1）截距式方程适用于横、纵截距都存在且都不为0（即ab≠0）的直线；

（2）形式对称与和谐的特征，并举出不是截距式方程的例子；

（3）横、纵截距a、b不是距离，可以为任意实数.

3.四种特殊形式：点斜式（斜截式） 两点式（截距式）

能力提升：

例1已知三角形ABC的顶点是A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），

（1）)求ABC三边所在直线方程；

（2）求BC边上中线所在直线方程.

由学生小组派代表板演完成，教师针对学生解题步骤不规范现象，以求边AB、AC所在直线方程为例加以示范，特别是用（y1-y2）x+（x2-x1）y+x1y2-x2y1=0形式求解，让学生体会这种形式的简洁美.如做出如下排列（即行列式）：

代入公式，从而有［0-（-3）］x+[3-（-5）]y+（-5）×（-3）-3×0=0，即边AB所在直线l方程：3x+8y+15=0.

教师强调解解析几何题要养成画图的习惯，指出画图可以将抽象变直观，且可以提示解题思路.

对于（2）边BC及BC边中线所在直线方程由学生独立或讨论完成，把学生的结果用视频展台展出，有问题的地方加以纠正.

例2已知直线l过点A（1,2），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程.

此题有难度，可先由学生小组交流讨论，提出解法.如有困难，由教师举例：已知一元一次函数图像上两点坐标，求此函数的解析式.提示学生此类题可用待定系数法求解，进而类比得出求直线方程也可用此方法：设方程－列方程组－解方程组－得出直线方程并提出变式问题.

方法：求直线方程的方法：直接法：明确条件－代入方程－化简整理；间接法：待定系数法.

思想：方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.

当堂检测（教学效果）：

针对学生层次分别设计出必做题（基础和能力题）和选做题（拓展题）.

课后反思：

1.可取之处：（1）两点式方程的教学由具体事例引入，再推广到一般情形，让学生经历知识的形成过程.

（2）变教师讲两点式方程的导出为学生讲，教师再采取追问的方式深入挖掘内涵，使学生透过现象看到本质.

（3）注重了数学美的挖掘，让学生感受数学的对称美和和谐美，引发学生学数学的兴趣.

（4）注重了数学思想和方法的教学，数学思想是灵魂，数学方法是解决问题的手段.使方程思想、数形结合思想、分类讨论思想贯穿了本节课的始终.

2.不足之处：（1）学生的合作学习质量不高.针对第二个教学目标，即让学生学会一种求直线方程的间接方法——待定系数法，应让学生充分交流讨论，拿出结果和同学一起分享，对的可以借鉴，错的吸取教训，应相信学生有这个能力，通过合作学习可以获得成功.

（2）本节课的课堂总结及方程的适用条件的处理，让学生去归纳效果会更好.

3.创新点

（1）对数学美的挖掘，通过对方程形式美的发现，让学生感受数学美.

（2）把分式方程变形为整式方程：（y1-y2）x+（x2-x1）y+x1y2-x2y1=0，这应是本节课的一个创新处理.这个处理为学生将来学习高等数学中的行列式做了铺垫，而且对学生了解直线方程的一般式中系数A、B的几何意义，即（B，-A）为直线的方向向量做了铺垫.而把两点坐标排成下图（行列式），再按箭头方向确定系数和常数项的值，为学生快速地写出直线方程提供了一个好方法.

（此教学设计曾获教育部基础教育课程教材发展中心“菁华杯”首届全国教学设计大赛一等奖.）

编辑/王一鸣

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