解析几何最值问题的拓展探究

◇ 山东 陈永桥



解析几何最值问题的拓展探究

◇ 山东 陈永桥

解析几何最值问题是高考重点考查题型,且常以把关题的形式出现,问题求解的关键是利用坐标法、代入消元法、根与系数的关系等,将几何问题代数化后,构造目标函数,再利用求函数最值的常用方法求解．下面引例说明．

(1) 求椭圆M的方程;

(2) 直线l与椭圆M交于A、B2点,且线段AB的垂直平分线经过点(0,-1/2),求△AOB(O为原点)面积的最大值.

本题第(1)问属于基础题型,准确把握已知条件中所给的平面几何性质即可顺利求解．椭圆M的方程为x2/3+y2=1(过程略).

1 利用均值不等式

第(2)问解答设A(x1,y1)、B(x2,y2),因为AB的垂直平分线通过点(0,-1/2), 显然直线AB有斜率,当直线AB的斜率为0时,AB的垂直平分线为y轴,则x1=-x2、y1=y2,所以

点评针对目标函数中出现和为定值或积为定值的形式,可首选均值不等式法求解．某些问题中均值不等式的形式并不明显,可通过换元将定值条件显现出来后,再利用均值不等式求解．

2 利用二次函数配方法

(3k2+1)x2+6kt+3t2-3=0.

当Δ=4(9k2+3-3t2)>0,即

3k2+1>t2,

①

方程有2个不同的解.

3k2+1=4t,

所以

3 三角换元法

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;

(3) 设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值．

本题是圆与椭圆的综合问题,解题中需要充分结合圆与椭圆的几何性质,将几何问题代数化,进而构造目标函数来求最值．

解析(1)x2/3+y2=1.(2) 根据题意知P(0,t) (-1

(3) 由(2)知,圆P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2)．因为点Q(x,y)在圆P上,所以

设t=cosθ,θ∈(0,π),则

当θ=π/3,即t=1/2且x=0时,y取最大值2.

点评针对变量的范围是[-1,1]的函数最值问题,可考虑借助三角换元法将目标函数转化为y=Asin(ωx+φ)型求解．某些问题的求解中也可利用圆锥曲线的参数方程,引入三角变量求最值．

除上述方法外,还常用到基本函数法(借助基本初等函数值域求解)、分离常数法等.请同学们在学习中不断积累总结此类问题的处理策略,以提高解题能力．

山东省章丘市第五中学)