谈谈曲面积分的计算方法

张晓春

(江西工程学院，江西 新余 338029)



谈谈曲面积分的计算方法

张晓春

(江西工程学院，江西 新余 338029)

这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法,第二型曲面积分属于向量函数的积分，在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。所以，正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。

曲面积分；二重积分；计算；转换

1 第二型曲面积分定义

2 将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法

①第二型曲面积分∬∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy可化为三个第二型曲面积分来计算：I1=∬∑P(x,y,z)dydz,I2=∬∑Q(x,y,z)dzdx,I3=∬∑R(x,y,z)dxdy。

这就必须把曲面分别投影到yOz、zOx、xOy面上，再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分，运算量相当大且容易出错。

例：计算下列闭曲面上的曲面积分(积分沿区域 Ω之边界曲面 的外侧)：

Ω={(x,y,z)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0,0≤z≤1}；

解：在曲面∂Ω上x=0,y=0,z=0及z=1部分的S上∬Sxzdydz=0，所以

在曲面∂Ω上x=0,z=0及z=1部分的S上∬S(x3+z3)dzdx=0，所以

在曲面∂Ω上x=0,y=0及x2+y2=1部分的S上∬S(x3-y3)dxdy=0，所以

②先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分：

再将第一型曲面积分转化为二重积分：

若在xOy面：

yOz，xOz面上以此类推。

最后利用二重积分计算得出结果。

较第一种方法，此方法更加灵活多变，在计算中可以省很多力气。

例：计算曲面积分：∬Sz(x2+y2)(dydz+dxdz)，其中 S 为球面 x2+y2+z2=R2

在第一、四卦限(x≥0，z≥0)的部分，积分沿S的上侧；

解：S的单位正法向为

3 总结

利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算,避免了传统计算方法对曲面侧的判定，其显著优点是物理意义明确,计算过程简单,适用于所有的第二型曲面积分的计算。但是，计算时要不断地总结，学会根据题型的变化来选择方法，寻求更加简便的方法，不能一味的追求某一种。

而且，高等数学这门科学是博大精深的，要不断的学习研究才能领悟得更多。就自身而言，要抱着谦虚谨慎的态度，努力钻研高数，希望能够参透高等数学的一角。

[1] 数学分析讲义.高等教育出版社上册，第五版，2008年

[2] 微积分辅导及习题精解.延边大学出版社，2010年(2012年重印).

O172.2

A

1671-1602(2016)22-0189-01