基于单轴压缩蠕变试验求解沥青混合料松弛模量*

吕慧杰 刘涵奇 罗 蓉

(武汉理工大学交通学院 武汉 430063)

基于单轴压缩蠕变试验求解沥青混合料松弛模量*

吕慧杰 刘涵奇 罗 蓉

(武汉理工大学交通学院 武汉 430063)

为了更加精确、方便地获得沥青混合料的松弛模量，对处于线性粘弹性状态的沥青混合料试件进行单轴压缩蠕变试验，根据蠕变柔量和松弛模量在拉普拉斯域内的转换关系，通过测得的蠕变柔量计算得到沥青混合料的松弛模量.结果表明，沥青混合料蠕变柔量和松弛模量的相互转换建立在线性粘弹性基础上，实现蠕变柔量向松弛模量的转化本质上是实现广义开尔文模型向广义麦克斯韦尔模型的转化.所提出的方法可用于以松弛模量为基础的沥青混合料粘弹性本构模型中，用于预测沥青路面的粘弹性响应.

道路工程；沥青混合料；蠕变柔量；松弛模量；线性粘弹性

0 引 言

沥青混合料是一种复杂的粘弹性材料，其线性粘弹性质是后续研究沥青路面开裂和永久变形的基础[1-3].松弛模量是研究沥青混合料线性粘弹性能的重要参数之一，理论上可以通过应力松弛试验直接测定松弛模量.应力松弛试验是在试验开始的很短时间内输入一个恒定的应变，目前的试验仪器很难实现，试验造成的误差较大，操作具有一定的难度[4].文献[5-7]通过复数模量试验间接确定了松弛模量.然而，在测定复数模量时，需要在几个不同的温度下进行若干频率的试验，试验过程较复杂，耗时长.

松弛模量和蠕变柔量是沥青混合料粘弹性性质的2种表现形式，两者之间存在相互转换的关系.因此，沥青混合料的松弛模量可先通过较为简单的蠕变试验测得蠕变柔量，然后再经由蠕变柔量转换求得.该方法已被黄文柯等[8]证实，但在进行蠕变试验时并未考虑松弛模量和蠕变柔量相互转换的必要条件，即沥青混合料必须处于线性粘弹性状态，只是进行了不同应力水平下的蠕变试验.

文中基于线性粘弹性力学理论，采用广义开尔文模型和广义麦克斯韦尔模型对沥青混合料的蠕变柔量和松弛模量分别进行表征，根据蠕变柔量和松弛模量在拉普拉斯域内的转换关系，通过对线性粘弹性状态下的沥青混合料试件进行蠕变试验，以期通过蠕变柔量求得沥青混合料的松弛模量.沥青混合料试件处于线性粘弹性状态将通过3种小应力水平下的蠕变试验试验结果和1种小应力水平下的复数模量试验试验结果共同验证.

1 蠕变柔量与松弛模量性质

1.1 蠕变柔量与松弛模量及其Prony表达式

沥青混合料的蠕变柔量和松弛模量通常采用弹簧和粘壶组成的力学模型来表征，其中弹簧用于表征沥青混合料中的弹性效应，粘壶用于表征沥青混合料中的粘性效应.目前广泛采用广义开尔文模型模拟粘弹性材料的蠕变现象，采用广义麦克斯韦尔模型模拟粘弹性材料的应力松弛现象[9-11]，见图1～2.

图1 广义开尔文模型

图2 广义麦克斯韦尔模型

采用Prony级数的形式对广义开尔文模型和广义麦克斯韦尔模型分别进行表征，可得到

(1)

式中：E0为瞬时弹性模量；Ei为第i个开尔文元件中弹簧的弹性模量；ηi为第i个开尔文元件中粘壶的粘度；n为开尔文元件的个数.

(2)

实现蠕变柔量向松弛模量的转化实际上就是实现广义开尔文模型向广义麦克斯韦尔模型的转化.

1.2 蠕变柔量与松弛模量相互转换

当沥青混合料处于线性粘弹性状态时，其应力应变本构关系可由玻尔兹曼叠加原理进行描述.

1) 在应力控制试验中，若输入应力σ(t)，输出应变ε(t)可以表示为

(3)

式中：τ为虚拟变量，τ∈[0,t]，s；D(t)为当沥青混合料处于线性粘弹性状态时的蠕变柔量，MPa-1；σ(t)为输入应力，Pa；ε(t)为输出应变.

2) 在应变控制试验中，若输入应变ε(t)，输出应力σ(t)可以表示为

(4)

式中：τ为虚拟变量，τ∈[0,t]，s；E(t)为当沥青混合料处于线性粘弹性状态时的松弛模量，MPa；ε(t)为输入应变；σ(t)为输出应力，Pa.

根据弹性-粘弹性对应原理，对式(3)和式(4)分别进行拉普拉斯变换，可将时间域内的粘弹性问题转化为拉普拉斯域内的弹性问题.拉普拉斯变换的定义如下[12].

(5)

根据式(5)对式(3)和式(4)分别进行拉普拉斯变换后可得

(6)

(7)

对式(6)和式(7)进一步分析可得

(8)

式(8)阐明了蠕变柔量和松弛模量在拉普拉斯域内的转换关系，为通过蠕变柔量(松弛模量)求解松弛模量(蠕变柔量)奠定了理论基础：

1) 若已知蠕变柔量，可通过式(9)求解松弛模量.

(9)

2) 若已知松弛模量，可通过式(10)求解蠕变柔量.

(10)

式中：L-1{ }为拉普拉斯逆变换算子形式.

文中将利用式(9)实现由蠕变柔量到松弛模量的转换.

2 单轴压缩蠕变试验

2.1 试件制备

文中中蠕变试验为单轴压缩蠕变试验.试验选用AC-20C石灰岩沥青混合料，其中沥青采用SBS改性沥青，集料采用石灰岩.集料的合成级配见表1，最佳油石比确定为4.30%.

表1 沥青混合料矿料级配组成

热拌沥青混合料(简称HMA)试件的制备采用Superpave旋转压实的方法，具体操作步骤如下.

步骤1 利用自动拌和仪将加热后的集料和沥青在170 ℃下进行拌和，拌和结束后将沥青混合料散料放置150 ℃的烘箱中进行温度养生2 h，用于模拟运输过程中的老化现象.

步骤2 温度养生结束后，利用旋转压实仪成型高度为170 mm、直径为150 mm的圆柱形试件.

步骤3 待试件完全冷却后，利用钻芯机对步骤2所得的试件进行钻芯，得到高度为170 mm、直径为100 mm的试件.

步骤4 钻芯结束后，利用切割锯对步骤3所得试件的上下两面各切除10 mm，得到高度为150 mm、直径为100 mm的试件.

步骤5 试件制备完成后，采用水中重法测量试件的空隙率，试件的空隙率需满足4.0%±0.5%才能用于蠕变试验.

本次蠕变试验采用材料试验机(简称MTS)对2个AC-20C石灰岩HMA试件(分别记作HMA-1和HMA-2分别进行.在开始试验前，沿着HMA试件侧面安装3个标距为90 mm、相隔120°的位移传感器用于记录HMA试件在侧面3个位置的轴向方向变形，并取3个位置的轴向方向变形的平均值作为HMA试件在试验条件下的变形值.

2.2 试验方案

文中旨在利用蠕变柔量和松弛模量在拉普拉斯域内的转换关系，见式(9).通过蠕变试验求解沥青混合料的松弛模量.式(9)的推导建立在波尔茨曼叠加原理的基础上，因此式(9)的适用范围是在进行蠕变试验时沥青混合料处于线性粘弹性状态.当沥青混合料处于线性粘弹性状态时，其时间域内的应力应变关系满足线性叠加原理，用数学方程表示如下.

ε[cσ(t)]=cε[σ(t)]

(11)

ε[σ1(t)+σ2(t-t1)]=

ε[σ1(t)]+ε[σ2(t-t1)]

(12)

式中：c为常数.

当对沥青混合料进行蠕变试验时，式(11)和(12)的成立均建立在蠕变柔量随应力水平的改变保持不变的基础上；当对沥青混合料进行复数模量试验时，式(11)和(12)的成立均建立在动态模量和相位角随加载周期和应力水平保持不变的基础上[13-14].因此，为了保证试验用HMA试件在进行蠕变试验时处于线性粘弹性状态，先对该试件进行3种不同小应力水平下的蠕变试验，比较3次试验得出的蠕变柔量是否非常接近；在蠕变试验结束后，再对该试件进行小应力水平下的复数模量试验，观察动态模量和相位角随加载周期的变化是否保持不变，进一步确认试件没有受到损伤.

本次单轴压缩蠕变试验在20 ℃下进行，在正式开始试验前，试件需要在该温度下进行至少3 h的温度养生,以使试件的内部达到温度平衡.每个试件均进行3种应力水平的蠕变试验，相邻2次试验间隔1 h以使试件的变形完全恢复.在完成3个应力水平下的蠕变试验、试件休息1 h后，再对同一试件进行复数模量试验，其中复数模量的加载形式为半正弦波.蠕变试验和复数模量试验的试验方案见表2.

表2 蠕变试验和复数模量试验试验方案

在所有试验结束后，可以从MTS软件中读取轴向力和轴向位移数据用于试验结果分析.

2.3 试验结果分析

在从MTS软件中读取轴向力和轴向位移的数据后，HMA试件受到的轴向应力和轴向应变分别按照式(13)和(14)求得.

(13)

(14)

式中：σ(t)为试件受到的轴向应力， Pa；F(t)为施加的轴向力， N；r为试件的半径，即0.05 m；ε(t)为试件产生的轴向应变；Δl为试件的轴向变形量，m；l为试件的标距，即0.09 m.

在求出蠕变试验中HMA试件所承受的轴向应力和轴向应变后，可计算出蠕变柔量.以HMA-1试件为例，图3为HMA-1试件在20 ℃ 3种应力水平下测得的蠕变柔量，3种应力水平下的蠕变柔量非常接近说明试件在进行蠕变试验时处于线性粘弹性阶段.

图3 HMA-1试件3种应力水平下蠕变柔量

复数模量试验需对HMA试件施加半正弦波荷载.在求出复数模量试验中HMA试件所承受的轴向应力和轴向应变后，动态模量和相位角可由式(1)求出.

(15)

φ=ωΔt

(16)

式中：σ0为HMA试件承受半正弦荷载的振幅，Pa；ε0为HMA试件产生轴向应变的振幅；ω为复数模量试验的角频率，rad/s；Δt为轴向应变与轴向应力的时间差，s.

以HMA-1试件为例，图4为HMA-1试件在20 ℃复数模量试验的测得结果，由图5可知，稳定状态下的动态模量和相位角随着加载周期保持不变，进一步说明试件没有受到损伤.

3种应力水平下蠕变试验的试验结果以及复数模量试验的试验结果均表明试验用HMA试件在进行蠕变试验时处于线性粘弹性状态，没有受到损伤.因此可以根据式(9)求解松弛模量.

图4 HMA-1试件动态模量和相位角测量结果

3 由蠕变柔量求解松弛模量

3.1 广义开尔文模型表征蠕变柔量测量结果

本次蠕变试验的加载时长为120 s，由于加载时长较短，在利用Prony形式的广义开尔文模型对蠕变柔量试验结果(取3种应力水平下蠕变柔量的平均值)进行拟合时，取i=2并将E0，E1，E2，η1，η2均看作拟合参数.在利用Microsoft Excel中的规划求解功能对模型进行拟合后，得到的拟合结果见图5，拟合参数见表3.

图5 HMA-1试件蠕变柔量拟合曲线

参数E0E1E2η1η2拟合值4．0322．6460．88320．4080．987

由图5可知，广义开尔文模型能够很好地拟合蠕变柔量测量值，判定系数R2计算为0.998 8.

3.2 基于解析解求解松弛模量

为了通过广义开尔文模型表征的蠕变柔量求解出松弛模量，先对式(1)进行拉普拉斯变换，可得

(17)

然后将式(17)代入式(9)中求得拉普拉斯域内的松弛模量，即

(18)

为了求解松弛模量的解析解，先对式(18)运用部分分式展开法，即将式(18)看作是2个高阶多项式的比值，则有

(19)

式中：a和b均为高阶多项式的系数，可通过比较式(18)和式(19)的系数求得.

然后对式(19)的分母进行因式分解，式(19)必定写成如下形式

(20)

式中：ri为满足方程B(s)=0中除0以外的根；C0和Ci通过比较式(19)和式(20)的系数求得.

对式(20)应用拉普拉斯逆变换可求得

(21)

显然，式(21)符合如式(2)所示的广义麦克斯韦尔模型的Prony形式.对比式(21)和式(2)可知，由广义开尔文模型表征的蠕变柔量经式(9)推导出的松弛模量恒符合广义麦克斯韦尔模型的形式.

当i取2时，则有应力松弛模量为

E(t)=C0+C1e-r1t+C2e-r2t

(22)

按照式(18)～(21)所述的因式分解方法，可求得各拟合参数的值.

(23)

(24)

将3.1求解的广义开尔文模型各参数值代入式(23)～(24)中即可求解出松弛模量.

3.3 基于数值解求解松弛模量

上述通过松弛模量解析解求解松弛模量的方法具有明确的物理意义，将广义开尔文模型和广义麦克斯韦尔模型联系起来，但是采用因式分解求解松弛模量的解析解比较复杂，更简便的方法是采用直接求解松弛模量数值解的方法，具体步骤如下:

步骤1 采用广义开尔文模型对蠕变柔量试验数据进行拟合，得到模型的各拟合参数.

步骤2 利用MATLAB对拉普拉斯域内的松弛模量(如式(18)所示)进行拉普拉斯逆变换，求解时间域内松弛模量的表达式.

步骤3 将求解的广义开尔文模型的各拟合参数代入步骤2求得的时间域内松弛模量的表达式，得到松弛模量数据.

步骤4 采用广义麦克斯韦尔模型对步骤3得到的松弛模量数据进行拟合，由4.2知，判定系数一定为1.

计算结果表明两种求解方法得到的松弛模量完全相等，见图6.

图6 HMA-1试件蠕变柔量、松弛模量曲线

4 结 论

1) 蠕变柔量和松弛模量的相互转化建立在线性粘弹性的基础上.

2) 广义开尔文模型和广义麦克斯韦尔模型能够准确表征沥青混合料的蠕变和松弛行为，实现蠕变柔量向松弛模量的转化就是实现广义开尔文模型向广义麦克斯韦尔模型的转化.

3) 可以采用2种方法通过蠕变柔量求解松弛模量，即解析解求解和数值解求解，且2种方法得到的结果完全一致.

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Determination of Relaxation Modulus of Asphalt Mixtures Using Uniaxial Compressive Creep Test

LYU Huijie LIU Hanqi LUO Rong

(SchoolofTransportation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430063,China)

In order to obtain the relaxation modulus conveniently and accurately, a material testing system (MTS) is employed to perform uniaxial compressive creep test on asphalt mixture specimens within the linear viscoelastic range. The measured creep compliance is converted into relaxation modulus in accordance with the interrelationship between creep compliance and relaxation modulus in the Laplace domain. Conclusions can be drawn that the interconversion between the creep compliance and relaxation modulus is based on the linear viscoelasticity and converting the creep compliance into relaxation modulus is essentially converting the Generalized Kelvin model into the Generalized Maxwell model. The conversion method proposed in this study can be extensively applied to various viscoelastic constitutive models that are based on the relaxation modulus so as to predict the viscoelastic responses of asphalt pavements.

road engineering; asphalt mixture; creep compliance; relaxation modulus; linear viscoelasticity

2016-10-18

*国家重点基础研究发展计划项目资助(2015CB060100)

U416.217

10.3963/j.issn.2095-3844.2016.06.025

吕慧杰(1992—)：男，硕士生，主要研究领域为沥青路面材料