基于通货膨胀和风险偏好视角的资产配置研究

刘渝琳，郑效晨

(1.重庆大学公共管理学院，重庆 400030； 2.重庆大学公共经济经济与

公共政策研究中心，重庆 400030；3.重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030)



基于通货膨胀和风险偏好视角的资产配置研究

刘渝琳1,2，郑效晨3

(1.重庆大学公共管理学院，重庆 400030； 2.重庆大学公共经济经济与

公共政策研究中心，重庆 400030；3.重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030)

不确定条件下的资产配置问题无论对于学术研究还是投资行为都具有重大的理论和实际意义。本文选取广义范围上的现金、股票、债券作为投资者进行资产配置的产品，在CRRA(Constant Relative Risk Aversion)和HARA(Hyperbolic Absolute Risk Aversion)两种偏好假设下，分别求出了投资者效用最大化时的最优财富以及最优资产组合中各资产的权重，并比较分析了两种偏好假设下通货膨胀、风险偏好、投资期限三种因素对资产配置的影响。研究结论表明：通货膨胀会影响股票和债券的风险溢价，进而影响最优资产组合中各资产的权重；股票的权重不会受投资期限的影响，在通货膨胀率和风险偏好不变时，其值始终为一常数，但债券和现金的权重则由投资期限、通货膨胀和风险偏好共同决定；此外，在CRRA和HARA偏好假设下，以上三种因素对资产配置的影响存在较大差异，特别是在HARA框架下存在买空行为。

资产配置；最优资产组合；通货膨胀；风险偏好；投资期限

1 引言

近年来，关于金融资产配置的问题逐渐成为学术界及业界研究的热点，如何在不确定条件下使投资者的效用达到最大化是学者们研究的重点和最终目的。特别是在通货膨胀条件下，面对风险偏好不同的投资者，如何提供有效且有针对性的资产配置建议也是投资机构所面临的主要问题。以Campbell[1]的综述文章为标志，家庭金融逐渐成为金融领域研究的主要方向，并在养老、股市参与、资产分散化、房地产投资、贫富差距改善等方向有了一定成果[2]。而家庭投资决策则是家庭金融中最重要的内容之一，主要包括家庭的市场参与决策、投资组合分配决策、具体交易决策等[3]。目前大多数学者从风险偏好视角研究资产配置问题[4-6]，但很少有学者同时从通货膨胀和风险偏好两个角度去研究家庭资产配置，在研究过程中，也很少有文章细化到各种金融资产权重的求解。因此，本文基于通货膨胀和风险偏好的双重视角研究了家庭资产配置，从而全面考量宏观层面的经济风险和微观个体的风险偏好对资产配置的综合影响，与此同时求出了最优资产组合中各金融资产权重的闭合解，这是本文的第一个贡献。

本文的第二个贡献是从效用偏好函数视角研究通货膨胀对资产配置的影响。确定最优资产组合中各资产的权重是资产配置问题研究的重点。虽然Samuelson[7]和Merton[8]求解了CRRA偏好假设下的最优投资策略，但由于通货膨胀因素的存在，股票和债券的风险溢价会发生变化，致使最优资产组合中资产权重发生改变。尽管Campbell和Viceira[9]，Brennan和Xia Yihong[10]，Munk等[11]从不同视角研究了通货膨胀对资产配置的影响，但从效用偏好函数视角研究通货膨胀对资产配置的文献为数不多，这是本文的另一个贡献。

本文的第三个贡献在于比较分析了不同偏好假设下的最优资产组合。以往文献几乎都选取单一效用偏好函数(CRRA或HARA)，虽然Bajeux-Besnainou等[12]在CRRA模型上求解了HARA偏好假设下的最优投资策略，但并未对两种偏好假设进行比较，也未进行数值模拟分析。本文同时选取CRRA和HARA两种效用函数研究了不同风险偏好与资产配置之间的关系，目的在于全面分析不同偏好假设对投资策略的影响。此外，在研究结果上本文得出的一些结论也与以往文献有一定差异。如在研究投资期限对最优资产组合中权重的影响时会出现买空行为，但是买空行为出现的趋势是与Bajeux-Besnainou等[13]的研究相反的。

2 基本模型与假设

假设在连续时间0到T上，市场是无摩擦、无风险套利的，此时投资者可以将财富配置于现金、股票和债券三种资产上，并且在时间t时(t介于0到T的闭区间)三种资产的价格分别为Mt，St和Bt。

2.1 现金

假设t时刻的现金价格Mt满足以下随机过程：

dMt/Mt=rtdt

(1)

其中，rt是即时名义利率，为文章中唯一的状态变量，满足以下奥恩斯坦—奥伦贝克过程(Ornstein-Uhlenbeck Process)：

(2)

2.2 股票

假设t时刻的股票价格St满足以下随机微分方程：

dSt/St=(rt+ξS)dt+σ1dz+σ2dzr

(3)

其中，ξS是股票的风险溢价；σ1和σ2代表股票价格指数的波动度，二者均为正数；dz和dzr是两个彼此正交的布朗运动过程。

2.3 债券

假设t时刻零息债券的价格Bt满足以下微分方程：

dBt/Bt=(rt+ξB)dt+σBdzr

(4)

其中，ξB代表债券的风险溢价；σB是债券价格指数的波动度，与股票价格指数一样，通常假定为正数。在不含通货膨胀的条件下，ξB和σB满足以下关系：

ξB=θrσB

(5)

其中，θr代表利率风险的市场价格。

根据Vasicek[14]的研究，当债券的投资期限τ固定时，σB与τ存在以下关系：

σB=σr(1-e-arτ)/ar

(6)

其中，(1-e-arτ)/ar是债券价格相对于短期利率的弹性，通常用利率未定权益的久期D予以表示。

2.4 通货膨胀率

假设π代表通货膨胀率，Pt代表t时刻商品的价格，此时Pt遵循以下随机过程：

dPt/P=πdt+σπdzπ

(7)

与利率分析一样，通货膨胀率π同样满足奥恩斯坦—奥伦贝克过程：

(8)

因此，当考虑通货膨胀因素时，债券和股票的风险溢价就会发生变化，这里我们仅考虑风险溢价和通货膨胀呈线性关系的简单情形。此时：

ξB=θrσB(1+π)

(9)

ξS=(θSσ1+θrσ2)(1+π)

(10)

其中，θS代表股票风险的市场价格。

2.5 增长最优投资组合

首先定义一个包含股票及债券波动度的扩散矩阵M：

(11)

∑=MMT和∑-1分别表示方差—协方差矩阵和方差—协方差矩阵的逆矩阵。

接下来便可以构建增长最优投资组合H(T)。根据Merton[15]，H(T)可以表达成：

(12)

(13)

根据公式(9)-(11)，公式(13)可以写成以下形式：

(14)

其中，wS和wB代表增长最优投资组合中股票和债券的权重。

通过以上的假设可以将公式(12)写成以下形式，并在后文分析中起到重要作用。

(15)

3 基于CRRA和HARA偏好假设下的最优资产组合

3.1 CRRA偏好假设下的最优资产组合

在CRRA偏好假设下，投资者的效用函数U(X)是递增、凹性的，并且满足稻田条件。此时，CRRA偏好假设下的效用函数可以表示为：

(16)

其中，X(t)代表t时刻投资者的财富；γ是风险厌恶系数，代表投资者的风险偏好，是一个固定常数。投资者的资产与增长最优投资组合满足以下鞅过程：

X(0)/H(0)=E[X(T)/H(T)]

(17)

其中，E代表条件期望；X(0)和H(0)分别代表投资者的初期财富和增长最优投资组合的初始值。一般地，假设H(0)=1，因此公式(17)可以写成：

E[X(T)/H(T)]=X(0)

(18)

因此，CRRA偏好假设下投资者的最优效用函数可以表示成：

maxE[X(T)1-γ/1-γ]，约束条件为 E[X(T)/H(T)]=X(0)

(19)

下文最优财富表达式中的X0与X(0)含义相同，基于以上分析，最优资产组合问题最终变成了求解一个有约束条件的拉格朗日定理问题。假设X*(T)代表CRRA偏好假设下，投资者的效用函数达到最大化时的最优财富，根据Cox和Huang[16]关于最优财富的定义可以求出CRRA偏好假设下投资者的最优财富X*(T)和拉格朗日乘数κ的大小。

(20)

根据公式(2)可知求出r(s)的值为：

(21)

(22)

Y(t)/H(t)=E[Y(T)/H(T)]=E[H(T)n-1]

(23)

由于Y(T)≡H(T)na.s.，Y(t)最终可以写成以下形式：

Y(t)=H(t)E[H(T)n-1]

(24)

将公式(15)带入公式(24)可得：

(25)

为方便理解，可以将公式(25)简化成以下形式：

Y(t)=H(t)nE(eGn)

(26)

由于Gn是对数正态分布，因此公式(26)可以写成：

(27)

通过观察，公式(27)的指数部分可以用以下几个函数来表示J(n-1)，K(σBar/σr)，L(r)以及时间的函数ϑ(t)，即

Y(t)=H(t)nϑ(t)exp[J(n-1)K(σBar/σr)L(r)]

(28)

利用伊藤定理，可以将Y(t)表达成以下形式：

dY(t)/Y(t)=ndH(t)/H(t)+J(n-1)K(σBar/σr)dr+[·]dt

(29)

其中，[·]代表确定因子。因此根据公式(2)和(4)，公式(29)可以写成：

dY(t)/Y(t)=ndH(t)/H(t)+J(n-1)K(σBar/σr)(σr/σB)dBt/Bt+[·]dt

(30)

通过观察不难发现J(n-1)等于n-1，而K(σBar/σr)等于σBar/σr，n=1/γ a.s.。

因此，可以得到CRRA偏好假设下的最优资产配置。

命题1.CRRA偏好假设下，投资者的最优资产配置为：

(31)

从命题1可以看出，三种资产的权重之和为1，其中每种资产的权重都取决于三个因素：投资期限τ、通货膨胀率π和风险偏好γ。

3.2 HARA偏好假设下的最优投资策略

根据风险偏好的不同，HARA效用函数会有几种不同的表现形式，为简化研究，本文以HARA幂效用函数为例：

(32)

(33)

同理可求出HARA偏好假设下的最优财富Y*(T)和拉格朗日乘数κ′的大小。

(34)

(35)

Y′(t)=H(t)n(γ+1)[n(γ+1)-1]E(eGn)

(36)

类似CRRA简化方程式的表达，公式(36)可以写成：

Y′(t)=H(t)n(γ+1)ϑ(t)exp[J[n(γ+1)-1]K(σBar/σr)L(r)]

(37)

进而得到以下随机过程：

dY′(t)/Y′(t)=[(γ+1)/γ]dH(t)/H(t)+(ar/γ)dBt/Bt+[·]dt

(38)

因此，可以求出HARA偏好假设下投资者的最优资产配置。

命题2.HARA偏好假设下，投资者的最优资产配置为：

(39)

4 数值模拟

本文数值模拟部分的参数是基于Munk等[11]研究成果进行取值的。具体取值结果如下：

(ii)dSt/St=(rt+ξS)dt+σ1dz+σ2dzr，其中，σ1=0.0236，σ2=0.0198。

此外，股票风险价格θS=0.0121，利率风险价格θr=0.0213。

4.1 投资期限对最优资产组合权重的影响

表1 不同投资期限下的债券波动度、债券风险溢价(单位：10-3)及增长最优组合中的债券权重

表2 CRRA和HARA偏好假设下不同投资期限最优资产组合中债券及现金权重

图1 CRRA偏好假设下投资期限对最优资产组合中债券权重的影响

图2 CRRA偏好假设下投资期限对最优资产组合中现金权重的影响

图3 HARA偏好假设下投资期限对最优资产组合中债券权重的影响

模拟结果1：当通货膨胀率和风险偏好不变时，CRRA和HARA偏好假设下的最优资产组合中股票权重均为固定值，但HARA框架下的股票权重远高于CRRA框架下的股票持有比例。债券权重都随投资期限的增加而下降(在τ=2后下降趋势减缓)，现金权重都呈上升趋势(在τ=2后上升趋势减缓)，但HARA偏好假设下会出现买空行为。

表3 CRRA和HARA偏好假设下不同通货膨胀率下最优资产组合中股票、债券及现金的权重

图4 HARA偏好假设下投资期限对最优资产组合中现金权重的影响

4.2 通货膨胀对最优资产组合权重的影响

在风险偏好不变(假设γ=2)及投资期限固定(τ=3)的情况下，文章将考虑不同通货膨胀率(π=0,0.01,0.02…0.2)对最优资产组合中股票、债券及现金权重的影响。

在CRRA偏好假设下，根据公式(14)可以求出不同通货膨胀率下增长最优投资组合中股票、债券的权重，进而根据公式(31)求出最优资产组合中股票、债券及现金的权重(表3)。由图5可以看出在γ=2及τ=3的前提下，当通货膨胀率由0增加到0.2时，股票和债券的权重几乎呈线性增长趋势，而现金权重始终随着通胀率的增加而下降。

HARA偏好假设下，最优资产组合中的股票权重始终处于较高态势(表3)，并且随着通货膨胀率的加大，股票权重平缓上升(图6)。债券权重基本维持在40%-50%左右，并随着通胀率加大而略有增加。值得注意的是，当风险偏好和投资期限不变时现金账户权重始终为负，这意味着投资者产生了买空行为，当通胀率加大时，买空程度也会随之加大。

注：星号线代表股票权重，点号线代表债券权重，直线代表现金权重。图5 CRRA偏好假设下通货膨胀率对最优资产组合权重的影响

图6 HARA偏好假设下通货膨胀率对最优资产组合权重的影响

作为更为普遍的效用函数，HARA允许出现买空行为。对于长期投资者来说，现金已经不是无风险资产，特别是在考虑通货膨胀因素时，持有现金头寸风险更为明显。因此，投资者的买空行为在风险厌恶系数较低时更为明显。当然，即便在CRRA偏好假设情况下，也可能会出现买空行为，并且在风险厌恶系数越低时，买空程度越大(Bajeux-Besnainou等[13])。

模拟结果2：当投资期限和风险偏好不变时，CRRA和HARA偏好假设下最优资产组合中股票和债券权重都会随通货膨胀率的增大而增加，现金比例都呈下降趋势。但是在HARA框架下，股票和债券的初始权重要高于CRRA框架下的权重，并且随着通货膨胀率的加大，买空趋势增强。

5.3 风险偏好对最优资产组合权重的影响。

表4 CRRA及HARA偏好假设下不同风险偏好下最优资产组合中股票、债券及现金的权重

注：星号线代表股票权重，点号线代表债券权重，直线代表现金权重。图7 CRRA偏好假设下风险偏好对最优资产组合权重的影响

图8 HARA偏好假设下风险偏好对最优资产组合权重的影响

在CRRA偏好假设下，当投资期限和通货膨胀率固定时，随着风险厌恶系数的增大，最优资产组合中股票和债券的权重平缓下降(图7)。为了回避风险，投资者更愿意以现金形式拥有资产，当γ=5时，现金权重已超过80%。便于更好地观察股票权重和债券权重的下降趋势，图7展示了当γ=6以后二者的下降速度。可以看到，当γ=6以后，股票权重下降速度会超过债券权重下降速度，这更加体现了随着风险厌恶程度的变大投资者对于风险规避的追求。

在HARA偏好假设下，随着风险厌恶系数的增大，最优资产组合中股票权重和债券权重都开始下降，而现金权重开始由负变正，并逐渐增大(图8)。为了更好地观察三者之间的关系，图8展示了γ=6会后的部分结果。事实上，当风险厌恶系数足够大时，通过计算机模拟，三者几乎呈平行趋势。需要注意的是，γ=6以后，买空行为消失，这种趋势与Bajeux-Besnainou等[13]一致。

模拟结果3：当投资期限和通货膨胀率不变时，CRRA和HARA偏好假设下最优资产组合中股票和债券权重都会随风险厌恶系数变大而减小，但HARA框架下二者的初始权重远高于CRRA框架下的权重。现金权重会随风险厌恶的增大而增加，并且在HARA框架下，买空趋势逐渐消失。

5 结语

本文在CRRA和HARA偏好假设下研究了投资期限、通货膨胀、风险偏好与资产配置的关系。得出的结论主要有以下几点：

第一，通货膨胀会影响股票和债券的风险溢价，一般来说，随着通货膨胀率的加大，股票和债券的风险溢价也会增大，进而影响增长最优投资组合中二者的权重，并最终对最优资产组合中各资产的权重产生影响。

第二，影响最优资产组合中各资产权重的因素主要有三个：投资期限、通货膨胀率与风险偏好。

第三，三种因素在CRRA和HARA偏好假设下对资产配置的影响存在较大差异。

在未来研究中，文章将在模型构建中加入消费和预算约束，并考察其对投资者最优财富及资产配置的影响。

[1] Campbell J Y.Household finance[J]. Journal of Finance, 2006,61(4):1553-1604.

[2] 高明，刘玉珍. 跨国家庭金融比较：理论与政策意涵[J]. 经济研究, 2013,(2):134-149.

[3] 李心丹,肖斌卿,俞红海,等. 家庭金融研究综述[J]. 管理科学学报, 2011,14(4):74-85.

[4] 金秀,王佳,高莹. 基于动态损失厌恶投资组合模型的最优资产配置与实证研究[J]. 中国管理科学, 2014,22(5):16-23.

[5] 胡支军,叶丹. 基于损失厌恶的非线性投资组合问题[J]. 中国管理科学, 2010,18(4):28-33.

[6] 徐绪松,马莉莉,陈彦斌. 考虑损失规避的期望效用投资组合模型[J]. 中国管理科学, 2007,15(5):42-47.

[7] Samuelson P.Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming[J]. Review of Economic and Statistics, 1969,51(3): 239-246.

[8] Merton R C.Optimal consumption and portfolio rules in a continuous time model[J]. Journal of Economic Theory,1971,(3): 373-413.

[9] Campbell J Y, Viceira L M.Who should buy long-term bonds?[J]. The American Economic Review, 2001,(91): 99-127.

[10] Brennan M J, Xia Yihong.Dynamic asset allocation under inflation[J]. Journal of Finance 2002,57(3):1-38.

[11] Munk C, Sorensen C, Vinther T N.Dynamic asset allocation under mean-reverting returns, stochastic interest rates, and inflation uncertainty: Are popular recommendation consistent with rational behavior?[J]. International Review of Economics and Finance,2004,13(2): 141-166.

[12] Bajeux-Besnainou I, Jordan J, Portait R.Dynamic asset allocation for stocks, bonds, and cash[J]. The Journal of Business, 2003,76(2): 263-287.

[13] Bajeux-Besnainou I, Jordan J, Portait R.An asset allocation puzzle: Comment[J]. The American Economic Review, 2001,91(4):1170-1179.

[14] Vasicek O.An equilibrium characterization of the term structure[J]. Journal of financial economics,1997, 5(2): 177-188.

[15] Merton R.Continuous Time Finance[M], 1992, Oxford: Blackwell.

[16] Cox J C, Huang Chifu.Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a diffusion process[J].Journal of Economic Theory, 1989, 49(1): 33-83.

[17] Cairns J G, Blake D, Dowd K.Stochastic life styling: Optimal dynamic asset allocation for defined contribution pension plans[J]. Journal of Economic Dynamic and Control,2006,30(5): 843-877.

Research on Asset Allocation Based on Inflation and Risk Preference

LIU Yu-lin1，2, ZHENG Xiao-chen3

(1.School of Public Affairs,Chongqing University,Chongqing 400030,China;2.Research Center of Public Economy and Public Policy,Chongqing University,Chongqing 400030,China;3.Economics and Business Administration,Chongqing University,Chongqing 400030,China)

Abstract:Asset allocation problem in the condition of uncertainty is both important for academic research and individual investment.The traditional approach to asset allocation relies on Markowitz’s paradigm which provides an elegant mathematical framework of an optimal asset allocation.Then Merton lays the foundation for dynamic asset allocation who considers an expected utility approach to study the optimal portfolio in a continuous time framework which is a breakthrough for modern finance theory.Cash, stock and bond in the generalized definition have been selected in this paper which are the most important three assets for investors and we obtain the optimal wealth and optimal portfolio weights of investors in the CRRA and HARA framework.The portfolio choice of a power utility that investors can maximize expected utility of wealth at a given investment horizon is considered.Closed form solutions are obtained in a dynamic portfolio optimization model.Also, the effects of inflation, risk preference, investment horizon on the asset allocation are analyzed.The results indicate that inflation which has an effect on the risk premium of stock and bond will finally influence the weights of them in the optimal portfolio.The weight of stock is not determined by the investment horizon, and the value is a constant when the inflation rate and risk preference are not changed.While the weight of bond and cash is determined by investment horizon, inflation rate and risk preference.In addition, the factors have great different influences on the asset allocation in the framework of CRRA and HARA.Especially, short sale will happen in the framework of HARA.

asset allocation; optimal portfolio; inflation; risk preference; investment horizon

1003-207(2016)05-0046-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.05.006

2014-12-13；

2015-09-16

重庆市社会科学重点规划项目(2014ZDJJ12)；教育部人文社会科学研究重大课题攻关项目(13JZD023)；重庆市研究生科研创新项目(CYB14003)

简介：郑效晨(1986-)，男(汉族)，辽宁鞍山人，重庆大学经济与工商管理学院，博士研究生，研究方向：金融资产配置，E-mail:zhengxiaochen88@163.com.

F832.48

A