从一到高考试题探索数列不等式的解法

刘利平

中图分类号：G634文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）12-0038-01

在我校所用的高三数学第一轮复习资料上出现了这道2012年广东高考数列题，本文旨在通过对该题最后一问的证明，梳理数列不等式几种常见的证明方法及探索的过程。

上述各种证法的实质是一样的，都是先将不能求和的数列的通项放大成为能够求和的递缩等比数列的通项（递缩等比数列是指公比q<1，q≠0的等比数列），将等比数列求和之后再与不等号右边常数比较大小。

注意到正整数指数幂和二项式的关系，还能将1an的通项1an=13n-2n放大成一个能裂项相消的数列的通项。

上述的策略一涉及到了以下两种具体的处理方法。

1.以某一不等关系为依据建立起相邻两项的不等关系进行逐层递推放缩，以寻求各项与首项的不等关系。这种方法有时称为迭代放缩法。

2.利用二项式定理将通项展开后进行适度放缩，有时展开后只需保留其中一部分就可达到放缩的目的。对通项式进行裂项处理，并对其中某些项的分母进行适当放缩，构成便于加减相消的结构，使题目容易证明。

策略二 将不等号两边式子看成两个数列的前n项和，分别算出通项，然后比较通项的大小，有时也称为通（逐）项比较法。

因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。对于本题中最后一问的一题多解，让学生在对比中总结恰到好处的放缩方法，把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。建议学生在平时的学习中把相同类型的数列不等式题目收集起来，多题一解，把本文所提到各种方法用熟用透。

（作者单位：成都石室中学）