在数学实验中建构数学模型——《钉子板上的多边形》教学

田媛媛 韦波富（特级教师）

【教材内容】

苏教版五年级上册。

【教学过程】

一、围一围，提出初步猜想

1．围一围。

（1）（课件出示图 1）认识这个吗？（这是钉子板）

（2）（课件依次在钉子板上围出3个大小、形状各不相同的长方形）老师在钉子板上围了三个长方形，看看哪个面积最大，哪个面积最小？

2.猜一猜。

（1）刚才我们围了三个大小不同的长方形，你觉得在钉子板上围出的长方形的面积可能跟什么有关系？说说你这样猜想的理由。

（2）揭题：多边形的面积和内部钉子数、边上钉子数之间究竟有什么关系呢？今天这节课我们就来研究钉子板上的多边形。（板书课题：钉子板上的多边形）

3.变一变。

为了研究方便，我们把钉子板上的钉子用点表示，钉子板就变成了点子图。

【设计意图：从认识钉子板开始，感知围成的图形面积的大小，并引导学生猜想：在钉子板上围成的图形面积的大小可能与什么有关系？引导学生从现象思考产生变化的内在因素，为接下来的实验研究确定方向。钉子板变身点子图，是一次抽象，是数学化的过程，这一过程也是数学研究活动的经验。】

二、示范实验，探索“多边形内部是1枚钉子”的规律

1.计算，收集数据。

（1）（课件出示4个图形）我们先从一组简单的图形开始研究。

（2）（出示下表 1）要研究这4个图形面积跟内部钉子数、边上钉子数之间的关系，你觉得我们需要哪些数据？（根据学生的回答，形成下表2）

表1

表2

（3）教师引导学生收集数据，形成表3。

表3

2．比较，发现规律。

（1）有了这些数据，接下来干什么？（找规律）观察表格中的数据，你有什么发现？（内部都只有1枚钉子、多边形边上的钉子数是多边形面积数的2倍）

（2）老师引导学生逐一核对，确认四个图形都符合这一规律。

（3）这个发现我们还可以用含有字母的式子来表示。如果用a表示多边形内部钉子数，用S表示多边形的面积，用n表示多边形边上钉子数，那么S=？(板书：S=n÷2)

3．冲突，凸显前提。

（1）（课件出示上图）我们再来看幅图，数一数边上的钉子数是多少？（n=8）根据刚才的规律，面积是多少？（S=4）数一数图形的面积是多少？（S=5）怎么回事啊？（刚才的多边形内部都只有1枚钉子，而现在这个多边形的内部有两枚钉子）

（2）现在对于S=n÷2这个结论你有什么前提条件需要补充的？（只有多边形内部是1枚钉子的多边形，面积是边上钉子数的一半）

完善板书：当a=1时，S=n÷2+1

4.举例，验证规律。

是不是所有内部只有1枚钉子的多边形都符合这个规律呢？你准备怎样验证？（在点子图上任意画一个内部只有1枚钉子的多边形，先算面积，再数边上的钉子数，看看是否符合规律。）

【设计意图：从收集数据——寻找规律——验证规律，在老师的引导下学生经历了实验研究的一般过程，为下面的实验提供了方法上的指导。“需要收集哪些数据”“有了数据，接下来干什么”“你准备怎样验证”等问题的提出突出了实验中的关键元素、实验的目的以及验证的方法。而这些对于学生来说是极其宝贵的经历和经验。在这一环节学生建立了内部钉子数为1时，多边形面积与边上钉子数之间关系的模型。】

三、尝试实验，探索“多边形内部是2枚钉子”的规律

1.讨论实验方法。

（1）刚才我们研究的是内部只有1枚钉子的多边形，接下来你们想研究什么？（研究内部是2枚钉子的）出示：实验单一（如下表）

（2）讨论：你准备怎么研究呢？根据学生的回答依次在实验单中显示实验步骤以及4个图形（如下表）：

2.合作完成实验。

（1）要求：同桌合作收集数据填入实验单中，根据发现的规律填写实验结果。

（2）汇报交流。根据学生的回答板书：当a=2时，S=n÷2+1。

【设计意图：“接下来你们想研究什么”体现了问题由学生提出的教学指导思想；“你准备怎么研究”体现了实验方法的迁移和指导。在这一环节学生建立了内部钉子为2时，多边形面积与边上钉子数关系的数学模型。】

四、独立实验，验证“多边形内部是3枚、4枚钉子”的规律。

1.类推猜想。

（1）通过研究，我们发现了这样的两个规律：当a=1时，S=n÷2，当 a=2 时，S=n÷2+1。接下来你们还想研究什么？（当a=3时、当a=4时，多边形面积的规律）

（2）猜一猜：当 a=3时，S=？当a=4时呢？

（3）这个猜想究竟对不对？有办法验证吗？（做实验验证）

2.实验验证。

（1）接下来我们就通过实验来验证这两个规律是否成立。请每个实验小组的组长拿出实验单（二），分组、分别验证a=3时，S=n÷2+2；a=4时，S=n÷2+3。

（2）要求：小组合作，先讨论并写出实验步骤，接着画出要研究的图形形成实验材料，再收集数据填在表中，最后填写实验结果。

3.汇报交流。

（1）先看验证a=3的，你们的实验步骤是什么？你们收集了这些数据，规律成立吗？怎么发现的？

（2）再看看验证a=4的，你们的实验结果是什么？怎么发现的？

【设计意图：在前两个实验的基础上放手让学生独立进行第三个实验是水到渠成的。猜想的过程是学生依据已有结论进行合情推理的过程。验证的步骤是学生依据先前的经验自主拟定的，实验材料和实验数据是学生寻找并发现的，实验结论是学生自己得出的。充分体现了培养学生实验方法及技能的教学意图。这一环节学生先猜想内部钉子为3、4时多边形面积的模型，再通过验证进行了确认。】