常微分方程数值解法的Matlab计算与可视比较*

孙美玲

（南通职业大学公共教学部，江苏南通226007）

常微分方程数值解法的Matlab计算与可视比较*

孙美玲

（南通职业大学公共教学部，江苏南通226007）

文章研究常微分方程初值问题的数值解法，通过同一个算例、利用Matlab编程实现了一阶欧拉法、二阶预估-校正法、高阶泰勒法、高阶龙格-库塔法，结合数值列表、图文并茂地展现了误差比较与阶数。

常微分方程数值解；Matlab高效计算；精度与误差；方法的阶数

一、概述

常微分方程是描述与研究各事物、现象、运动的演变规律的重要工具，在众多领域应用广泛。理论学习时，对可分离变量方程、齐次与可化齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程等，可用不同技巧求出其解析解［1］。

然而并不是所有方程都有解析解，求其数值解同样有重大意义。关于常微分方程数值解法，国内往往放在数值分析课程的最后章节，如文献［2］，国外则有一本专著［3］。近年来，有效数值解法的研究继续展开，如文献［4］比较了四种算法的实际效果；文献［5］针对四阶方程，提出的Runge-Kutta-Nystrom法在精度和计算效率上都有很好的保证。

二、问题和数值解法

考虑一阶常微分方程的初值问题

这里f（t，u）是光滑函数。我们知道，若满足李普希茨条件|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L|u1-u2|，其中L＞0，则初值问题（1）存在惟一的连续可微解。

问题（1）的数值解法，即寻找精确解u（t）在一系列等距离散节点t0，t1，…，tn（tj+1=tj+h，h为时间等距步长）的近似值u0，u1，…，un，｛un｝称为数值解。给出各种数值解法：

1.折线法uj+1=uj+hk1，其中k1=f（tj，uj）。

3.高阶泰勒法，需有光滑的各阶导数f'，f''，f（3），…，f（n-1），且利用泰勒展式，定义则高阶泰勒法uj+1=uj+hT（n）（tj，uj）。泰勒法要求较好的光滑性，各阶导数既要存在还要易求。

4.高阶龙格-库塔法，如

二阶龙格-库塔法uj+1=uj+hk2，

三、数值算例

例.分别用欧拉法、预估-校正法、三阶、四阶泰勒法、二阶、三阶、四阶龙格-库塔法求初值问题区间为t∈［0，1］，取步长h=0.1。（精确解u（t）=t+e-t）

解：将上述公式转变为简便高效的Matlab编程计算，可得表1。

％精确解

表1 各数值解与精确解之比较

图1 各数值解与精确解

可以验证，欧拉法最简单但精度也最差，其整体截断误差为O（h），为一阶方法；预估-校正法精度有所改进，为二阶方法；高阶泰勒法需简易计算f的高阶导数，对应为O（hn）阶方法，同时也导致更多计算与局限；高阶龙格-库塔法格式对称、应用广泛，对应也为O（hn）阶方法。这促使我们，在复杂多维的常微分方程数值解法中，采用行之有效的高阶数值格式来逼近无精确解的实际模型，也能得到高精度的数值结果。

［1］王高雄，等.常微分方程（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第5版）［M］.北京：清华大学出版社，2008.

［3］J.C.Butcher.Numerical methods for ordinary differential equ ations［M］.England:Wiley press，2003.

［4］魏明强.一阶常微分方程数值解中四种算法的实例比较［J］.中国传媒大学学报（自然科学版），2016，23（2）：41-44.

［5］I.T.Famelis，C.Tsitouras.On modifications of Runge-Kutta-Nystrom methods for solving y（4）=f（x，y）［J］.Applied Mathematics and Computation，2016（273）：726-734.

We study the initial value problem of ordinary differential equation for efficient numerical solutions. Applying an example and Matlab programing，we fulfill Euler，estimator-corrector，Taylor and Runge-Kutta methods. Through the corresponding tables and figures，we present the error comparison and orders.

numerical solutions of ordinary differential equation；Matlab computation；accuracy and error；order of methods

O17

A

2096-000X（2016）19-0060-02

南通职业大学高等教育教学改革研究课题（编号：2015-QN24）；南通职业大学自然科学研究项目（编号：1512105）；江苏省高校自然科学研究面上项目（编号：13KJB110030）

孙美玲（1981-），女，江苏南通人，理学博士，讲师，主要研究微分方程理论及其应用。