高中数学“5步曲”解题模式探究

闵侃运

一、高中数学学生在解题中遇到的问题

学生基础知识差，解题没有思路，从而对学习数学兴趣不高.首先，学生在解题前就对基础知识不牢固，从而有畏惧心理，即使对题目仔细研读与分析很容易进行解答，但由于这种畏惧心理作怪，学生也许只简单扫一眼题目就放弃了.其次，学生在做题过程中由于做题阅历的局限，经常思考不周，会出现小问题，影响答对率.再次，学生做题只要答案正确，不思考还有没有别的方法，不去总结，下次遇到同类型的题目又不会.

二、高中数学“5步曲”解题模式

第1步：本题考什么知识，是函数还是几何，是抛物线还是椭圆

拿到一个题不要盲目地去做，先要看看是什么题，不要张冠李戴，是椭圆的题还是抛物线的题，椭圆的题就不能用双曲线的知识来解决，学生经常会搞混.

例1已知椭圆x225+y216=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）

A.12B.13C.5D.7

分析应该选D，P点到两个焦点的距离和为2a，a=5，2a=10，设P到另一焦点距离为X，则X+3=10，所以X=7.

第2步：本题涉及哪几个知识点

根据本题的已知条件和要求把所要用到的基本概念、基本定理、基本公式都罗列出来，这样就会使做题的思路清晰，不至于拿到题目无从下手.

例2如图所示，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且AD=13DB，点C为圆O上一点，且BC=3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD.

（1）求证：CD⊥平面PAB；

（2）求PD与平面PBC所成的角的正弦值.

分析根据已知圆O的直径AB长度为4就可得到∠ACB=90°，圆O的半径为2.

根据PD=BD.就要想到三角形PDB为等腰三角形，那肯定要用到等腰三角形的三线合一定理.

根据求证：CD⊥平面PAB就要想到要证CD垂直平面PAB内两条相交直线.

第3步：易错的地方是什么

每做一个题都要想想这一类型题常错的地方在哪里、陷阱在哪里.不断地总结就可以减少没必要的错误.

例3已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1=Sn+2n，n∈N*，且a1=0，记bn=an+2.

（1）求a2，a3；

（2）求证：数列{bn}是等比数列.

分析这个题在做第（2）问时常有一些同学根据递推公式算出bn的前4项，然后根据前四项是等比数列就说{bn}是等比数列.这种方法是不完全归纳法，得到的结论不一定正确，还要证明，不如用等比数列的定义直接证明.

第4步：解决这类问题有几种方法

一道题做完后要常反思，看看还有没有别的方法，争取用最简单的方法，这样才能提高做题的速度.如例2中的第（2）问.

（2）方法一过D作DH⊥平面PBC交平面PBC于点H，连接PH，则∠DPH即为所求的线面角.

由（1）可知CD=3，PD=BD=3，

∴VP-BDC=13S△BDC·PD=13·12DB·DC·PD=13×12×3×3×3=332.

又PB=PD2+DB2=32，PC=PD2+DC2=23，BC=DB2+DC2=23，

∴△PBC为等腰三角形，则S△PBC=12×32×12-92=3152.由VP-BCD=VD-PBC得DH=355.

∴sin∠DPH=DHPD=55.

方法二由（1）可知CD=3，PD=DB=3，

过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F.

∵PD⊥平面ABC，又BC平面ABC，∴PD⊥BC，

又PD∩DE=D，∴BC⊥平面PDE，又DF平面PDE，

∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，

∴DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角.

在Rt△DEB中，DE=BD·sin30°=32，

PE=PD2+DE2=352，

sin∠DPF=sin∠DPE=DEPE=55.

两种方法显然方法一更简捷，好理解.

第5步：本题要用哪种方法解决

常对做题方法进行总结，就不会拿到题无从下手.如例3第（1）小问求a2，a3，已知给了bn的递推公式就可以求出a2，a3，第（2）问：求证数列{bn}是等比数列，我们常用等比数列的定义来证明.

三、结语

通过“5步曲”使学生不仅明确题目的类型，常用的方法，而且把本题所涉及的知识点，易错点都做了总结，这样下一次做同一类型的题目不会无从下手.如果学生养成了“5步曲”解题的习惯，那么就大大地提高了做题的准确率.