托宾q分析框架下的简单房地产投资模型

吴欣彦

【摘要】本模型在波特巴（Porterba，1984）住房市场模型的基础上扩展而来。主要改进一是将房地产投资内生化，二是利用风险中性定价优化了房产价格的运动方程。选取税收和实际利率变动作为冲击因素，利用模型，分析这些因素对房地产投资、房产价格、房屋租金、房产存量的即期、长期影响及其作用机制。

【关键词】房地产投资；动态分析

一、模型的主要假设

首先，考虑连续时间，t时刻的房产价格为p（t），行业代表性厂商的房地产投资为I（t），投资的调整成本为c（I），实际利率为r。为简化分析，假设厂商的投资全部用于工程物资（如果工程设备、办公场所等其他投资仅占房地产企业投资的小部分，则这一假设是现实的合理近似），其价值全部转移入房产，并且将工程物资的价格标准化为1，即1单位投资形成1单位房产。根据假设，代表性厂商在每一时点的利润为p（t）I（t）-I（t）-c[I（t）]。该厂商选择投资以最大化瞬时利润的现值：∫

其次，是关于房产存量变动的假设。厂商数为n，折旧率为δ，则房产存量H的运动方程为H·=nI-δH。

第三，是关于房产价格变动的假设。假设房屋租金R由下式给出：

其中，假设房屋租金对房价的偏导数小于实际利率（本模型对二者的数量关系十分敏感，但限于篇幅，本文未分析租金对房价的偏导数大于实际利率的情况）。利用风险中性定价，单位时间内持有房产的收益等于房产增值的资本收益加持有房产产生的红利（即租金）。因此，rp=p·+R（p，H）。

二、模型求解（略）

三、模型的政策含义

（一）房产税的影响

征收房产税，意味着房产价格遵循rp=p·+R（p，H）+T变动，导致对于既定的房产存量，p·=0曲线向左移动。如图2所示，市场开始处于稳态E，征收房产税的时刻，由于房产存量短期内难以变动，为进行调整，房产价格大幅下滑，市场跌至A点。此后市场沿鞍点路径逐渐调整至E，达到新的稳态。

直观来看，短期内房产税导致房产收益率降低，人们转而持有其他资产，故房产价格下跌，房租下跌，直至房产收益率水平恢复至市场平均水平；同时由于房产价格较低，厂商停止房地产投资，但由于房产存量短期内难以调整，故房产存量不变。

长期中，由于房地产投资低迷，房产存量随着折旧不断降低，住房紧张导致房租日益提高，房产收益率也逐渐升高，人们持有房产的意愿加强，从而房产价格逐渐上升，这又进一步提高了房租，刺激了房价。但由于房价仍然较低，房地产投资仍然低迷，无法抵消房产折旧，房产存量仍持续下降，此过程一直持续到经济重新回归稳态。

对比前后的稳态可知，征收房产税短期内对房价有较大的抑制作用，但在长期中效果有限（长期中房产税对房价的抑制效果主要取决于H·=0曲线的斜率，即主要取决于折旧率δ）。同时由于房地产投资主要由房产价格决定，因此模型预测长期中房地产投资仅有小幅下降。房产税的长期影响主要体现在房产存量和房租方面。模型表明房产税长期中造成房产存量大幅下降，因此虽然短期内房租会随着房价的下跌而大幅下滑，但在长期中由于房产存量下跌加之房价变动较小，导致房租显著上升。

（二）对房地产企业征税的影响

对房地产企业征税，意味着厂商的瞬时利润函数变为pI-（1+T）I-c（I），导致H·=0曲线向上移动，

直观来看，短期内对房产厂商征税提高了厂商成本，在既定房产存量下，厂商提高价格以弥补亏损，并停止房地产投资。同时房价上升推高了房租。

长期中，由于厂商成本较高，投资依然低迷，同时房产存量随着折旧日益降低，住房紧张造成房租上涨，房产收益率上升，人们争相持有房产，房价不断上升，厂商投资需求逐渐恢复，这一过程一直持续到经济重新回归稳态。

可见对房产厂商征税的短期效应和市场的长期表现相一致，长、短期内均表现为房地产投资低迷，房价上升和房租提高。对比前后的稳态可知，房产存量的降幅和房价的涨幅均取决于p·=0曲线的斜率，即取决于房租对房价的偏导数与实际利率的对比关系。

（三）实际利率上升的影响

实际利率上升影响房价的运动方程，导致p·=0曲线围绕其与横轴的交点旋转，如图4所示。实际利率上升造成房产收益率低于市场收益率，因此模型预测的市场动态过程与征收房产税时的情形类似，均在短期内造成房价、房租和投资的大幅下降，长期内则主要影响房产存量和房租，对房价和房地产投资的作用相对较小。

四、模型的扩展

本模型的几个关键假设都有很大的讨论空间。例如在厂商的瞬时利润函数中加入房产存量或其他资本存量，就可以使模型包含前瞻性因素，能够更好地描述投资行为；同时改进调整成本的形式或放松R′p