高等代数教学思考和体会点滴

魏先彪

(安徽建筑大学 数理学院，安徽 合肥 230601)



高等代数教学思考和体会点滴

魏先彪

(安徽建筑大学 数理学院，安徽 合肥 230601)

高等代数是大学本科数学专业一门重要的基础课程，该课程的内容、思维的抽象性，传统的教学方式使大学新生难以入门。本文探讨抽象思维的形象化和抽象概念的具体化在高等代数课程教学模式，使其内容直观、生动，更易适应大学新生的学习方式，激发学生学习和探索的兴趣，提高大学生的数学素养。

高等代数；教学；形象思维；几何直观方法

高等代数在数学学科中占有重要的位置，与分析和几何组成数学学科三门主要必修基础课，也是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的主干基础课。通过高等代数的学习，使学生系统的掌握代数学基本理论、基本原理和基本方法，培养和发展抽象思维能力和逻辑推理能力, 为进一步学习后续的专业课程,打下扎实的数学基础。

高等代数学具有高度抽象性和一般性，所研究的代数系统，其元素及代数运算都不是具体的对象，而是仅要求满足一定的运算规则。这是概括了具体的客观事物的共性，形成的一般的规律，从而有着广泛的应用。这种抽象思维的训练，不但在数学各个方向是需要的，在其它学科及实际工作中也都是很重要的，这是提高大学生整体素质的一个重要方面。从事抽象思维训练，是代数学的特有的优点，也是学生学习高等代数的难点。概念高度抽象性和定理高度概括性是高等代数突出的特点。这两个特点决定了高等代数是一门比较难学的课程, 大学新生刚接触高等代数感到基本概念抽象, 基本方法难以掌握, 习题难做。本人系承担多年本系信息与计算数学专业的高等代数课程教学，通过自己教学思考和教学体会, 尝试以具体的生活事例和几何直观方法应用在高等代数课程教学过程中，探索抽象思维的形象化和抽象概念的具体化在高等代数课程教学模式，激发学生学习兴趣，培养大学生的数学素质，提高教学质量。

1 用生活中“脱袜规则”来类比一些矩阵的基本运算

用形象直观的生活事例，类比高等代数[1-4]中一些抽象的运算，有助于学生对知识的掌握和理解。

1.1 “脱袜原则”

矩阵的诸多运算中，有一些有趣的现象，正如平常生活中“穿袜子穿鞋和脱袜子脱鞋” 情行一样，人们称之为“脱袜规则”。

1.2“脱袜原则”相关的运算和性质

与矩阵逆运算一样，矩阵转置运算(T)和伴随矩阵运算(*)都有“脱袜规则”这一性质。

2 用几何直观来理解抽象的基本概念

有人用“空间为体，矩阵为用”高度的概括了高等代数，即高等代数的主要研究对象是向量空间，使用的重要工具是矩阵。性相关性”概念在高等代数中的地位相当于“极限”在数学分析中的地位。向量组的秩和的线性相关性这部分内容对于初学者比较抽象难懂，教学中可以用方程组来解释相关概念。

2.1 秩I=1 ⟺方程组m个方程中本质上只有一个⟺方程组有无穷多个解⟺直线 α1,α2,…,αm重合成一条直线。

2.2 秩I=2

⟺方程组m个方程中本质上只有两个。

1. 若直线α1,α2,…,αm相交于一点⟺方程组有唯一解⟺

m条直线α1,α2,…,αm本质上是两条相交直线；

2. 若直线α1,α2,…,αm没有交一点⟺方程组无解⟺

m条直线α1,α2,…,αm本质上是两条平行直线。

2.3 秩I=3

⟺方程组m个方程中本质上只有三个方程⟺方程组无解。

1. 若直线α1,α2,…,αm有两个交点⟺

m条直线α1,α2,…,αm本质上是两条平行直线与一条直线相交；

2. 若直线α1,α2,…,αm有三个交点⟺

m条直线α1,α2,…,αm本质上是两两相交于不同交点的三条相交直线；

这种直观形象的思维方式对向量组(矩阵)的秩、向量组的线性相关性和向量组的极大线性无关组等这些抽象概念的理解、对用矩阵阶梯形方法求向量组(矩阵)的秩的理解以及对线性方程组的解的理解都有很好的帮助。

3 用老问题的新解法来巩固掌握基本理论

线性变换理论是高等代数的核心内容之一，包括特征多项式、特征值、特征向量和矩阵对角化等基本知识。学生学习抽象的基本理论、基本概念感到枯燥乏味，甚至对特征值和特征向量等概念的出现感到突然。通过有矩阵对角化知识解决高中学习求数列通项的问题，有助学生对矩阵对角化理论知识的巩固和理解，激发学生积极探索的兴趣。

例1 求数列：x1=1， x2=2，

x3=4，

xn=2xn-1-xn-3，通项公式。

解 由xn=2xn-1-xn-3，得

得An-3=PΛn-3P-1

=

(式中的*是一些待求的数值，考虑到计算中不需要这些数值，故没有给出)

即，

4 用设计密码算法来培养学生创造性思维

加密算法的设计是密码学体系的核心。利用矩阵乘法和矩阵逆运算，设计简单的密码体系模型，提高学生学习兴趣，拓宽学生的知识视野，培养学生创造性思维。加密和解密算法设计如下。

算法步骤1 把26个英文字母从a到z分别用1到26的数字与之对应。空格“_”用数字0对应。

算法步骤2 规定加法和乘法运算都是mod(29)的运算。

算法步骤4：加密和解密算法设计。

加密算法：

甲发信息X给乙，先把明文X中的字母分按算法步骤1的对应法则写成明文数字串，再按每行n个数字的先后顺序写成一个m×n的明文数字矩阵A(末尾一行不足n个数字，以0补齐)。计算B=AP，再把m×n矩阵B的m行排成一列，得到密文M，把M发给乙。

解密算法：

乙收到甲发来的密文M后，按每行n个数字的先后顺序得到m×n矩阵B，再计算

BP-1=APP-1=A，用再把矩阵A按行的先后顺序排成一列，即可得到明文X。

注2 密码算法中，若乙用私钥P-1对明文加密发给甲，甲接收到乙的密文后，用私钥P解密，乙也同样可以发给甲加密的信息。

例2 甲要发一条明文为“This is a interesting book”的加密信息给乙。

第2步 甲把明文替换成明文数字串，“20 8 9 19 0 9 19 0 1 0 9 14 20 5 18 5 19 20 9 14 7 0 2 15 15 11 0”。每行3个数字(最后一行只有两个数字，补上数字0)，按先后顺序把数字串写成m×3明文数字矩阵A，再用私钥P对A进行加密运算，得到密文数字矩阵B。

第3步 甲按行的先后顺序，把矩阵B排成一行，得出密文M=19 28 8 8 16 26 16 8 18 3 23 14 18 4 28 4 20 15 16 10 1 16 17 17 26 12 26，并把M发给乙。这样，即使其他人截获M，在不知道解密密钥P-1的情况下，也不知道M的明文内容X。

第4步 乙收到甲发来的密文M，把M每行3个数字，按先后顺序写成m×3矩阵，可得到密文数字矩阵B。

第5步 乙再用私钥P-1进行解密运算

得到明文数字矩阵A，把A的每行按先后顺序排成一列，得到明文数字串“20 8 9 19 0 9 19 0 1 0 9 14 20 5 18 5 19 20 9 14 7 0 2 15 15 11 0”。

第6步：再置换成字母，得明文X 为“This is a interesting book ”。

[1] 张禾瑞, 郝炳新.高等代数[M]. 第5版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第2版.北京:高等教育出版社, 1988.

[3] 王萼芳. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社, 2009.

[4] 同济大学应用数学系. 高等代数与解析几何[M]. 北京:高等教育出版社, 2005.

[5] 丘维声. 高等代数学习指导书[M]. 北京: 清华大学出版社, 2005.

[6] 张奠宙, 唐瑞芬, 刘鸿坤. 数学教育学[M]. 南昌:江西教育出版社, 2003.

2016-07-19

魏先彪(1972-)，男，安徽舒城人，副教授，博士，主要研究方向是代数学、群论。

G642.2

B

1674-2273(2016)06-0061-04