一类系数为三角模糊数的整数规划

周喜华，黄晓红，杨 娇，邓胜岳

（1. 广东环境保护工程职业学院 基础教育部，广东 佛山 528216；2. 湖南工业大学 理学院，湖南 株洲 412007）

一类系数为三角模糊数的整数规划

周喜华1，黄晓红1，杨 娇2，邓胜岳2

（1. 广东环境保护工程职业学院 基础教育部，广东 佛山 528216；2. 湖南工业大学 理学院，湖南 株洲 412007）

通过研究一类约束条件和目标系数中均含有三角模糊数的整数规划，利用模糊结构元理论，证明了一类系数为三角模糊数的整数规划的最优解等价于整数规划的最优解，得到了求解该模型的算法。通过算例验证了理论的正确性和算法的可行性。

三角模糊数；整数规划；模糊结构元

0 引言

整数规划是一类要求问题中的全部或部分变量为整数的线性规划。整数规划的历史可以追溯到古希腊数学家丢番图（Diophantine）对线性不定方程的整数解的研究。20世纪50年代，线性规划单纯形算法发现者Dantzig发现用0-1变量来描绘最优化模型中的固定用度、变量上界、半连续变量和非凸分片线性函数等。经过50多年的发展，整数规划的理论和算法得到了很大的发展，并且整数规划模型能有效地处理科学技术、工程研究、资源分配和营运管理等各种领域中的最优化问题。但是在实际生活中存在很多不确定现象，对于该类问题的建模得到了许多专家、学者的关注。针对具有模糊变量的模糊整数规划问题，H. J. Zimmermann[1]提出了模糊整数规划对称模型的解法；F. Herrera等[2]提出了模糊整数线性规划的3种模型，并提出了基于模糊数的表示定理及模糊数排序的算法。而针对模糊数的排序一直是模糊数学中的难点，自20世纪70年代以来，就有很多人提出了关于模糊数的比较和排序的方法。例如：Chen L. H.等[3]提出了用左、右优势度作为排序指标；P. A. D. Raj等[4]提出了使用极大和极小集，通过模糊权重进行选择排序的方法；L. Tran等[5]研究了用模糊间隔测度进行排序的方法；Liu X. W.等[6]验证了通过优先权重函数的数学期望进行模糊数排序的方法；而B. Asady等[7]却是通过定义模糊数的最近点从而对模糊数进行排序；郭嗣琮[8-9]提出了模糊结构元的概念，并且给出了模糊数的结构元表示方法，还得到了[-1, 1]上同序标准单调函数类与有界实模糊数的同胚性质，这表明一个有界实模糊数与一个[-1, 1]上的标准单调有界函数是一一对应的，因而模糊数间的排序关系也可由对应的单调函数间的序关系示意。但至今还没有一个方法被公认是最佳的。

针对具有系数为模糊数的整数规划问题，本文根据模糊结构元理论，定义了模糊数结构元加权排序，基于有界实模糊数的排序等价于一个[-1, 1]上的标准单调有界函数的排序，并给出了基于模糊结构元理论的模糊数的排序方法。通过结构元加权排序，将一类系数为三角模糊数的整数规划的最优解等价于整数规划的最优解。这可为模糊整数规划的求解提供一种新的思路和方法。

1 模糊结构元理论

先介绍模糊结构元的表示方法和模糊数的结构元加权序的相关知识。

2 系数为三角模糊数的整数规划及其算法

3 算例

例1 某药厂加工生产甲、乙2种药品，甲种药品每千克利润3元，乙种药品每千克利润2元。生产每千克甲药品需要原材料A约2 kg，需要原材料B约1 kg；生产每千克乙药品需要原材料A约3 kg，需要原材料B约0.5 kg。现有原材料A约15 kg，原材料B约4 kg，问应如何安排甲、乙两种药品的产量为整数且能使利润最大化？其中三角模糊数。

解 设甲、乙2种药品的产量分别为x1, x2kg，则该问题的数学模型为：

通过以上算例的分析和计算可知，利用模糊数结构元理论能有效地解决系数为三角模糊数的整数规划问题，并为模糊整数规划的解决提供了一种新的途径。

5 结语

现实世界中诸多事物存在不确定性，给决策者估量事物的目标函数以及约束条件的系数的确切值，带来了较大的困难，因此对这类规划问题的研究具有重要的理论和实际意义。本文讨论了一类系数为三角模糊数的整数规划，使用模糊结构元理论中的有界实数在[-1,1]上单调的性质，给出了模糊结构元加权排序的定义，将模糊数的排序转化为单调函数的比较，从而将一类系数为三角模糊数的整数规划的最优解，转化为整数规划的最优解。该方法不仅对于解决现实世界中广泛存在的模糊递阶决策问题具有实际意义，而且可为规划问题进一步的理论研究提供基础。

[1]ZIMMERMANN H J. Fuzzy Programming and Linear Programming with Several Objective Functions[J]. Fuzzy Sets and Systems，1978，1(1)：45-55．

[2]HERRERA F，VERDEGAY J L. Three Models of Fuzzy Integer Linear Programming[J]. European Journal of Operational Research，1995，83(3)：581-593.

[3] CHEN L H，LU H W. An Approximate Approach for Ranking Fuzzy Numbers Based on Left and Right Dominance [J]. Computers and Mathematics with Applications，2001，41(12)：1589-1602.

[4]RAJ P A D，KUMAR D N. Ranking Alternatives with Fuzzy Weights Using Maximizing Set and Minimizing Set [J]. Fuzzy Sets and Systems，1999，105(3)：365-375.

[5]TRAN L，DUCKSTEIN L. Comparison of Fuzzy Numbers Using a Fuzzy Distance Measure[J]. Fuzzy Sets and Systems，2002，130：331-341.

[6]LIU X W，HAN S L. Ranking Fuzzy Numbers with Preference Weighting Function Expectations[J]. Computers and Mathematics with Applications，2005，49(11/12)：1731-1753.

[7]ASADY B，ZENDEHNAM A. Ranking Fuzzy Numbers by Distance Minimization[J].Applied Mathematical Modelling，2007，31(11)：2589-2598.

[8]郭嗣琮.模糊分析中的结构元方法（I）[J]. 辽宁工程技术大学学报，2002，21(5)：670-673. GUO Sizong. Method of Structuring Element in Fuzzy Analysis(I)[J]. Journal of Liaoning Technical University，2002，21(5)：670-673.

[9]郭嗣宗. 模糊分析中结构元方法（Ⅱ）[J].辽宁工程技术大学学报，2002, 21(6)：808-810. GUO Sizong. Method of Structuring Element in Fuzzy Analysis(Ⅱ)[J]. Journal of Liaoning Technical University， 2002，21(6)：808-810.

[10]郭嗣琮.基于结构元理论的模糊数学分析原理[M].沈阳：东北大学出版社，2004：10-129. GUO Sizong. Principle of Mathematical Analysis Based on Structured Elements[M]. Shenyang：Northeast University Press，2004：10-129.

[11]赵海坤，郭嗣琮.全系数模糊两层线性规划[J].模糊系统与数学，2010，24(3)：98-106. ZHAO Haikun，GUO Sizong. Bi-Level Linear Programming with All-Coefficient-Fuzzy[J]. Fuzzy Systems and Mathematics，2010，24(3)：98-106.

[12]刘海涛，郭嗣琮.基于结构元方法的可能性线性规划[J].数学的实践与认识，2012，42(8)：106-112. LIU Haitao，GUO Sizong. Possibilistic Linear Programming Based on Structured Element Method[J]. Mathematics in Practice and Theory，2012，42(8)：106-112.

（责任编辑：邓光辉）

An Integer Programming with Coefficients Being a Class of Triangular Fuzzy Numbers

ZHOU Xihua1，HUANG Xiaohong1，YANG Jiao2，DENG Shengyue2
（1. Department of Basic Education，Guangdong Polytechnic of Environmental Protection Engineering，Foshan Guangdong 528216，China；2. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Based on the fact that both a class of integer programming constraints and objective coefficients contain triangular fuzzy numbers, a research has been conducted, by applying the fuzzy structured element theory, to successfully reach the conclusion that the optimal solution of a class of integer programming with triangular fuzzy number is equivalent to that of the integer programming, thus obtaining an effective algorithm for solving the model, verifying the validity of the theory and the feasibility of the algorithm with numerical examples.

triangular fuzzy number；integer programming；fuzzy structured element

O221. 1

A

1673-9833(2016)05-0077-04

10.3969/j.issn.1673-9833.2016.05.015

2016-07-20

湖南省自然科学基金资助项目（2016JJ2043），湖南省教育厅科学研究基金资助项目（16C0472，15C0537）

周喜华（1979-），男，湖南岳阳人，广东环境保护工程职业学院讲师，主要研究方向为线性系统理论，模糊数学，E-mail：576601525@qq.com