排列组合问题的八种错误

黄孝银++张永友

在解答排列组合问题时，由于题意理解不透、“分类”与“分步”混淆不清、元素间的关系处理不明、方法应用把握不准，就不可避免地出现“重”或“漏”的错误. 为了帮助同学们厘清关系，避免失误，我们把常见错误归结为八个类型，以供借鉴.

混淆加法计数原理与乘法计数原理

例1 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到G处参加志愿者活动，则小明到[G]处可以选择的最短路径的条数为_____.

[ ]

错解 由题意可知，E[→]F共有6种走法，F[→]G共有3种走法，由加法计数原理知，共有6+3=9种走法.

错因 导致错误的原因是混淆了两个基本原理.

正解 由题意可知，从E到F有6种走法，从F到G有3种走法，故共有6[×]3=18种走法.

点拨 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关. 分类用加法，分步用乘法.

分类重复导致错误

例2 4名运动员参加4×100接力赛，若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则不同的出场顺序有____种.

错解 4名队员共有[A44]种排法，甲跑第一棒有[A33]种，乙跑第四棒有[A33]种，故一共有[A44-A33-A33]=12种.

错因 上解法中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，但两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况，从而导致了错误结论.

正解 不考虑限制条件，4名队员的全排列共有[A44=24]种. 甲跑第一棒有[A33=6]种，乙跑第四棒有[A33=6]种，甲跑第一棒且乙跑第四棒有[A22=2]种，故共有[A44-2A33+A22=14]种不同的出场顺序.

点拨 此类问题与两个集合的并集的元素个数如出一辙，[card（A?B）=card（A）+card（B）-card（A?B）].

分类遗漏导致错误

例3 5件不同产品排成一排，若产品A与B相邻，且产品A与C不相邻，则不同的排法有_____种.

错解 记其余两件产品为D，E. 先将D，E进行排列，并形成3个空位，将A，B看作一个整体，与C插入3个空位，故不同的方法共有[A22A23A22=24]种.

错因 错解中只是考虑了将A，B和C插空，其实ABC或CBA也可看作一个整体，再与D，E排列，而错解中忽略了这种情况.

正解 记其余2件产品为D，E. 先排D，E，并形成3个空位. 然后分类：（1）将A，B看作一个整体，与C插入3个空位中，不同的排法有[A22A22A23=24]种；（2）将ABC或CBA看作一个整体，再与D，E排列，不同的排法有[A33+A33=12]种. 故不同的排法共有24+12=36种.

点拨 此例提醒我们，分类时要把握好分类的原则，必要时，也可画图来帮助分析、求解.

平均分组中出现重复计数的错误

例4 某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有 种.

错解 第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，共有[C27C25C33?A33]=1260种.

错因 此例是部分平均分组问题. 错解中的挑选方法可能为第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是两人交换了选法，所以在全排列的过程中就重复计算了.

正解 [C27C25C33A22×A33=630]种.

点拨 排列与组合的综合问题，要遵循“先组合再排列”即“先取后排”的原则. 注意在取的时候是不是已经排序了，防止重复排序导致重复计算.

将相同元素的排列错误地当成不同元素的排列

例5 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 种.

错解 先将不坐人的3把椅子排好，有[A33=6]种排法. 再将3人带着剩余的3把椅子排在4个空位上，有[A34=24]种排法. 故共有6×24=144种不同的方法.

错因 空椅子之间是没有差别的，错解中将空位当成不同的元素也进行了排列，致使计数出现了重复.

正解 先把3把空椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个空位，再把3人带椅子插放在4个空位上，故共有[A34=24]种坐法.

点拨 相同元素的排列应该用组合数表示，因为它们之间不讲顺序，而三个人的坐法是要有顺序的.

不明白事理而导致错误

例6 8个人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为_____. （用数字作答）

错解 第一轮分成4组比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需比赛4场. 第二轮分成2组比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛. 共需要比赛4+2=6场.

错因 上述解法错误地认为，经过这种淘汰赛后，剩下的两人是水平最高的两人. 实际上，第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了.

正解 先将8人分成4组进行比赛，胜者进行第二轮，需要比赛4场. 将进入第二轮的四人分成2组进行比赛，胜者进入第三轮，需要2场比赛. 进入第三轮的2人比赛，胜者为第一名，需一场比赛. 将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决出第一名，需2场比赛. 所以，至少需要4+2+1+2=9场比赛.

点拨 审题要明确事情有没有做完，分类有没有遗漏，解答是否切合实际，从把握好事理关来杜绝错误.

不会转化导致解题错误

例7 一个质点从原点出发，沿[x]轴跳动，每次向左或向右跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（可重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_____种.

错解 因为每一步都有两种可能，所以共有25=32种方法. 又由于这32种方法中质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能性相等，故不同的运动方法共有16种.

错因 质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能性相同是错误的，错误的原因是没有将问题进行合理转化.

正解 设质点向右跳一次为+1，向左跳一次为-1. 由题意知，其和为+3，故需要4个+1，1个-1，所以质点不同的运动方法共有[C15C44=5]种.

点拨 背景比较陌生的问题，可以利用转化的方法转化为熟悉的问题来处理. 本例是将问题转化为相同元素的排列问题.

不能理解题意而导致错误

例8 定义“规范01数列”[an]如下：[an]共有[2m]项，其中[m]项为0，[m]项为1，且对任意[k≤2m]，[a1，a2，…，ak]中0的个数不少于1的个数. 若[m]=4，则不同的“规范01数列”共有___个.

错解 有[28÷2=128]个

错因 没有理解题意而胡乱求解.

正解 由题意知，[a1=0，a8=1，a2，a3，…，a7]中有3个0、3个1，且满足对任意[k≤8]，都有[a1，a2，…，ak]中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，001110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个.

点拨 对某些特殊问题，在正确理解题意的基础上，可以用列举法来求解，也可以用框图或树图法求解.