三项式展开式系数的求解策略

刘忠君

在二项式定理的内容中，经常涉及三项式展开式的问题，如求三项式展开式中的某一项或某一项的系数等. 对特殊类型的三项式而言，可转化为二项式问题求解，而对于一般三项式，则问题显得较为复杂. 本文将通过具体例子来说明三项式展开式问题的求解方法，并在二项式展开式问题的基础上，推广得出求三项式展开式中系数问题的一般方法.

转化为二项式求解

例1 求[（x2+1x+2）5]的展开式中的常数项.

解析 方法一：∵[（x2+1x+2）5]=[[12（x+2x）2]5=2-5×（x+2x）10]，

其通项为[Tr+1=Cr10·xr2-10-r2·210-r2].

令[r2-10-r2=0]，解得，[r=5].

∴所求常数项为[2-5·C510·252=6322].

方法二：∵[（x2+1x+2）5]=[（x2+22x+22x）5=[（x+2）2]5（2x）5=（x+2）10（2x）5]，

对于二项式[（x+2）10]，其通项为[Tr+1=Cr10·x10-r·2r2]，要得到原展开式中的常数项，则只须[10-r=5]，即[r=5].

∴所求常数项为[C510·25225=6322].

点拨 求三项式展开式中的系数问题，其解题的关键是利用转化思想方法，将三项式转化为二项式问题求解. 上述方法一和方法二对特殊类型的三项式来说，是较实用又简捷的一种思考方法，但对一般的三项式来说却行不通，需另行他法.

例2 求[（x-1+1x）5]的展开式中含[x]的项.

解析 ∵[（x-1+1x）5=1x5[（x2-x）+1]5]，

∴要求展开式中含[x]的项，只须求[[（x2-x）+1]5]中含[x6]的项.

∵[[（x2-x）+1]5][=（x2-x）5+5（x2-x）4+10（x2-x）3+10（x2-x）2+5（x2-x）+1]，

∴只有[（x2-x）5]，[5（x2-x）4]和[10（x2-x）3]中才有可能含有[x6]的项.

又[（x2-x）5=x5（x-1）5]的展开式中[x6]的系数为[C45=5]，

[5（x2-x）4=5x4（x-1）4]的展开式中[x6]的系数为[5C24=30]，

[10（x2-x）3=10x3（x-1）3]的展开式中[x6]的系数为10，

∴[（x-1+1x）5]展开式中含[x]的项为[（5+30+10）x=][45x].

点拨 显然，对此例用例1中的两种方法求解是较复杂的，对此，不妨将其变形、展开，再转化为二项式的情形求解. 另外，此例也可转化为[（x-1+1x）5=][[x2+（1-x）]5x5]，再展开求解. 同学们不妨试一试，看能否找到解题的“捷径”.

回归定义（或课本）求解

例3 题目见例2.

解析 ∵[（x-1+1x）5]可看作五个[（x-1+1x）]相乘，由多项式乘法法则，从以上五个括号中一个括号内取[x]，其他四个括号内取常数项，则积为[x]的一次项，此时系数为[C15?1?C44（-1）4=5].

同理，从以上五个括号中两个括号内取[x]，一个括号内取[1x]，两个括号内取常数项，其积也为[x]的一次项，此时系数为[C25?C13?C22（-1）2=30].

再从以上五个括号中三个括号内取[x]，两个括号内取[1x]，其积也为[x]的一次项，此时系数为[C35?C22=10].

综上知，展开式中含[x]的项为[（5+30+10）x=45x].

点拨 上述方法实际上是一种“回归法”，即回归到课本中的定义、概念上去，通过对定义、概念等的透彻理解，从而得到解题的方法. 此种方法在数学解题中非常重要，应深刻领会，熟练掌握.

例4 求[（x2+3x-1）9·（2x+1）4]展开式中含[x2]的项的系数.

解析 由题意得，前一式子中的[x2]、[3x]及后一式子中的[2x]取出的个数有以下几种情况：1，0，0；0，2，0；0，1，1；0，0，2.

所以展开式中含[x2]的项为

[C19x2C88（-1）8C44+C29（3x）2C77（-1）7C44+C19（3x）1C88（-1）8C14（2x）C33+]

[+C99（-1）9C24（2x）2C22=-123x2].

故展开式中含[x2]的项的系数为-123.

点拨 显然，此例转化为二项式问题求解是很困难的. 为此，考虑用回归课本的方法求解则较为方便. 注意，回归课本并不是要拘泥于教材，而是在充分理解的基础上熟练地驾驭教材，并用“另一双眼睛”去解读和处理教材，读出“味道”，“用活”知识，“构建”网络，从而达到提升能力之目的.

利用公式（定理）求解

我们知道，二项式[（a+b）n]的展开式的通项为[Tr+1=Crnan-rbr]. 令[p+r=n]，则[Tr+1=Crnapbr]，其系数[Crn=n！r！（n-r）！=n！p！r！]. 由此得到如下结论：[（a+b）n]的展开式中含[apbr]的系数为[n！p！r！]，其中[p]，[r∈N]，且[p+r=n]. 将此结论推广，可得到如下定理：

定理 [（a+b+c）n]的展开式中含[apbqcr]项的系数为[n！p！q！r！]，其中[p]，[q]，[r∈N]，且[p+q+r=n]. （证明略）

例5 求[（x+y2-2z）8]展开式中含[x6yz]项的系数.

解析 由定理知，[p=6]，[q=r=1]，则所求系数为[8！6！1！1！·（12）1（-2）1=-56].

点拨 此例属一般三项式问题，可直接用定理求解.

对于更一般的三项式，有以下的推论.

推论 三项式[（axt+bxk+c）n]的展开式中含[xm]的系数为[n！p！q！r！apbqcr]，其中[p]，[q]，[r∈N]，[tp+kq=m]，且[p+q+r=n]（∑表示对所有的[p]，[q]，[r]求和）. （证明略）

例6 （1）求[（1+x+x2）8]的展开式中[x5]的系数；

（2）求[（|x|+1x-2）3]的展开式中的常数项.

解析 （1）由推论得，[p+q+r=8，q+2r=5，]

即[p=3，q=5，r=0，]或[p=4，q=3，r=1，]或[p=5，q=1，r=2.]

∴展开式中[x5]的系数为

[8！p！q！r！=8！3！5！0！+8！4！3！1！+8！5！1！2！=504].

（2）由推论得，[p+q+r=3，p-q=0，] 即[p=0，q=0，r=3，]或[p=1，q=1，r=1.]

∴展开式中的常数项为

[3！p！q！r！·（-2）r=3！0！0！3！·（-2）3+3！1！1！1！·（-2）1=-20].

点拨 （1）中[x5]可看作[1p?xq?（x2）r]，由此得[q+2r=5]（其中[p+q+r=8]）. （2）中要求常数项，可将[（|x|+1x-2）3]中的一般项转化为[|x|p?（|x|-1）q?（-2）r]，由题意和推论知，[p+q+r=3]，且[p-q=0].