都是无图惹的祸

都是无图惹的祸

林小军

我们经常会遇到这样一类题目，只用文字叙述来表达题意，而不画出具体的图形，这时，我们就要多问问自己，为什么出题者不给出图形？其目的是什么？难道有多种情况存在吗？现归纳一下锐角三角函数中出现的此类问题，以提高同学们的免疫能力.

例1已知等腰三角形的周长为14，一边长为4，求底角的余弦值.

图1

图2

【错解】

如图1，等腰三角形ABC中，AB= AC=5，BC=4，求cos∠B或cos∠C的值.

过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据三线合一得：BD=CD=2，在Rt△ABD中

【错因】因为题目未给出具体的图形，且条件给出的是“一边长为4”，语言叙述模糊，解题千万不能含糊.一些同学粗心大意，导致漏解.即只考虑了底为4的情况，而未考虑腰为4的情况.

【正解】

如图1，当等腰三角形的底为4时，

如图2，当等腰三角形的腰为4时，

例2在△ABC中，AD是边BC上的高，AD=2，DB=2，CD=23，求∠BAC的度数.

图3

图4

【错解】根据题意画出图3，在Rt△ABD中，求出∠BAD=45°，在Rt△ACD中，

∴∠CAD=60°，

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+60°=105°.

【错因】对题目的条件：“AD是边BC上的高”，只考虑了高在△ABC内部，未考虑高在△ABC外部，导致漏解.

【正解】当高在△ABC内部时，∠BAC= 105°；如图4，当高在△ABC外部时，即∠ABC为钝角时，∠BAC=∠CAD-∠BAD=60°-45°=15°.

∴∠BAC的度数为105°或15°.

例3在△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC= 30°，则△ABC的面积为.

图5

图6

【错解】如图5，过点B作BD⊥AC，垂足为D，在RtΔABC中，BD=2，AD=23；在Rt△BCD中，

∴S△ABC=

【错因】俗话说：“边边角，不知道”，如图6，30°角所对的边BC有两种情况，当∠C为锐角时；以点B为圆心，BC为半径画圆，交AC于C′，则钝角三角形ABC′也符合题意，所以本题应有两解.

【正解】当∠C为锐角时

例4在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点A的坐标是.

【错解】如图7，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，则PC∥BO，

∴∠ABO=∠APC，

∴tan∠ABO=tan∠APC=3，

图7

∵PC=1，∴AC=3，∴AO=2，∴A（-2，0）.

【错因】图形不确定时，要分情况讨论，这对各位同学的动手操作能力提出了较高的要求.

【正解】如图7，当k＞0时，A（-2，0）；

图8

如图8，当k＜0时，过点P作PD⊥OA，垂足为D，

∵tan∠ABO=tan∠APD=3，在Rt△APD中，

∵PD=1，∴AD=3，∴AO=4，∴A（4，0）.

综上所述：点A的坐标为（-2，0）或（4，0）.

通过以上几道无图题的分析可以发现，当题目不给出图形时，我们就要多一个心眼，是不是有几种不同的情况，有时命题者故意不画出图形，既考查我们的建模能力，又考查我们思考问题是否全面.通过这个专题的复习，我们应该对“无图题”有很高的警惕性，今后再遇到此类问题，我们的防漏解的意识一定会有很大的提高吧！

（作者单位：江苏省东台市新街镇中学）