静摩擦力在曲面上的累积效应

梁玉娟 左倩 赖华碧 郑惠敏

(河池学院 物理与机电工程学院， 广西 宜州 546300)



静摩擦力在曲面上的累积效应

梁玉娟 左倩 赖华碧 郑惠敏

(河池学院 物理与机电工程学院， 广西 宜州 546300)

在不考虑摩擦情况下的一段轻绳，绳中各处的张力是相等的，但在考虑绳索的质量、摩擦力的情况下，绳索中各处的张力并不相等。利用微元法对缠绕在木桩上的绳索进行受力平衡研究，计算结果表明：随着静摩擦力在曲面上的不断积累，绳索两端的张力将变得很悬殊，两端张力之比按包角(绳长)呈指数关系变化。因此，有效利用静摩擦力的累积效应将可以省力，以很小的力就可以抵制很大的外力。

绳索；张力； 静摩擦力；曲面；累积效应

0 引言

同一根绳索中的张力处处相等，这是中学物理中解题要用到的重要关系之一，这是为了简化问题而建立的理想模型，它的前提条件是不考虑绳索的质量，且绳索不可伸长，与其它物体接触时不考虑摩擦力。漆安慎、杜婵英的力学教材第三版的选读材料“[选读7.2]滑轮受力分析”中指出：定滑轮两侧绳索所受拉力差与绳和滑轮的质量、滑轮的半径、轴摩擦力矩以及滑轮角加速度有关；只有当绳索和滑轮的质量极小、轴摩擦力极小的极限条件下，滑轮两侧绳内的张力趋于相等[1]。真实的情况下，绳是有质量的，在与其它物体接触并有运动趋势时是存在摩擦力的，下面将用数学、物理、计算机相结合的研究方法，探索存在静摩擦力的情况下，绳中张力与静摩擦力之间的定量关系。

1 绳索中的张力

图1 绳索中的张力

绳索受到拉伸时内部出现的力称为张力。如图1所示，在F和F′作用下绳索保持平衡，此时绳索是张紧的，在绳索上的某个位置p作与绳垂直的假想截面，将绳分成两侧，这两侧的相互作用力FT即是该处绳的张力，其方向与绳子在该点的切线方向平行，其产生的原因是绳拉伸变形而产生的，但形变量与绳原长相比很小，在简化处理问题时常不计绳索的伸长。这里不计绳索伸长，却又考虑因绳索伸长而导致的张力显然是矛盾的，但这是物理学上常用的研究方法，为了突出主要因素，忽略次要因素而建立的理想模型，它不影响问题的最后研究结果。

2 静摩檫力在曲面上的积累效果

在农村我们经常看到村民将绳索在树干或木桩上绕几圈就可以将牛牢牢的拴住了，而在河边将绳索在树干或大石头上绕几圈就可以将船只固定住，任凭大风吹船只都跑不掉，如图2、图3所示。那么，将绳索在木桩上绕几圈就能使绳的另一端受到极大的拉力，原因在哪里呢？这是一个物体在相互作用力下的平衡问题，由于木桩圆柱面对绳有摩擦力，所以绳中各处的张力就不同。采用微元法[1-3]，将绳索想象地分割成很多小段，图2、图3的侧面图如图4所示，对任一小段绳索AB进行受力分析并建立与相邻绳段之间相互作用的微分方程，再通过积分运算求得绳索两端的作用力。AB弧段所张的圆心角为dθ；分别以A和B为作用点，T和T+dT分别代表两边的绳对AB段的张力，方向都是沿着圆周的切线方向；N是圆柱面对AB段的压力，方向沿半径向外；T0是绳抵抗物体的外力，TL是拉力，f是圆柱面对AB段的静摩檫力，静摩檫力的方向与假想静摩擦力消失后AB绳段的运动方向相反，由于T0>TL，一旦静摩擦力消失，AB绳段将沿θ角减小的方向运动，所以静摩檫力f沿θ角增大的方向。由于压力N和静摩檫力f都是圆柱面对AB绳段的平均作用力，所以将AB绳段视为质点C，在C点表达压力和静摩檫力，但表达张力时，AB绳段就不能视为质点，要考虑张力在A端和B端的差别。张力T是角度θ的函数，而B点对应的角度比A点对应的角度大，因此，把作用在B点的张力写成T+dT。

图2 栓牛示意图

图3 栓船示意图

C点为AB弧段的中点，由几何关系可得T和T+dT的方向与过C点的切线的夹角为dθ/2，设绳与圆柱形木桩间的静摩擦系数为μ0，对AB绳段应用牛顿第二定律，得各小段绳索之间的相互作用关系为[3]：

(1)

(2)

dT+f=0

(3)

N=Tdθ

(4)

静摩檫力与正压力的关系为f≤μ0N，在临界条件下有f=μ0N，由(3)、(4)式得[3]

(5)

对(5)式积分，当θ=0时T=T0，θ=Θ时T=TL，有[3]

(6)

其中Θ=L/R，Θ代表绳长为L所对应的总圆心角，对(6)式积分得绳另一端的拉力为[3]

(7)

(8)

由作用力与反作用力可得绳索两端张力之比与(8)式是一样的，即在有摩擦力的情况下，绳中各处的张力不相等，两端张力之比按包角Θ(或绳长L)呈负指数关系变化。显然，静摩擦系数μ0越大，绕在圆柱上的绳越长，绳另一端的拉力就越小。

现取T0=2 000N，μ0=0.5，Θ=0～10π，求得绳另一端拉力TL如表1所示，若要抵抗2 000N的力，只要将绳索在木桩上绕3圈半(7π)以上就可达到目的了。拉力随包角的变化关系如图5所示，绳端的拉力TL随包角Θ的增大而急速衰减。

表1 拉力T随包角Θ的变化关系 (T0=2 000N，μ0=0.5)

Θ(rad)01π2π3π4π5π6π7π8π9π10πTL(N)2000415759864281796737350776016100340007000100003

图5 拉力TL随包角Θ的变化关系

图6 不同摩擦系数下，拉力TL随包角Θ的变化关系

麻绳与木材之间的摩擦系数范围约是0.4～0.8[4]，用于栓牛、栓船的绳索通常是尼龙绳，摩擦系数应小一些，现取不同摩擦系数进行数值模拟，模拟结果如图6所示：对应不同的摩擦系数，拉力随包角的增大衰减的速度不同，摩擦系数越大，衰减越迅速，对应的曲线越陡峭，但不同曲线之间区分不是很大，在绳索绕木桩3圈以上，所有曲线都重合在一起，拉力几乎是零。可见，在有摩擦力的情况下，绳中各处的张力不同，绳两端的张力相差很大。此例中，绳一端的张力是2 000 N，而另一端的张力几乎为零。由此可见，静摩檫力是可以沿曲面积累的，随着包角的增大，静摩擦力将会很大，可以抵抗很大的阻力，从而使得绳的另一端的张力趋于零。巧妙地利用静摩擦力的积累，可以省力，为我们的生活带来很大方便。

3 结论

由上述理论分析及计算机数值模拟结果表明：①在考虑绳索的质量及摩擦力的情况下，绳索中各处的张力并不相等，甚至相差很大；②绳索与曲面之间的静摩檫力是可以积累的，随着接触面积的增大而迅速增大，体现在绳索中的张力随着包角(或绳长)的增大而呈负指数关系衰减，因而绳端的张力可以变得很小，甚至趋于零；③利用静摩擦力的累积效应，可以通过绳索以很小的力抵抗很大的外力，从而达到省力效果。

[1]漆安慎,杜婵英.普通物理学教程·力学[M].3版，北京:高等教育出版社,2012:74-85,261.

[2]张汉壮,王文全.力学[M].3版，北京:高等教育出版社,2015:55-57.

[3]陈信义.大学物理教程[M].2版，北京:清华大学出版社,2008:13-14.

[4]常用材料间摩擦系数汇总[DS/OL].[2016-05-01]http://www.cnctechnet.com/post/1627.html.

[责任编辑 刘景平]

The Cumulative Effect of Static Friction on the Surface

>LIANG Yujuan,ZUO Qian,LAI Huabi,ZHENG Huimin

(School of Physics and Mechanical & Electrical Engineering, Hechi University, Yizhou, Guangxi 546300, China)

Without regard to friction, the tensions throughout a rope are equal. However, under the consideration of the quality and friction of a rope, its tensions everywhere are unequal. In this paper, the differential element method is adopted to research the force balance of a rope winded round a wooden stake. The result indicates that with the static friction on the surface continuous accumulating, the tensions in both ends will become quite unequal, and the ratio of the tensions in both ends is an exponential relation with the length of ropes. Thus, if we effectively use the cumulative effect of static friction, we could save effort because we can use small force to resist very large external force.

rope; tension; static friction; surface; cumulative effect

O314

A

1672-9021(2016)05-0109-04

梁玉娟(1968-)，女(仫佬族)，广西罗城人，河池学院物理与机电工程学院教授，主要研究方向：物理教学。

广西高校科学技术研究基金重点资助项目(2013ZD059)；广西区级大学生创新创业训练计划项目(201610605013，201610605016，201610605068)。

2016-08-28