刘秀丽
(菏泽学院 数学系,山东 菏泽 274015)
若干路的冠图的邻点可区别I-全染色
刘秀丽
(菏泽学院 数学系,山东 菏泽 274015)
全染色; 邻点可区别全染色; 邻点可区别I-全染色; 邻点可区别I-全色数; 冠图
图的染色问题是图论的主要研究内容之一,全染色问题特别是邻点可区别全染色又是染色问题中的难点. 2004年,张忠辅等[1]提出了邻点可区别全染色的概念,这个染色问题已经被广泛研究[2-3]. 在邻点可区别全染色概念的基础上,又提出了图的邻点可区别I-全染色[4]的概念. 近来,一些学者对一些特殊图类的邻点可区别I-全染色进行了研究[5-8]. 本文讨论了Pn∘Pm,Pn∘Cm,Pn∘Fm和Pn∘Wm图的邻点可区别I-全染色,根据这些图的构造特征,给出了一种具体的染色方案,得到了它们的邻点可区别I-全色数,并且满足猜想.
定义 1[4]对于阶数不小于2的连通图G,f是从V(G)∪E(G)到{1,2,…,k}的映射,k是自然数,如果f满足:
1) 任意uv∈E(G),u≠v,有f(u)≠f(v);
2) 任意uv,uw∈E(G),v≠w,有f(uv)≠f(uw);
3) 任意uv∈E(G),u≠v,有C(u)≠C(v).
定义 2[8]对于路Pn和任意给定的图H,先将H进行n次复制,然后将路Pn中的每个顶点悬挂H,且每个公共点都是H中的点v0,这样构造得到的图称为路的冠图,记为Pn∘H.
V(Pn∘Pm)={vi,j|i=1,2,…,n,j=0,1,2,…,m-1},
E(Pn∘Pm)={vi,0vi+1,0|i=1,2,…,n-1}∪ {vi,jvi,j+1|i=1,2,…,n,j=0,1,2,…,m-2}.
V(Pn∘Cm)={vi,j|i=1,2,…,n,j=0,1,2,…,m-1},
E(Pn∘Cm)={vi,0vi+1,0|i=1,2,…,n-1}∪{vi,jvi,j+1|i=1,2,…,n,j=0,1,2,…,m-2}∪ {vi,m-1vi,0|i= 1,2,…,n}.
V(Pn∘Fm)={vi,j|i=1,2,…,n,j=0,1,2,…,m},
E(Pn∘Fm)={vi,0vi+1,0|i=1,2,…,n-1}∪{vi,jvi,j+1|i=1,2,…,n,j=1,2,…,m-1}∪{vi,0vi,j|i=1,2,…,n,j=1,2,…,m}.
V(Pn∘Wm)={vi,j|i=1,2,…,n,j=0, 1,2,…,m} ,
E(Pn∘Wm)={vi,0vi+1,0|i=1,2,…,n-1}∪{vi,jvi,j+1|i=1,2,…,n,j=1,2,…,m-1}∪{vi,mvi,1|i=1,2,…,n}∪{vi,0vi,j|i=1,2,…,n,j=1,2,…,m}.
本文所讨论的图均为简单、有限图. 文中未加说明的记号和术语参见文献[9].
定理 1对图Pn∘Pm,n≥3,m≥2,则有
证明1)n=3.
f(v1,0)=1,f(v2,0)=2,f(v3,0)=3,
f(v1,0v2,0)=1,f(v2,0v3,0)=2,
j=1,2,…,m-1,
i=2,3, j=0,1,2,…, m-2.
此时,
C(v1,0)={1,2},
C(v2,0)={1,2,3},
C(v3,0)={2,3},
i=2,3, j=1,2,…,m-2,
2)n≥4.
i=1,2,…,n, f(v1,0v2,0)=2,
i=2,3,…,n-1,
i=1,2,…,n, j=1,2,…,m-1,
i=1,2,…,n, j=0,1,2,…,m-2.
此时,
i=3,4,…,n-1,
C(v1,0)={1,2},C(v2,0)={1,2,4},
i=1,2,3,…,n, j=1,2,…,m-2,
i=1,2,3,…,n.
定理 2对图Pn∘Cm,n≥3,m≥3,则有
证明1)n=3.
f(v1,0)=4,f(v2,0)=2,f(v3,0)=4,
f(v1,0v2,0)=1,f(v2,0v3,0)=3,
i=1,2,3, j=1,2,…,m-1,
j=0,1,2,…,m-2,
f(vi,m-1vi,0)=4,i=1,2,3.
此时,
C(v1,0)={1,2,4},C(v2,0)={1,2,3,4},
C(v3,0)={2,3,4},
i=1,2,3, j=1,2,…,m-2,
i=1,2,3.
2)n≥4.
i=1,2,3,…,n-1,
i=1,2,…,n, j=1,2,…,m-1,
j=0,1,2,…,m-2,
f(vi,m-1vi,0)=4,i=1,2,…,n.
此时,
i=2,3,…,n-1,
C(v1,0)={1,2,4},
i=1,2,3,…,n, j=1,2,…,m-2,
i=1,2,3,…,n.
定理 3对图Pn∘Wm,n≥3,m≥3,则有
证明1)n=3.
f(v1,0)=m+1,f(v2,0)=m+2,f(v3,0)=m+1,f(v1,0v2,0)=m+1,f(v2,0v3,0)=m+2,
f(vi,j)=j,f(vi,0vi,j)=j,i=1,2,j=1,2,…,m,
f(v3,j)=j,f(v3,0v3,j)=j,j=1,2,…,m-1,f(v3,0v3,m)=m+1,
f(vi,jvi,j+1)=j+3,j=1,2,…,m-1,
f(vi,mvi,1)=2,i=1,2,3.
此时,
C(v1,0)={1,2,…,m,m+1},C(v2,0)={1,2,…,m,m+1,m+2},
C(v3,0)={1,2,…,m-1,m+1,m+2},
C(vi,j)={j,j+2,j+3},i=1,2,3,j=2,3,…,m-1,
C(vi,1)={1,2,4},C(vi,m)={2,m,m+2},i=1,2,C(v3,m)={2,m+1,m+2}.
2)n≥4.
f(vi,j)=j,f(vi,0vi,j)=j,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,
f(vi,jvi,j+1)=j+3,j=1,2,…,m-1,
f(vi,mvi,1)=2,i=1,2,…,n.
此时,
C(v1,0)={1,2,…,m,m+1,m+2},
i=2,3,…,n-1
C(vi,j)={j,j+2,j+3},i=1,2,3,…,n,j=2,3,…,m-1,
C(vi,1)={1,2,4},C(vi,m)={2,m,m+2},i=1,2,3,…,n.
定理 4对图Pn∘Fm,n≥3,m≥3, 则有
证明由定理3可直接得出.
[1]张忠辅,陈祥恩,李敬文,等. 关于图的邻点可区别全染色[J]. 中国科学(A辑),2004,34(5):574-583. Zhang Zhongfu,Chen Xiang’en,Li Jingwen,et al. Adjacent vertex distinguishing total coloring of graph[J]. Science in China(Ser. A),2004,34(5):574-583. (in Chinese)
[2]孙晓玲,杜建伟. 一类外平面图的邻点可区别全染色[J]. 中北大学学报(自然科学版),2009,30(1):1-4. Sun Xiaoling,Du Jianwei. Adjacent vertex distinguishing total coloring of a class of outerplane graphs[J]. Journal of Nouth University of China (Natural Science Edition),2009,30(1):1-4. (in Chinese)
[3]张芳红,王治文,陈祥恩.C5∨Kt的邻点可区别全色数[J]. 数学的实践与认识,2012,42(16):247-252. Zhang Fanghong,Wang Zhiwen,Chen Xiang’en. Adjacent-vertex-distinguishing total chromatic numbers ofC5∨Kt[J]. Mathematics in Practice and Theory,2012,42(16):247-252. (in Chinese)
[4]Chen X E,Gao Y P,Yao B. Not necessarily proper total colourings which are adjacent vertex distinguishing[J]. International Journal of Computer Mathematics,2013,90(11):2298-2307.
[5]杨随义,王治文. 一类3-正则图的关联邻点可区别全染色[J]. 山西大学学报(自然科学版),2010,33(3):354-357. Yang Suiyi,Wang Zhiwen. Incidence adjacent vertex-distinguishing total coloring of a kind of 3-regular graph[J]. Journal of Shanxi University(Natural Science Edition),2010,33(3):354-357. (in Chinese)[6]卢建立,任凤霞,马美琳. 项链的若干染色问题[J]. 科技导报,2012,30(7):44-47. Lu Jianli,Ren Fengxia,Ma Meilin. Several coloring problems involving necklace[J]. Science and Technology Review,2012,30(7):44-47. (in Chinese)
[7]杨晓亚. 图Pn□Cm的邻点可区别的I-全染色[J]. 纯粹数学与应用数学,2012,28(6):757-764. Yang Xiaoya. Adjacent vertex-distinguishingI-total colorings ofPn□Cm[J]. Pure and Applied Mathematics,2012,28(6):757-764. (in Chinese)
[8]田京京. 冠图Cm·Sn和Cm·Pn的邻点可区别的I-全染色[J]. 西南师范大学学报(自然科学版),2013,38(2):25-28. Tian Jingjing. On adjacent Vertex-DistinguishingI-total chromatic number of the crown graphCm·SnandCm·Pn[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition),2013,38(2):25-28. (in Chinese)
[9]Bondy J A,Murty U S A. Graph theory with apolications[M]. London:Macmillan Press Ltd,1976.
Adjacent Vertex-DistinguishingI-Total Coloring of Some Crown Graphs of Path
LIU Xiu-li
(Dept. of Mathematics,Heze University,Heze 274015,China)
total coloring; adjacent vertex-distinguishing total coloring; adjacent vertex-distinguishingI-total coloring; adjacent vertex-distinguishingI-total chromatic number; crown graph
2016-02-28 基金项目:山东省自然科学基金资助项目(ZR2014AM032); 山东省高校科技计划资助项目(J13LI02)
刘秀丽(1977-),女,讲师,硕士,主要从事图论与组合优化的研究.
1673-3193(2016)05-0461-04
O157.5
A
10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.005