工程研发在Knight不确定性下的最优投资决策

曹博洋,姜明辉,苗青

(1.哈尔滨工业大学管理学院,150001,哈尔滨;2.燕山大学艺术与设计学院,066004,河北秦皇岛)



工程研发在Knight不确定性下的最优投资决策

曹博洋1,姜明辉1,苗青2

(1.哈尔滨工业大学管理学院,150001,哈尔滨;2.燕山大学艺术与设计学院,066004,河北秦皇岛)

针对工程研发过程中所包含的Knight不确定性可能会造成投资上的损失,提出了工程研发投资决策模型。该模型以两个竞争性工程研发团队为例,量化了Knight不确定性对投资的影响,分析了团队自身和竞争者的投资决策,利用实物期权理论,对工程研发的决策收益进行评估,最后经过期权博弈得到了工程研发投资的最优决策。该模型考虑了竞争者的存在,可以精确地对工程研发的4种投资决策估值,由期权博弈分析得到的结果可知:实物期权的方法比传统的净现值方法的评估准确度有较大的提高,与不考虑不明确性偏好相比,工程研发在Knight不确定性下会有不同的最优投资决策,并且所得结果与实际投资决策经验更加相符,增强了投资决策制定的科学性,也保证了工程研发团队的竞争优势和收益最大化。

工程研发;最优投资决策;期权博弈;Knight不确定性

工程研发一直是创新领域的关注焦点,其特点是投资大、收益大、不确定性高。在机械、电气、生物医药、软件等工程方面的研究与发展都被称为工程研发,要进行一段时间的大量投资,一旦成功,所带来的收益很高。工程研发主要依赖于团队的技术开发与创新,团队可以由高校或企业的大型实验室等组成。工程研发具有的高度不确定性使得决策者预先无法确定具体的投资时机,导致工程研发所带来的收益达不到预期目标,因此准确评估工程研发的投资决策是十分重要的。

传统的投资决策方法,例如净现值法,单纯依靠对未来现金流的计算,无法反映工程研发投资决策的多种不确定性,因此经常低估并错误地拒绝有价值的投资机会,而实物期权理论能够充分考虑不确定性的价值,并认为拥有在未来某时间段内进行投资或放弃投资的权利都是有价值的,从而可以作为不确定性分析与工程研发决策管理的工具。

经典的期权定价模型,例如Black-Scholes模型等,都是在风险中性条件下推导的,假设风险概率测度是唯一存在的,并采用随机性来刻画定价问题的不确定性。工程研发的投资决策在实际中非常依赖于决策者的判断,文献[1]认为,决策者在制定决策时面临着Knight不确定性,也就是不明确性(ambiguity)。在利用经典实物期权模型进行评估时,这些Knight不确定性因素无法利用随机概率理论来描述。Knight不确定性是决策者的主观因素,但是又是客观存在的,不能被忽略。文献[2]解释了决策者能够准确地加以观察、分析和预见的那部分不确定性为风险,其他称为Knight不确定性。Knight不确定性的本质不是未知而是不可知,决策者做出投资决策时的主观因素通常就可被视为不明确性。为了更加广泛地在工程研发的投资决策中应用实物期权理论,就需要考虑不同的不明确性偏好。根据Driouchi等研究可以知道实物期权所遵循的布朗运动会发生不明确性的漂移,即需要遵循Choquet-布朗运动[3]。Ghosh和Troutt发展了更复杂的多阶段复合式期权的模型,但是对于应用于实际还有很大距离[4]。Thijssen等仅定性研究了不确定性条件下的投资决策博弈[5]。Koussis等对投资中的跳跃进行估值,并发现有高频率的竞争威胁并有较低波动率的收益更大[6]。

实物期权方法在不考虑其他工程研发竞争者战略影响的情况下,解决了工程研发收益量化的问题,但是对于竞争者的存在与Knight不确定性考虑的不足,往往造成对工程研发价值和收益计算的不准确性。本文从投资工程研发的角度,在考虑竞争者所带来影响的同时,对工程研发的多种不确定进行了量化分析和评估,并根据决策者可能做出的投资决策,在不同的不明确性偏好条件下,构建了工程研发投资决策模型,从而得到更加精确的实物期权价值和量化的投资决策收益,最后经过期权博弈得到了工程研发的最优投资决策。通过传统净现值方法与不同市场价值下最优投资决策的对比,验证了模型的实用性和科学性。

1 包含Knight不确定性的工程研发基本实物期权模型

根据Margrabe的定义[7],实物期权在工程研发中的解释就是在时刻T投资I得到了市场价值V,这个投资机会可以用欧式期权来计算。Driouchi等利用微分方程推导了Knight不确定性下的欧式期权价值模型,并得到了解析解[3],以此刻画了Knight不确定性下的工程研发价值。设定V和I都遵循Choquet-布朗运动,单阶段欧式期权模型为

s=Ve-εTN1(d1(K,T))-Ie-RTN1(d2(K,T))

(1)

因为工程研发投资有阶段性的特征,每个阶段之间互相嵌套,所以可以用复合期权来进行评价。Carr等推导出了两阶段复合欧式期权模型[8-9],本文在考虑了Knight不确定性之后可得

,

(2)

2 包含Knight不确定性的工程研发投资决策收益分析

在工程研发动态竞争中,竞争者通常可分为先进行工程研发的先行者团队和后进行工程研发的跟随者团队,跟随者虽然常常在先行者后面进行工程研发投资,但是并不代表先行者无往不利,反而由于拥有更多时间收集信息,跟随者最终赢得竞争的例子并不少见。由于整个市场的大小在一定时间内是固定的,并且跟随者的进入对先行者的收益是有影响的,因而作为先行者,在进行投资决策时也要充分考虑到跟随者可能采取的决策,这就需要每个工程研发团队在制定投资决策时对所有可能的决策收益和竞争者的收益进行评估。

在工程研发投资过程中,除了Knight不确定性之外还含有技术不确定性,可用工程研发的研发成功率来描述。假定工程研发存在团队A和团队B两个竞争对手,研发成功率分别用q和p来表示。设定团队A为研发优势团队,团队B为劣势团队,因此q>p。可规定先行者在t0时刻对工程研发投资,早于跟随者团队,两个团队的启动投资I1和后期工程研发成果市场化的投资I是一样的。但是,两个团队所占市场份额不同,先行者占α,跟随者占1-α,且α>0.5。

根据欧式期权的定义,所有的决策点必须是固定的,所以团队所有的投资要在决策点t0时刻定下来。由于在t0、t1时刻都不投资,相当于放弃项目,导致实物期权价值为零,可不做研究,因此本文考虑了团队可能做出的4种投资决策:在t0时刻抢先投资成为先行者;推迟到t1时刻投资成为跟随者;与另一个团队t0时刻共同抢先投资;与另一个团队在t0时等待时机,再在t1时刻共同投资。

2.1 先行者收益

如果团队A作为先行者在t0时刻抢先投资工程研发,跟随者团队B决定等待。在这个情况下,先行者团队A占有整个市场价值V的α,期权价值为s(αV,I,T)。Pennings等对收益的计算为期权价值减去t0时刻投资[10],由此可知,进行投资I的必要条件是期权价值s(αV,I,τ)要高于I1的价值,只有这样才会产生收益。先行者是要在t0时刻进行投资I1,直到时刻T进行下一步商业化投资I,因此可以应用单阶段欧式期权模型。根据式(1),本文得到t0时刻团队A收益为

LA=qs(αV,I,T)-I1=q(αVe-εTN1(d1(K,T))-

Ie-RTN1(d2(K,T)))-I1

(3)

类似地,如果团队B为先行者投资工程研发,团队A为跟随者,本文可得团队B的收益为

LB=p(αVe-εTN1(d1(K,T))-Ie-RT·

N1(d2(K,T)))-I1

(4)

2.2 跟随者收益

GB=c(ps((1-α)V′,I′,(T+t1)),I1,t1)

(5)

本文把延迟投资行为与复合期权结合,可以得到团队B的跟随者收益为

,

(6)

(7)

同样地,本文得到了团队A的跟随者收益为

,

(8)

(9)

2.3 两个团队同时投资的收益

如果在t0时刻团队A和B决定同时投资工程研发,可以设团队A和B可以获取到相同比例的市场份额,即α=0.5。由于两个团队对工程研发投资相同,因此团队A与B各自拥有期权s(0.5V,I,T)。两个团队是要在t0时刻进行投资I1,直到时刻T进行下一步商业化投资I,因此可以应用单阶段欧式期权模型。根据式(1),在t0时刻投资工程研发时,本文得到团队A和B的收益分别为

TA=qs(0.5V,I,T)-I1=q(0.5Ve-εT·

N1(d1(K,T))-Ie-RTN1(d2(K,T)))-I1

(10)

TB=p(0.5Ve-εTN1(d1(K,T))-Ie-RT·

N1(d2(K,T)))-I1

(11)

2.4 两个团队等待时机再同时投资的收益

如果在t0时刻两个团队都决定推迟他们的工程研发投资,两个团队期权到期时间同为T+t1,并且两个团队市场占有率也相等。在时刻t1投资I1之后,团队A或B拥有的期权分别为s(0.5V′,I′,τ)。两个团队在t1时刻进行投资I1,直到时刻T+t1进行下一步商业化投资I,因此可用应用复合期权模型。根据式(2),在t0时刻,本文得到先等待时机再共同投资的团队A收益为

DA=c(qs(0.5V′,I′,(T+t1)),I1,t1)=

(12)

(13)

同理,本文得到团队B收益为

(14)

(15)

3 应用案例

在工程研发初始时刻的启动投资I1=120 000,在对下阶段投资I=400 000。参考股票期权的波动率,市场价值V和投资I的波动率可以取σV=0.7,σI=0.4,相关变化系数为0.15。根据历史收益率数据,可以估算工程研发收益率μV=0.2,μI=0.15。先行者团队市场占有率高于跟随者,即α=0.60。T表示项目的进行时间,采用T=3 a。跟随者只能拥有较短的时间来获得更多的信息披露再投资,可设t1=0.5 a。研发优势团队A的研发成功率q=0.7,研发劣势团队B的研发成功率p=0.6。

根据决策收益分析,可以得到中风险中性条件下工程研发优势团队A和劣势团队B的投资决策,如表1所示。当市场价值V增加,所有决策的收益都会增加,而最优投资决策也会随之改变。在工程研发的竞争中,团队A的最优决策还受到竞争者团队B的影响,这就需要对该条件下的两个团队的收益进行博弈分析。以V=600 000为例,经过博弈分析,可以得到团队A和B在风险中性条件下两个团队最优的投资决策为纳什均衡点DA、DB。当工程研发的市场价值较小就需要多观察其他团队的投资行为与市场动态,然后再进行自身的投资。当工程研发的市场价值增加,研发能力强的团队会首先尝试投资,研发能力弱的团队则可能会继续等待,以便找到更好的投资时机,而市场价值很大时,所有研发团队都会抢先投资来获得更大的市场占有率,从而形成共同投资工程研发。

根据传统的净现值(NPV)方法,由表2可知,同样的市场价值下,两个研发团队的决策都是放弃投资,这不符合实际的投资经验。虽然市场价值较小,但是同样有机会盈利,因此用净现值方法评估工程研发会低估投资收益,导致错误拒绝有价值的投资机会。

如果两个团队在工程研发投资时拥有相同的不明确性偏好,在V=700 000时可计算出两个团队的投资决策收益,如表3所示。在不明确性偏好系数β=0.5时,即风险中性条件下,团队A与B在工程研发投资的最优决策为LAGB。在0<β<0.5时,团队为不明确性厌恶型,其中β=0.1时两个团队的投资决策都拥有所有不明确性偏好下的最大收益,虽然团队投资保守,但是在收益很大的情况下,团队还是选择同时投资。接近风险中性时,两个团队的投资决策收益都不大,研发优势团队偏向先投资,劣势团队作为跟随者。在0.5<β<1时,团队为不明确性喜好型,投资决策收益增大,若β值较大,更加偏向于同时投资来作为最优投资决策。

当两个团队的不明确性偏好系数β不同时,工程研发投资决策博弈的结果如表4所示。当团队A的不明确性偏好系数0<βA<0.5时,如果团队B的系数为0<βB<0.5,大多数情况下研发能力弱的团队B工程研发最优决策是作为跟随者,而0.5<βB<1时的最优决策是作为先行者。当0.5<βA<1时,由于团队A研发能力强,又是不明确性喜好型团队,因此在0<βB<0.5时的团队A最优决策是作为先行者,在0.5<βB<1时,两个团队的最优决策大部分是同时投资。在竞争的环境中,不明确性厌恶型的团队虽然不喜欢Knight不确定性,但是在未来收益很大的情况下,对于竞争带来的威胁可以忽略不计,如βA=0.4、βB=0.1时的最优决策为GALB,而不明确性喜好型团队也可以在收益较小时不抢先投资,如βA=0.1、βB=0.6时的最优决策为LAGB,不明确性厌恶型团队A可以作为先行者,不明确性喜好型团队B作为跟随者进行工程研发投资。但是,大多数情况下,不明确性喜好型团队普遍倾向于抢先投资工程研发来作为最优投资决策,因此本文中的计算和分析结果与现实中的投资经验相符,并且更加具有科学和精确性。

表1 风险中性下团队A和B在本文模型下的投资收益与最优决策

表2 风险中性下团队A和B在净现值法下的投资收益与决策

表3 V=700 000时团队A和B在相同不明确性偏好下的投资收益与最优决策

表4 V=700 000时不同的不明确性偏好下团队A和B的最优投资决策

4 结 论

本文把实物期权方法中不明确性偏好的研究应用在包含多种不确定的工程研发投资环境中,并将阶段性的投资机会和竞争性行为相结合,更加准确地对工程研发价值和收益进行了评估,获得了与实际经验相符且更加精确、科学的结果,为研发团队决策者获得最佳时机的投资,以实现自身收益的最大化。本文量化了工程研发投资中的技术不确定性和Knight不确定性等因素,通过计算先行者收益、跟随者收益、抢先同时进行投资收益、等待时机再同时投资收益4种投资决策收益,根据研发优势、劣势团队的不明确性偏好,经过博弈分析得到的纳什均衡就是Knight不确定性下的最优投资决策,为工程研发团队制定投资决策提供了科学性的指导。在今后的工作中,应当更加注重与真实案例相联系,为实物期权的应用找到新的方向。

[1] 韩立岩, 泮敏. 基于奈特不确定性随机波动率期权定价 [J]. 系统工程理论与实践, 2012, 32(6): 1175-1183. HAN Liyan, PAN Min. Knight uncertainty based option pricing with stochastic volatility [J]. Systems Engineering Theory & Practice, 2012, 32(6): 1175-1183.

[2] 张慧, 陈晓兰, 聂秀山. 不确定环境下再装股票期权的稳健定价模型 [J]. 中国管理科学, 2008, 16(1): 25-31. ZHANG Hui, CHEN Xiaolan, NIE Xiushan. Robust pricing model of reload stock option under uncertainty [J]. Chinese Journal of Management Science, 2008, 16(1): 25-31.

[3] DRIOUCHI T, TRIGEORGIS L, GAO Y. Choquet-based European option pricing with stochastic (and fixed) strikes [J]. OR Spectrum, 2015, 37(3): 787-802.

[4] GHOSH S, TROUTT M D. Complex compound option models-Can practitioners truly operationalize them [J]. European Journal of Operational Research, 2012, 222(3): 542-552.

[5] THIJSSEN J J J, HUISMAN K J M, KORT P M. Symmetric equilibrium strategies in game theoretic real option models [J]. Journal of Mathematical Economics, 2012, 48(4): 219-225.

[6] KOUSSIS N, MARTZOUKOS S H, TRIGEORGIS L. Multi-stage product development with exploration, value-enhancing, preemptive and innovation options [J]. Journal of Banking & Finance, 2013, 37(1): 174-190.

[7] MARGRABE W. The value of an option to exchange one asset for another [J]. The Journal of Finance, 1978, 33(1): 177-186.

[8] CARR P. The valuation of sequential exchange opportunities [J]. The Journal of Finance, 1988, 43(5): 1235-1256.

[9] PAXSON D A. Sequential American exchange property options [J]. The Journal of Real Estate Finance and Economics, 2007, 34(1): 135-157.

[10]PENNINGS E, SERENO L. Evaluating pharmaceutical R&D under technical and economic uncertainty [J]. European Journal of Operational Research, 2011, 212(2): 374-385.

[11]ESCHENBACH T G, LEWIS N A, HARTMAN J C. Technical note: waiting cost models for real options [J]. The Engineering Economist, 2009, 54(1): 1-21.

(编辑 赵炜)

Optimal Investment Decision of Engineering R&D under Knight Uncertainty

CAO Boyang1,JIANG Minghui1,MIAO Qing2

(1. School of Economics and Management, Harbin Institute of Technology, Harbin 150006, China; 2. College of Art and Design, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China)

Aiming at the problem that in the process of engineering R&D Knight uncertainty could cause loss in investment, an engineering R&D investment decision model was proposed. This model took two competitive engineering R&D teams as the examples to quantify the Knight uncertainty, and analyze the investment decisions of the teams and their competitors. According to the real share option theory, the investment decision payoffs of the engineering R&D can be assessed. Through option game analysis, the optimal decisions are obtained under competitive conditions. The model can accurately evaluate four kinds of investment decisions; and the results show that real share option method is more improved than net present value method in the assessment of engineering R&D; there will be corresponding different optimal investment decisions under Knight uncertainty. The results also accord with the practical experience, ensuring the competitive advantage and profit maximization for engineering R&D teams.

engineering R&D; optimal investment decisions; option game; Knight uncertainty

2015-05-04。 作者简介:曹博洋(1982—),男,博士生;姜明辉(通信作者),男,教授,博士生导师。 基金项目:国家自然科学基金资助项目(70871030);秦皇岛市科学技术研究与发展计划资助项目(201402B041)。

10.7652/xjtuxb201601023

N945.25

A

0253-987X(2016)01-0151-06