三教三探 寻根究底——“百分数的意义”教学例谈

江苏南京市天正小学（琅小分校）（210000） 王 军

三教三探 寻根究底
——“百分数的意义”教学例谈

江苏南京市天正小学（琅小分校）（210000） 王 军

数学概念是小学数学课堂的重要教学内容，可是目前重定义轻理解、重形式轻本质的现象普遍存在。在“百分数意义”的概念教学的尝试中，从生活出发联系实际、从需要出发以人为本、从知识本质出发寻根究底，旨在说明小学数学概念教学要精读教材，抓住概念教学的根，让学生充分体会其价值，学会沟通联系，形成体系。

数学概念 百分数 生活 需要 本质

数学概念是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。因此，数学概念的教学是重要环节。百分数在学生生活、社会生产中有着广泛的应用，是小学数学中重要的基础知识之一。

对于“百分数的意义”这一概念具体该怎么教，仁者见仁，智者见智。百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。从这个意义讲，百分数具备“率”的意义，归类到分数集合。如何让学生深入理解百分数的意义呢？我在执教这一课时，进行了“三教三探”，感受颇深：只有精读教材，立足知识的本质，寻起源之“根”，才能真正让百分数的意义在学生心中扎根。

一教：从生活出发，联系实际

【案例描述】

师∶课前老师让每位同学到生活中找百分数，现在先小组交流，然后选代表参加信息发布会，大家一起交流。

生1∶我在网上查到“盈科护眼灯新产品比旧产品省电80%”。

生2∶我在衣服的标签上找到“一件上衣的布料，棉的含量是65%，涤纶的含量是35%”。

生3∶我在酒瓶贴的标签上找到“泸州老窖的酒精度是52%”。

生4∶我在牛奶盒上找到“100%纯牛奶”。

生5∶我在药品的说明书上找到……

师∶听到这么多，你们想到了什么？

生6∶百分数在生活中无处不在。

生7∶生活离不开百分数。

师∶有的同学是在生活中找到百分数，有的同学是对生活当中的一些现象做了一些分析，经过计算后得到了百分数。总之，说明一个问题，百分数在生活当中有着广泛的应用。

师∶老师也找了几个，（大屏幕展示）你能说说这几个百分数的意思吗？

师∶请观察并比较，每一个百分数都是几个量在进行比较？这些百分数所表达的意思有没有什么相同之处？

总结∶表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。

【反思】

密切联系学生的生活实际，通过“信息发布会”的形式让学生交流自己收集的生活中的百分数后用自己的语言描述百分数表示的意义，使学生在真实的情景中理解百分数的意义，逐步建立百分数的认知框架，同时体验百分数在日常生活中的广泛应用，这样做能充分发挥学生的主观能动性。而将数学和生活放在同一平台，能让学生体会到两者的密切联系，激发学生的学习热情，符合课程标准中“人人学游泳的数学”这一大众数学教学理念。

对于“百分数意义的认识”，如果就定位在让学生会用“表示一个数是另一个数的百分之几”描述具体百分数的意义上就行了吗？在案例中，很多学生通过模仿就能顺利说出百分数的意思。事实上，要深入理解百分数的意义，不仅要会解释生活中百分数的具体意义，更要能描述抽象百分数的意义，更重要的是理解百分数是表示两个数量相比的关系。特级教师张勇成说过：“我们教学，要教清楚知识的来龙去脉。”教学的成功之处就在于不仅要使学生“知其然”，更重要的是让学生“知其所以然”。为什么要有百分数呢？百分数有什么好处呢？百分数是怎么产生的？在第一节课结尾时学生果然提出了这样的疑问。因此，让学生经历百分数产生的过程，产生对百分数的需要，应该是这一概念教学课不可或缺的重要部分，也符合概念教学的要求，于是我进行了第二次教学。

二教：从需要出发，以人为本

【案例描述】

1.情境引入，引发探究

学校体育组组织篮球联赛（学校活动），我们班要选拔参赛选手（课件出示表1，只有“投中次数”和“姓名”两栏）。

表1

师∶老师对他们三人的投篮成绩进行了统计。你会选择谁参赛？为什么？

生1∶选择张睿，因为张睿投中的次数最多。

生2∶不告诉我们投篮总次数就不好选，万一他们三个人投的总次数不一样呢？

（课件出示表2，增加“投篮次数”一栏）

表2

师∶现在可以比较了吗？

生3∶选王欣宇，因为他只有7个没投中。

生4∶我不同意，那如果只投2个，1个没投中，难道他投篮最准吗？

生5∶我觉得可以算出投中次数占投篮次数的几分之几后再比较……

教师引导学生比较各种方法，集体讨论后确认“看谁投中的比率高，也就是求出投中次数占投篮次数的几分之几后再进行比较”这一方法是合理的。（在表2中增加“投中的比率”一栏；计算三名队员投中的比率；板书：

2.合理比较，引发需求

（1）通分成分母是100的分数。

师∶可以直接比较了吗？

生1∶可以化成小数后再比较。

生2∶可以化成分数后再比较。首先比较和化成比小和通分成分母都为100，得所以王欣宇成绩最好。

师∶能三个都通分成同分母吗？

师∶现在可以直接看出谁投中的比率更高一些吗？

（2）引发需求，形成方法。

（课件出示表3，增加老师的投篮成绩）

表3

师∶老师也经常和他们三个人切磋球技，有了老师的加入，你觉得谁更厉害一些？

生3∶老师的成绩不好通分成以100为分母的分数。

生4∶可以都通分成以200为分母的，即

师∶是呀，这样也可以比较，只是如果再出现不好找公分母的分数的时候会比较麻烦。为了便于统计和比较，通常把这些分数都用分母是100的分数来表示。

表4

【反思】“学生的学习内容应该是现实的、有趣的、富有挑战性的。”从学生的知识经验和生活经验出发，利用学生熟悉的篮球联赛，创造性地使用教材，创设“选拔谁做投篮选手”的问题情境，设置引发学生认知冲突的一个个问题，特别是增设老师也参加投篮的情况，让学生体会到通分的局限性，进而引发学生认知的冲突，从而引出本节课的主要教学内容。这样的引入，从百分数产生的需要出发，从现实情境需要出发，便于比较，真正做到以人为本，使学生知其然也知其所以然，从而充分体验百分数产生的必要与作用，感受百分数的价值。

通过不同标准量的几个部分的比较，引导学生将不同标准量转化成100，从而引出“百分数”，不仅让学生知道百分数的意义，更让学生知道产生百分数的必要性。但我们不仅要问：“只要比较出来就行了，为什么非要分母是100呢？而且有的数通分不出分母是100时又该怎么办？”案例中就有学生利用小数或者其他方法进行比较，还有的学生把分数通分成分母是200的，这样就规定通分成100太牵强了，另外投篮总数分别为“25、20、5”，这为学生想到“公分母100”铺好了台阶，人为痕迹过于明显。

百分数到底是怎么产生的呢？我仔细翻阅教材，查阅了很多资料，只查阅到这样一段话“200多年前，瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它。如果把它分成三等份，每份是米，像就是一种新的数，我们把它叫做分数。而后，人们在分数的基础上又以100作为基数，发明了百分数。”显然，这种关于百分数的由来太过笼统。

仔细翻阅教材，苏教版教材98页有这样一句话“为了便于统计和比较，通常把这些分数用分母是100的分数来表示”。由此不禁想到，百分数虽然属于分数范畴，但是不是也和统计有关，属于统计领域呢？如果和统计无关，为什么不直接说为了便于比较呢？

无独有偶，在《小学数学教师》杂志中看到一段话：“在工农业生产和科学研究中，人们经常要收集有关数据，以便进行必要的数量统计、数量比较、质量分析和效果检查等各项工作，有时用一般的分数形式来表示很不方便，于是人们就选择了分数中的一部分——分母为100的分数，并书写成A%的形式，冠以它特定的含义，简称‘百分数’。”这段文字给了我这样的启示：百分数是在“工农业生产和科学研究”中产生的，和统计有一定的联系。这应该是“百分数的意义”这一课真正的知识本源，基于这个因素，我进行了第三次教学。

三教：从本源出发，寻根究底

【案例描述】

1.第一次“质量万里行活动”——认识“统一标准”的必要。

师∶临近岁末，为了保护消费者权益，省质检部门举行“质量万里行活动”，对甲、乙、丙3家鞋业公司的某个产品进行质量检测，派出3位质检员分别到3家公司，10天后检测结果如下。请问∶哪家鞋业公司的产品质量最好？

抽检数量（双）95 178 123公司名称甲乙丙合格数量（双）90 167 115

生1∶丙最高，因为它合格的数量最多。

生2∶我觉得应该是甲，因为它只有5双不合格。

生3∶我不同意，照你这样说，如果生产的总量很少，不合格的当然也就越少了。

生4∶我觉得应该算出合格数量占抽检数量的几分之几，即

师∶现在好比了吗？该怎么办？

生5∶通分。

（学生面露难色，感觉很麻烦）

师∶遇到什么问题了？

2.检测工作交流反思会——确定一个合适的标准量。

师∶如果你是质检部门的负责人，看到这个表格，你有什么想法？

生6∶一眼看不出来谁的质量好。

生7∶要是一目了然就好了。

师∶第一次“质量万里行活动”结束后，你觉得他们会交流什么？

生8∶这些数据太复杂了，只要统一抽检的数量就很好比较了。

师∶大家同意吗？

师∶抽测数量统一为多少合适？请小组讨论后交流。

生（汇报）∶统一成100，因为100比较好算。

生9∶我们也认为是100。

生10∶我们商量的结果是100。因为100既不是太多，也不是太少，正好。

师∶王老师在《社会调查中样本容量的确定》这本中读到这样一段话，希望能给大家一些启发∶抽检数量过大，会增加调查的工作量，造成人力、物力、财力、时间的浪费；抽检数量过小，则样本对总体缺乏足够的代表性，从而难以保证推算结果的精确度和可靠性。

师∶为了便于统计和计算，一般我们选择100这个数值，更有利于比较。

3.第二次质量万里行活动——介绍“百分数的意义”。

师∶下个月将派出3位质检员分别到3家牛奶公司，对各家公司的纯牛奶产品进行质量检测。（出示抽检数量统一为100之后的检测结果）

师∶怎样表示每种牛奶的合格情况？请求出合格数量占检测总数量的几分之几。这样的表示你有什么感受？

生10∶这样很清楚，很好比较。

师∶有时为了节约时间或者成本，并不一定把样本容量定为100。（出示教材例题）谁投中的比率高一些？为了便于比较，你想给王老师提出什么修改建议？

4.教学百分数的读法和写法。

5.小组交流课前搜集的百分数，进一步学习百分数的意义。

【反思】

对于百分数的意义的教学，创设的情境既要能反映百分数的意义，又能体现应用百分数的必要性，也就是“百分数是怎么产生”的。对于第三次教学设计的情景，主要有两方面的考虑：一是情景要使人产生“统一标准量”的必要，但不能人为的痕迹过重；二是为什么“标准量”统一为100。这是最难的地方，从我的理解来看，这个100除了计算简单外，应该和统计学中的“样本容量”有一定的关系。我想这也是教材定义百分数产生时所描述的，可是教材并没有提及便于统计的情境和内容。

从《社会调查中样本容量的确定》一书中合理确定样本容量的意义是这样说的：样本容量过大，会增加调查工作量，造成人力、物力、财力、时间的浪费；样本容量过小，则样本缺乏足够的代表性，从而难以保证推算结果的精确度和可靠性；样本容量确定的科学合理，可以在既定的调查费用下，使抽样误差尽可能小，以保证推算的精确度和可靠性，在既定的精确度和可靠性下，使调查费用尽可能少，保证抽样推断的最大效果。

从教学现状看，六年级的学生对不同标准的比较已经具有了一定的经验，所以我引进了样本容量这个概念，不过六年级学生是否需要这么做是值得商榷的。这三种教学方式本身并没有好坏、优劣之分，只是对于概念的教学，教师应该更多地从知识本源出发，抓住“百分数意义”这一概念的根。

在当前的小学课堂教学中，重定义轻理解、重形式轻本质的现象仍然普遍存在。在“百分数的意义”的课后访谈中，我曾经问学生：“什么是百分数？”学生基本能对答如流：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。可是过几天再问，学生回答起来就有些茫然，甚至有学生说有百分号这样的数。究其原因，学生只记住了形，没有从本质上理解概念。那么数学概念本身有哪些特点？学生对数学概念有着怎样的学习与认识过程？我们该如何进行概念教学呢？这有待我们进一步的研究。

（责编 金 铃）

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