特定抽样下有效样本量的性质研究

艾小青

（北京工业大学a.经管学院；b.首都社会建设与社会管理协同创新中心，北京 100124）

特定抽样下有效样本量的性质研究

艾小青a,b

（北京工业大学a.经管学院；b.首都社会建设与社会管理协同创新中心，北京 100124）

常见的放回抽样等方法操作比较简单，但缺点是有效样本量是不确定的，而是取决于抽样的随机结果。文章对PPS抽样和泊松抽样下有效样本量的性质进行了研究，通过数理推导和统计模拟揭示了有效样本量的分布特征，给出了特定条件有效样本量的置信区间。

有效样本量；PPS抽样；泊松抽样

0 引言

很多抽样方法都存在有效样本量不能事先确定的问题，最终的有效样本量往往取决于抽样的结果，所以是随机的[1]。比如群规模不相等时的整群抽样，当抽出群的规模较大时，最终样本单元就多，反之就少；比如各种放回抽样，在依次抽取时都将已抽出的样本单元放回抽样总体再重新抽取，导致有些单元可能会重复抽到，抽出的有效样本量小于等于抽取的次数。

PPS抽样和泊松抽样是现实中两种应用较多的抽样方法，它们都存在有效样本量非确定性的问题[2]，但少有文献深入研究其有效样本量的具体性质到底是怎样的[3]，本文将对此问题进行深入探讨，通过数理推导和统计模拟揭示有效样本量的分布特征。对有效样本量性质的准确把握，能够更好地指导实际的抽样设计。

1 理论基础

有限总体包含N个单元，单元变量取值分别为Y1，Y2，…，YN，总体总量为

任何概率抽样的关键是了解总体单元的入样概率。一阶入样概率πi表示单元i被抽出的概率；二阶入样概率πij表示不同两个单元i和 j都被抽出的概率。

定义一阶示性函数：

二阶示性函数：

单元i在最终的样本中则一阶示性函数取值为1，否则为0。因为总体单元中抽出了n个有效样本单元，意味着必有n个单元的一阶示性函数值为1，所以，有效样本量与一阶示性函数值的关系是：

示性函数具有如下性质：

有效样本量n的期望即总体所有单元的入样概率之和：

有效样本量n的方差为：

2 PPS抽样下有效样本量的性质

设存在一个规模辅助变量，总体N个单元的规模分别为X1，X2，…，XN，总体规模总量为单元i的规模比重为Pi=Xi/X。

以规模变量作为辅助信息，进行PPS抽样：设样本量为T，即独立重复进行T次放回抽取，每次抽取时单元i被抽到的概率都为Pi。单元i的一阶入样概率为：

单元i，j(i≠j)的二阶入样概率：

特别注意的是，这里的样本量T，实质是抽取的次数，而实际抽出的有效样本量n必然小于等于T，因为在放回抽取下有些单元会重复抽到。

根据式（9）和式（10），有效样本量n的期望和方差为：

当总体单元数N较大且各单元的规模比重都接近为0时，单元被重复抽到的概率很小，有效样本量n的期望值接近T。

n的理论取值范围为1到T之间，P(n)，n≤T表示T次抽取后，有效样本量为n的概率，其概率分布比较复杂，根据全概率公式，其理论表达式为：

当N较大于T且总体单元没有规模比重极大的个体时，单元被重复抽到的概率很低，有效样本量n一般接近T。当抽取次数T较大或者总体单元中存在规模比重极大的个体时，单元被重复抽到的概率较大，有效样本量n将小于T。

使用R软件进行了PPS抽样的统计模拟，其中规模比重辅助变量根据均匀分布生成，总体单元数N确定为1000。模拟次数为10万次，考察了不同抽取次数T下，不确定性有效样本量的分布（直方图）以及特征值（期望和标准差等）。

（1）由表1可以看出，抽取次数T较小时，有效样本量n分布比较集中，基本上等于或稍小于抽取次数T，差值一般不超过2。T越小，n=T的概率值就越大，有效样本量n的期望值与抽取次数T也越接近，抽取次数小于40时，两者的绝对差值不超过1，相对差值不超过0.03。

表1 不同抽取次数下有效样本量的概率值和特征值

（2）由图1可以看出，随着抽取次数T的增加，有效样本量n分布将更为分散，并且趋于正态化。当抽取次数等于100时，有效样本量近似为正态分布。这样就能给出当抽取次数T较大时，有效样本量的95%的置信区间为：

图1 不同抽取次数下有效样本量的分布特征

3 泊松抽样下有效样本量的性质

泊松抽样是严格的不放回不等概率抽样，总体单元i的入样概率πi事先确定。针对总体的各个单元分别独立抽取，每个单元可能抽出也可能没抽出，这是它最特别的性质。

每个单元是否抽出是随机的，服从0,1结果的二项分布，单元i抽出的概率即为事先确定的πi，而最终抽出的单元数量（有效样本量）必然也是随机的。

单元之间的抽取都是相互独立的，所以二阶入样概率为：

根据式（9）和式（10），有效样本量n的期望和方差为：

n的概率分布相对比较简单，总体的N个单元有n个单元抽出来了，相应单元被抽出的概率为πi，有N-n个单元没被抽出来，相应单元没被抽出的概率为( ) 1-πj，不同单元的抽取是相互独立的，所以根据全概率公式，有效样本量n概率分布的理论表达式为：

根据中心极限定理可知，当总体单元数N较大时（N＞30），在这现实中一般都是满足的，有效样本量n近似服从正态分布[4]。

入样概率确定后，有效样本量n的期望和方差根据式（18）和式（19）可以直接计算出来。再通过R软件统计模拟（模拟次数为10万次），其中各单元的入样概率根据均匀分布随机赋值，展示在不同总体单元数N下有效样本量n的分布特征。

由图2可以看出，有效样本量的分布基本都是对称的，尤其是当总体单元数N越大时，越近似于正态分布。这样就能给出总体单元数N较大时，有效样本量的95%的置信区间为：

4 结论

图2 不同总体单元数下有效样本量的分布特征

PPS抽样和泊松抽样在实际抽样调查中有着广泛的应用，但它们的有效样本量实质上无法事前确定，而是取决于抽取结果的随机变量。本文对两种抽样下有效样本量的性质进行了深入研究，通过数理推导给出了有效样本量的概率分布，以及相应的特征值（期望和方差），通过统计模拟给出了有效样本量的分布特征，特别是给出了一定条件下有效样本量的置信区间，这样虽然无法事前确定有效样本量的最终结果，但可以有概率层面的推断和了解。

本文研究结果有着一定的理论和现实意义，一方面有助于我们更加深入理解抽样设计的原理和抽样结果的特征，另一方面对有效样本量有了更准确的事前预判，能够更好地指导抽样的方法设计以及调查的组织开展。

[1]Antal E,Tille Y.A Direct Bootstrap Method for Complex Sampling De⁃signs From a Finite Population[J].Journal of the American Statistical Association,2011,16(494).

[2]Rao C R,Rubin H.On a Characterization of the Poisson Distribution[J]. Sankhyā the Indian Journal of Statistics,1964,(32).

[3]Antal E,Tillé Y.Simple Random Sampling With Over-replacement[J]. Journal of Statistical Planning and Inference，141.

[4]金勇进，杜子芳，蒋妍.抽样技术（第二版）[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

（责任编辑/易永生）

C811

A

1002-6487（2016）23-0012-03

北京市社会科学基金基地项目（14JDJGC040）；北京工业大学日新人才项目；北京工业大学首都社会建设与社会管理协同创新中心项目

艾小青（1982—），男，湖南邵阳人，博士，副教授，研究方向：抽样调查、经济统计。