以解决问题为导向的采样定理教学设计

贾永兴+朱莹+王渊+荣传振

摘要：本文从信号与系统课程中采样定理知识点着手，以教学目标为指引，从教学内容设计和课堂教学实施等方面详细阐述了如何以解决问题为导向开展课堂教学的过程，并就该知识点需要强调的一些基本思想方法进行了探讨，以突出现代高等教育的理念。

关键词：信号与系统；采样定理；问题牵引

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）46-0171-03

信号与系统是面向电子信息学科的专业基础课，通过课程的学习，使学生掌握信号与系统分析的基本概念、基本理论和基本分析方法，其概念和分析方法已经渗透到了多个学科领域。采样定理是在学习了信号频谱的概念之后，应用频域分析方法解决工程中模拟信号数字化时的采样速率选择问题，其分析过程对理解频域分析方法有着重要的意义，因此教学内容的优化设计和采取合适的教学方法对提高教学效果至关重要。

一、教学内容设计

（一）明确教学目标

教学内容的设计首先确定教学目标。本节内容教学目标可包括知识目标、能力目标和素质目标三个方面。在知识目标方面，主要通过学习，使学生理解采样的基本概念，掌握采样信号的频谱特点，掌握采样定理的内容，理解采样定理在工程中的应用。在能力目标方面，主要培养学生对实际问题的建模能力、分析推理和运算能力，以及初步的工程应用能力。在素质目标方面，主要培养学生科学的思维品质（包括变换法、形象思维与理性思维），以及必要的工程意识（包括理想条件与实际条件的区别与处理、物理器件约束等）。

（二）教学内容设计

围绕上述教学目标，教学基本内容包括五个方面：（1）时域采样的基本概念、采样信号与原信号的关系；（2）采样过程的数学描述；（3）理想采样的概念、理想采样信号频谱与原信号频谱之间的关系；（4）采样定理的内容；（5）工程应用中需要注意的问题。

二、教学模式设计

采样定理与工程应用有着紧密联系。学生在学习理论的过程中，对“问题是怎样从实践中来，又如何应用到实践中去”怀有浓厚的兴趣，因此，在课堂教学中需要采取必要的措施以符合学生的学习需求，从而充分调动学生的积极性和主动性，提高教学效果。

问题牵引式教学方法是一种建立在建构主义教学理论基础上，以具体问题作为教学的出发点，通过引入问题、分析问题、解决问题和巩固知识四个环节，以学生主动学习和教员充分引导相结合为主要特征的教学方法。这种教学方法通过巧妙提出问题，引起学生兴趣，利用问题形成的认知冲突，激发学生理解知识、掌握知识、运用知识解决实际问题的主动性，通过问题的展开、分析、补充、解决、深化、引申，帮助学生逐步理清思路、方法和知识脉络，引导学生通过解决问题的过程来加深其对知识的构建、理解和实践经验的积累，培养学生归纳、抽象和创新的思维能力。

本次课采用问题牵引式教学模式，将授课内容分为问题、模型、方法、原理和应用五个阶段。具体设计思路如下：（1）提出问题：从学生身边的现象或事实出发，引出需要解决的问题；（2）建立模型：从采样的物理过程抽象出数学模型；（3）应用方法：利用频域方法分析数学模型；（4）导出原理：归纳、总结、升华到一般原理；（5）指导应用：应用一般原理来解决工程问题。

采用这种设计思路，可帮助学生完成从感性认识到理性思维，再结合工程实际上升到理性实践的认识过程，体现学为主体、教为主导，需求牵引、重在能力、增强素质的教学思想。

三、教学组织实施

（一）问题的提出

问题牵引式教学方法前提在于问题的提出（发现）。如何基于学生的认知基础，设计出与教学内容相贴切的问题，以激发学生的兴趣，往往是课堂教学顺利进行的关键，同时也是对教师能力的考验。仅仅熟悉教材内容，已远远不能满足教学要求，作为教师必须有着较为渊博的知识，才能从身边的现象或事物中提炼出与课程相关的问题。

采样概念的引入可从模拟信号的数字化着手。如图1所示。从时域波形上可以直观看出采样之后的信号是原信号中一些离散的样值点。比较原始时域波形和采样信号波形，引导学生思考，提出第一个问题：能否从采样信号中恢复原信号？从时域波形的角度直观理解，采样信号只保留了原信号的部分内容，由于信息的损失是难以恢复原信号。但是可以引导学生，在实际应用中，例如QQ语音聊天中，是可以听到对方的声音的，这也就是意味着实际上是可以恢复原信号的。这与学生的感性认识产生了冲突，激发了学生的求知欲。

引导学生思考第二个问题：如果能恢复原信号，那么需要什么条件？学生们会从直观上得出采样点要足够多的结论。哪些到底多到什么程度？难以直接得到准确的结论。

这两个问题从时域上不便分析和解释，可引导学生转换思路，采用变换的思想，从频域分析的角度思考问题，分析采样信号的频谱有什么特点。

（二）问题的分析

分析和解决问题是课堂教学内容实施的主体。在这个过程中，需要关注两个方面。一是如何紧紧围绕提出的问题，通过层层递进的逻辑关系，使得教学内容得以展开和贯彻，在这个过程中还可能会产生新的问题，通过问题的分析、深化和解决，使学生深入理解概念、掌握知识。二是在教学过程中体现现代高等教育理念，不仅教知识，更重要的是教方法、教思想，培养能力和素质，充分体现大学课堂的特质，为培养学生终身学习能力打下良好的基础。

1.启发思维，从物理过程建立数学模型。为了深入分析采样信号的特点，就要从采样的物理过程建立其数学模型。采样的物理过程如图2（a）所示，可以看作周期控制开关的通断，所以其数学模型可以抽象为一个乘法运算，如图2（b）所示，即采样信号fs（t）是连续时间信号f（t）与周期采样脉冲p（t）的乘积。

2.应用频域分析方法。为了便于讨论，可从理想采样着手，这也是科学研究的常用方法，即从特殊到一般。理想采样在时域上是原信号与周期冲激序列的乘积，频域上就是原信号的频谱与周期采样脉冲的卷积。对于采样信号的频谱可以从两个方面分析。

（四）指导工程应用

采样定理是在理想条件下得出的结论，在实际应用中还存在很多问题。课堂中重点引导学生针对两个工程实现问题进行讨论：（1）许多实际信号频谱不满足带限条件；（2）理想低通滤波器物理不可实现的。针对第一个问题，引导学生联系课程前面所讲述过信号有效带宽的概念，采用抗混迭滤波器限制输入信号的频带范围，再进行采样。在允许一定失真的情况下，可近似恢复原始信号。针对第二个问题，在实际工程应用中通常采用采样频率大于信号最高频率的两倍来解决。

（五）内容总结和提升

课堂的总结是教学内容的一个重要环节，是学生学完本次课后，对总体内容的一个归纳。本次课的课堂总结中包括四个部分：（1）内容要点回顾。引导学生回顾本次课的整个流程，针对什么问题，建立什么模型，采用什么方法，得到了什么原理结论，如何应用等，即回顾“问题—模型—方法—原理—应用”的教学内容思路。（2）突出解决问题的思想。本次课采用了变换分析域的思想，利用频域分析方法解决了时域不便分析的问题。（3）强调理论分析与工程实现的关系。对于理想情况下的理论分析，可以用抗混叠滤波器限制信号频带，可以用自然采样代替理想采样，可以用实际低通代替理想低通，从而使得采样从理论走向工程，体现了理论对实践的指导意义。（4）知识拓展。提示本次课讨论的低通采样定理，它是无损采样的充分条件，但不是必要条件，后续专业课会学到对于带通信号，还存在带通采样定理，包括最新的压缩感知技术，采样频率都可以低于信号最高频率的两倍。

四、结束语

大学教育不仅是教知识，更需要教方法、教思想，为学生终身学习打下良好的基础。信号与系统课程作为一门专业基础课程，需要培养学生必要的工程意识、应用数理基础解决工程问题的能力，其蕴含的思想和方法为后续课程的学习非常重要。在日常教学中，如何设计、组织和实施好教学内容，以达到预设的教学目标，是教师在授课过程中必须十分关注的问题。教师要充分发挥“导”的作用，真正为人才培养质量的提高服务。

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