Riemann面上带cusp奇点的共形度量*

国金宇， 吴英毅， 魏志强

(中国科学院大学数学科学学院, 北京 100049)(2016年1月29日收稿； 2016年3月14日收修改稿)

本文主要对Riemann面上带cusp奇点的共形度量进行研究.

1 背景和主要定理

1.1 背景

Calabi在1982年引入extremal Kähler度量[1]，目的是在一个紧Kähler流形的固定Kähler类中找到“最佳”的度量.具体地，设M为一个紧Kähler流形，在一个固定的Kähler 类中，extremal Kähler度量是下述Calabi能量的临界点

这里K是Kähler类中度量g的数量曲率.C(g)的Euler-Lagrange方程是

K,αβ=0,1≤α,β≤dimCM,

(1)

这里K,αβ是K的2阶(0,2)型协变导数.因此我们称在一个紧Kähler流形M上满足(1) 的度量为extremal Kähler度量.

Extremal Kähler度量具有较好的性质，比如紧extremal Kähler 流形比一般的Kähler流形具有更好的对称性，而且在光滑的紧Riemann面上，extremal Kähler 度量就是常曲率度量[1].

经典的单值化定理认为，在紧致无边的Riemann面上，对任意的Riemann度量，都会有常曲率度量与之共形等价.单值化定理无疑是经典复分析中非常漂亮和重要的定理.

过去很多人尝试将经典的单值化定理推广到一般的帯边曲面.而过去主要集中在带有奇点的曲面上常曲率度量的存在性问题.

为了推广经典的单值化定理，Chen等[2-3]继承Calabi的思想，研究Calabi能量泛函的变分问题.在这个问题框架内，他们主要研究以下2个方面的问题：

1)任意由有限面积和有限Calabi能量所组成的度量子集的弱紧性问题，引进了cusp奇点，得到有趣的“bubbles on bubbles”现象，并且得到这类度量序列的弱极限如果不为零，则该度量一定有cusp奇点.进而给出cusp奇点的基本性质[2-3].

2)Calabi能量泛函的变分问题.令M为紧Riemann面，g0为M{p1,p2…,pn} 上的Hermitian度量，其中p1,p2…,pn为g0的奇点.如果存在一个光滑函数e2φ，使得在M{p1,p2…,pn}上满足g=e2φg0，此时称g与g0共形等价.记P:={p1,p2…,pn}，定义Calabi能量泛函E(g)与面积泛函A(g)分别为：

(2)

其中K为g的Gauss曲率. 定义变分空间G(g0)为

G(g0)={g|g=e2φg0,φ∈H2,2(M),

Calabi能量泛函的变分问题就是要研究在面积泛函固定的情况下，Calabi能量泛函最小，即对于任意g∈G(g0)，使得Calabi能量泛函E(g)最小.

我们称Calabi 能量泛函的临界点为extremal Hermitian 度量，它的Euler-Lagrange方程为

ΔgK+K2=C，

(3)

其中K为g的Gauss曲率，C为实常数.式(3)在局部复坐标系(U,z)下等价于

(4)

见文献[4].由(4)可知extremal Hermitian度量有2种特殊情况：

1)K=const，即度量g为常Gauss曲率度量.

2)如果g在局部复坐标系(U,z)下满足

K,zz=0，

(5)

则称g为HCMU(the Hessian of the curvature of the metric is umbilical)度量. 在下文中，假设共形度量g有有限的面积和有限的Calabi能量，即

(6)

Chen[4]进一步研究带有cusp奇点的extremal Hermitian度量的相关性质，并给出Gauss曲率K在cusp奇点附近的相关估计.进而给出带有cusp奇点的extremal Hermitian度量的分类定理.

接着Wang和Zhu[5]将Chen的关于cusp奇点的情况推广到锥奇点情况，他们证明了如果g=e2φ(z)|dz|2为D{0}上面积和Calabi能量都有限的extremal Hermitian度量，则z=0不是cusp奇点就是锥奇点. 进而得到关于锥奇点的分类定理.

本文将就他所提出的问题进行研究，进一步给出当g为HCMU度量时，共形参数在cusp奇点的局部表示.

1.2 本文主要定理

定理1.1 如果g=e2φ(z)|dz|2为D{0}上的共形度量，z=0为g的cusp奇点，如果共形参数φ(z)在cusp点附近有形式：φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+o(ln(-ln|z|))，且余项o(ln(-ln|z|))在z=0附近(包括0点)光滑.

(b) 若g为extremal Hermitian度量，则g在D{0}上面积和Calabi能量有限的充要条件为β=1.

其中，α,β满足下列关系式：

定理1.3 如果g=e2φ(z)|dz|2为D{0}上的共形度量，z=0为g的cusp 奇点，并且在D{0} 上面积和Calabi能量都有限，若g为 HCMU度量，则在z=0 附近共形参数一定可以表示成

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

其中，h(z)为在z=0点连续，在0点以外光滑的正函数.

2 预备知识

2.1 弱cusp奇点、cusp奇点、锥奇点

定义2.3 设M是Riemann面，p∈M.(U,z)为p附近的复坐标系且z(p)=0，g为U{p}上的光滑度量.如果g=e2φ|dz|2，并且φ-(α-1)ln|z|(α>0)在p处连续，则称p为g的锥奇点并且g在p处有锥角度2πα.

注记：如果在弱cusp奇点附近满足面积和Calabi能量有限，那么弱cusp奇点就是cusp奇点，见文献[5].

2.2 cusp奇点，extremal Hermitian 度量及HCMU度量的基本性质

设M是一个紧Riemann面，p1,…,pn是M上的n个点，记P:={p1,…,pn}. 设g是MP上的光滑保角度量.设(U,z)为MP上的局部复坐标系，则g在U上可以写成

g=e2φ|dz|2.

在文献[4]中，Chen研究了面积和Calabi能量都有限且只带有cusp奇点的extremal Hermitian度量.一方面，他证明如果该Riemann面为紧致无边的，则extremal Hermitian 度量就是HCMU 度量.另一方面，给出Gauss曲率K在cusp奇点的精确估计，证明了Gauss曲率K在cusp奇点的极限为负常数.

Chen等[7]将文献[6]中的结果推广到既有cusp奇点又有锥奇点的非常曲率HCMU度量上.

3 主要定理与证明

现在返回到我们要研究的问题，在只带有cusp奇点的Riemann面上，共形度量g=e2φ|dz|2满足面积和Calabi能量都有限，则共形参数φ在cusp 点附近有什么样的性质？进一步要问如果度量g为HCMU 度量，那么共形参数在cusp奇点附近又该如何表示？共形参数的余项是否一定光滑？

定理1.1的证明

于是φ(z)变为

φ(z)=-lnr-βln(-lnr)+lnh(z).

(7)

因此g=e2φ|dz|2在DR(0){0}上保持面积和Calabi能量有限等价于

(8)

(9)

其中,K=-e-2φ·Δφ为g的Gauss曲率.

所以由(7)式和(8)式得

由于h(z)在z=0附近有正的上下界，所以

A(g)|DR(0){0}<+∞

等价于

(10)

另一方面由(7)式得

Δφ=-βΔln(-lnr)+Δlnh(z)

(11)

所以由(9)式和(11)式得

2βr(-lnr)2β-2h-2Δlnh+

(Δlnh)2r3(-lnr)2βh-2]drdθ

由于h(z)在z=0附近光滑，Δlnh(z)在z=0附近有界，因此后两项绝对可积.于是

E(g)|DR(0){0}<+∞

等价于

(12)

证明(b) 由(7)式和(11)式可知共形度量g的Gauss曲率K为

Δlnh·h-2r2(-lnr)2β，

(13)

接下来我们将在局部上构造仅带一个cusp奇点的度量，再利用单位分解在S2上构造一个带cusp奇点的度量.

φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

αln(ln(-ln|z|)).

(14)

我们将证明：g在D{0}上满足面积和Calabi能量有限的充要条件是α和β满足下面条件：

下面给出具体的构造方法.

定理1.2的证明

证明令

即φ(z)=-lnr-βln(-lnr)-αln(ln(-lnr))，容易验证对于任意的α，β,φ(z)恒满足cusp奇点条件. 再令

ψ(u,θ) =φ(e-ucosθ,e-usinθ)-u

(15)

则面积变为

Calabi能量变为

2β(lnu)-4α]2u2β-4(lnu)10αdudθ,

由积分的收敛性可知，

E(g)|D2R(0){0}<+∞

等价于

(16)

综上若φ有下面形式

φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

αln(ln(-ln|z|))，

(17)

则g在D2R(0)上满足面积和Calabi能量都有限当且仅当α,β满足下列关系式：

(18)

令p为单位球面S2上的一点，取p点附近的复坐标图(U1,z)，使得z(p)=0，z(U1)=D2R(0)，其中R为上文提到的.又设

g1=e2φ|dz|2=

(19)

(20)

(21)

由定理1.2的证明并参照定义2.2，可以提出新的cusp奇点的定义，即

定义3.1设M为Riemann面，p∈M，(U,z)为p附近的复坐标图，g=e2φ|dz|2为U{p}上的共形度量， 如果φ在z=0附近有下面形式

φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+lnh(z)，

(22)

因此，从定理1.2的证明中可得：即使在面积和Calabi能量都有限的条件下也不能得出cusp奇点与强cusp奇点等价.

下面的定理1.3将要证明：如果度量为HCMU度量并且满足面积和Calabi能量有限，则cusp奇点一定是强cusp奇点,并且此时定义3.1中β=1.

定理1.3的证明

1)存在C′∈，使得在D{0}上有

,

(23)

这里C为(3)式中的常数.由此可得

(24)

2)存在μ<0使得

(25)

并且

(26)

于是可设

(27)

其中λ-1为ω在z=0处的留数，f1为在z=0附近的全纯函数，Φ为z=0附近的全纯函数且Φ(0)=λ-1≠0. 所以由上面的1)、2)、3)并结合文献[7](定理1.1)得到

λ-1dln|z|2+2dRe(f1)，

(28)

(29)

由于(28)式左端可分解为

(30)

所以(28)式等价于

d(λ-1ln|z|2+2Re(f1)).

(31)

对(31)式两边同时积分得

=λ-1ln|z|2+2Re(f1)+C，

(32)

其中，C为常数.

由(29)式得

[(K-μ)2(-2μ-K)·

(33)

即

φ(z)=-ln|z|+ln|μ-K|+

(34)

再将(34)式代入cusp奇点条件得

(35)

再对(32)式两边同除ln|z|，利用(35)式得到

(36)

其中，λ-1为ω在z=0(即cusp奇点)处的留数.

由于特征1-形式ω在cusp奇点处留数可正可负，所以Gauss曲率K有2种情况.但无论哪种情况都有下面的式子成立：

我们证明第1种情况，第2种情况类似.

当K<μ时,由(36)式得

(37)

(38)

由ln的单调性，对(38)式两边同取ln有

(39)

对(39)式两边同除-ln(-ln|z|)有

(40)

由(40)式得到

(41)

所以由(34)式、(41)式共形参数φ(z)在cusp奇点附近一定可以写成

(42)

再由(37)式知道(42)式的余项o(ln(-ln|z|))，在z=0处连续0以外光滑.

所以(42)式经整理得到

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh1(z)，

(43)

其中，h1(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

同理可以求出当μ

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh2(z)，

(44)

其中，h2(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

所以综上得到如果g为HCMU度量，共形参数在cusp奇点附近一定可以写成

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

(45)

其中，h(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

推论3.1令M为紧致无边的Riemann面，记P:={p1,p2,…,pn}，g=e2φ|dz|2为MP上的extremal Hermitian度量，其中P为M的cusp奇点,且g在MP上保持面积和Calabi能量都有限，则共形参数在cusp 奇点附近一定可以写成

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

(46)

其中，h(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

证明由文献[4](定理A)我们知道：如果M为紧致无边，g是M{p1,p2,…,pn}上的extremal Hermitian度量，其中p1,p2,…,pn为g的cusp奇点，并且满足面积和Calabi能量都有限，则共形度量g一定为HCMU 度量，进而由上面的定理1.3得到结果.

4 后续的讨论

对于一般Riemann面上的extremal Hermitian度量，其在cusp奇点附近面积和Calabi能量都有限，我们推测共形参数φ在cusp奇点附近也可以表示为

φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)，

其中，h(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

因为无论从定理1.3还是最后的推论3.1，都有迹象表明应该会有这样的形式，因此我们会在后续研究中予以讨论.