从一道高考题谈椭圆中点弦问题的处理策略

罗文军●

甘肃省秦安县第二中学(741600)



从一道高考题谈椭圆中点弦问题的处理策略

罗文军●

甘肃省秦安县第二中学(741600)

2015全国数学高考新课标Ⅱ卷理科第20题是一道椭圆的中点弦问题，该题考查了椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，也较全面地考查了学生掌握基础知识与基本方法的程度，入手容易，但是要想完整解法，需要考生具备扎实的基础知识和较强的分析解决问题的能力，梯度性较强.笔者对该题进行了探究和推广，现介绍如下，以飨读者.

一、真题再现

2015年全国高考新课标Ⅱ卷理科第20题：已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

二、解法探究

该试题第(1)问是椭圆中点弦的定值问题，笔者对第(1)问的解法进行了探究，给出了四种解法，并且从相应解法出发，总结出了处理椭圆中点弦问题的四种策略.

解法1 设直线l：y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2，故

即kOM·k=-9，

所以OM直线的斜率与l的斜率的乘积为定值.

点评1 将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解.

点评2 点差法，若直线l与椭圆C有两个交点A、B,设出A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程，通过作差，构造出x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2，从而建立中点坐标和斜率的关系.点差法是解决椭圆的中点弦问题的一种常用方法，本解法达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.

解法3 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0),

由题设可知x1≠x2且y1≠y2且x0≠0且y0≠0.

点评3 参数方程法，若直线l与椭圆C有两个交点A、B，设出直线l的参数方程，将参数方程代入椭圆C方程得到一个关于t的一元二次方程，再根据参数的几何意义t1+t2=0化简.

笔者通过对该题进行探究，得出了两个结论，并利用两个结论，简解两道历年高考真题.

三、拓展推广与应用

同理可证以下结论2

G632

B

1008-0333(2016)28-0029-02