由一道高考题谈数形结合

张永亮●

陕西省安康学院数学与统计学院(725000)



由一道高考题谈数形结合

张永亮●

陕西省安康学院数学与统计学院(725000)

对参数范围的考查，是高中数学的难点，也是高考的热点.本文就浙江省2015年高考数学卷理科21题讨论参数范围的代数方法和数形结合思想.

不等式;参数；数形结合

数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

分析 本题主要考查函数的单调性和最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力.

例2 若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围.

分析 将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图象进行解决，也可以直接用m表示出一元二次方程的根，再讨论根的范围.

设曲线y1=(x-2)2,x∈(0,3)和直线y2=1-m，图象如图所示.

由图可知：(a)当1-m=0时，有唯一解，m=1；(b)当1≤1-m<4时，有唯一解，即-3

解法二 原方程在x∈(0,3)内有唯一解，等价于方程-x2+3x-m=3-x在x∈(0,3)内有唯一解，即x2-4x+m+3=0在x∈(0,3)内有唯一解.

(a)Δ=0时，即m=1时，方程为x2-4x+4=0，有唯一解x=2∈(0,3).

综上，要使原方程在x∈(0,3)内有唯一解，m=1或-3

[1] 张肇平,吴佳薇 .一道高考题的多种解法 [J] . 理科考试研究,2010，38(2)：20-23

[2] 李明,唐小惠.巧用数形结合求函数的最值[J].数学教学研究,2010，29(4):54

[3] 曲一线.五年高考三年模拟[M] .北京：首都师范大学出版社,2016

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1008-0333(2016)28-0032-01