考虑残次品和碳排放的供应链多级库存的EOQ模型

康 凯， 赵靖环， 张 敬， 张维存

(河北工业大学 经济管理学院，天津 300401)



考虑残次品和碳排放的供应链多级库存的EOQ模型

康 凯， 赵靖环， 张 敬， 张维存

(河北工业大学 经济管理学院，天津 300401)

针对供应链多级库存系统，探析残次品与碳排放对该系统的影响作用与供应链库存持有成本、订购成本、运输成本和检查成本的构成函数，建立多级库存的EOQ模型，提供考虑残次品和碳排放的供应链订货经济批量和库存控制策略，并用算例验证了模型的有效性。

残次品； 碳排放； 多级库存；EOQ模型

KANGKai,ZHAOJinghuan,ZHANGJing,ZHANGWeicun

(SchoolofEconomicsandManagement,HebeiUniversityofTechnology,Tianjin300401,China)

Keywords：defectiveitems;carbonemissions;multi-inventory;EOQ(economicorderquantity)models

1 问题提出

Clark等[1]提出“级库存”概念以来相继涌现了大量“级库存”优化研究成果。早期文献多数假设供应链各个节点为独立需求条件下的EOQ模型[2-4]。随着经营环境的变化，学者们开始关注不同条件下的EOQ模型研究。Salameh等[5]考虑了一级库存中存在一定残次品的EOQ模型，Wahab等[6]在二级供应链EOQ模型的基础上考虑了残次品和环境的影响，订购量中允许存在一定的残次品，并在运输成本中体现碳排放成本。熊浩[7]研究了最下游节点为独立需求，上游节点需求为与之完全相关需求情景下的供应链多级库存优化问题。Blanchini等[8]探讨了不确定需求下多级库存的成本控制问题；Kim等[9]在随机需求下考虑了3个典型的碳排放许可来源。李兵等[10]在传统EOQ基础上研究了碳单价固定与变动2种情况下的库存管理问题；黄立[11]研究了离散随机需求条件下考虑碳限额和碳单价的最优订货量问题。Hammami等[12]在多级库存中，考虑了碳税和碳限额下的碳排放控制问题。屈晓龙等[13]探讨了模糊条件下碳限额与交易机制下碳排放与碳价对零售商成本的影响；蒋雨珊等[14]基于报童模型，探讨了碳限额与交易机制下最优的生产批量与最优期望利润，并研究了碳限额对订货量、利润与碳排放的影响规律；屈晓龙等[15]研究了二级闭合供应链系统中考虑次品与碳排放对供应链总成本的影响，并研究了碳限额下次品率与碳价对总成本的影响规律。以上成果为供应链多级库存EOQ模型研究奠定了基础。

随着市场竞争的加剧和碳排放限制越来越严格，绿色供应链已然成为未来生产运营组织模式。因此考虑残次品、碳排放的供应链多级库存优化问题逐渐成为供应链管理领域研究的热点之一。本文探究了需求不确定条件下考虑残次品和碳排放供应链多级库存的EOQ模型。

2 问题描述及参数设置

2.1 问题描述

以单链多级库存系统为研究对象，结构如图1所示。图1表示供应链的n级库存系统结构，圆形表示库存节点，箭头表示各节点间供需关系。

图1 单链多级库存系统

假设节点1订货策略一旦确定，上游节点需求与下游节点需求相关，上游节点采用同步等量订货策略，即上游节点订货周期为其相邻下游节点订货周期的整数倍。每个节点库存中，假设存在残次品率q，且将残次品退回上游供应商。

2.2 前提假设及参数设置

2.2.1 前提假设

本文主要研究供应链多级库存的订货策略，即从外部供应商到节点1整条链的订货问题，故目标函数是整条链单位时间总成本最小。因此，假设如下。

假设1 最上游节点n有一个外部供应商，有充足存货满足节点n的订货。

假设2 节点1面临的需求为独立需求，上游节点需求与下游节点需求相关。

假设3 每批货物均允许存在残次品。

假设4 每批货物全部检查。

假设5 货到检查，且检查时间忽略不计，在期末时残次品退回到相应供应商。

假设6 节点1上游节点不允许缺货。

假设7 运输过程中考虑碳排放成本，运输碳排放取决于运输车辆与装载货物量。

假设8 整条供应链使用相同运输车辆。

假设9 正向物流，运输成本由下游节点承担，逆向物流，运输成本由上游供应商承担；即节点i的产品运输时，产生的运输成本及二氧化碳排放成本由节点i-1承担；节点i的残次品退回时，产生的运输成本及二氧化碳排放成本由节点i+1承担。

2.2.2 参数设置

本文考虑需求、残次品和碳排放的EOQ模型，参数设置的符号与含义如表1所示。

基准模型具体的描述如下。

设D为需求不确定条件下的顾客需求率，且

设q为残次品率，且

设M为碳排放成本，且

M=

3 需求确定条件下的成本构成

节点1为独立需求，则其在订货周期内的库存为线性，而上游库存处的库存形态为块状，具体如图2、3所示。

3.1 节点1不允许缺货

3.1.1 节点1不允许缺货，不存在残次品

图2 节点1的库存情况

表1 参数变量的符号与含义

图3 节点i的库存情况

节点1的单位时间总成本包括4种类型：库存持有成本c11、订购成本c12、运输成本c13和检查成本c14。

根据标准EOQ模型可知，

则节点1的总单位时间成本为

C1=c11+c12+c13+c14=

(1)

节点1所有上游节点不允许缺货，节点i单位时间的成本包括：库存持有成本ci1、订购成本ci2、运输成本ci3和检查成本ci4。

由图3可知，

ci1=

由

整理可得：

则节点i的总单位时间成本为

ci=ci1+ci2+ci3+ci4=

(2)

其中，j=2,3,…,i。

则节点1的所有上游节点的总单位时间成本为

(3)

n为多级库存级数。

所以，多级库存系统的总单位时间成本为

C=C1+C2。

(4)

3.1.2 节点1不允许缺货，存在残次品

则节点1的总单位时间成本为

(5)

(6)

节点1上游节点总单位时间成本为

(7)

所以，多级库存系统的总单位时间成本为

(8)

3.1.3 节点1不允许缺货，存在残次品，考虑碳排放影响

节点1单位时间的成本包括4种类型：库存持有成本c″11、订购成本c″12、运输成本c″13和检查成本c″14。

C″1=c″11+c″12+c″13+c″14=

(9)

节点1的所有上游节点不允许缺货，节点i的单位时间的成本包括：库存持有成本c″i1、订购成本c″i2、运输成本c″i3和检查成本c″i4。则节点i的总单位时间成本为

(10)

则节点1上游节点的总单位时间成本为

(11)

所以，多级库存系统的总单位时间成本为

C″=C″1+C″2。

(12)

3.2 节点1允许缺货

节点1的库存情况如图4所示。

图4 节点1的库存情况

3.2.1 节点1允许缺货，不存在残次品

节点1的单位时间成本包括：

则节点1的总单位时间成本为

(13)

节点1缺货最后会传导到顾客，会产生缺货成本，C21的模型与式(3)一致。

(14)

其中，ci如式(2)。

3.2.2 节点1允许缺货，存在残次品

节点1单位时间的成本包括4种类型：

(15)

3.2.3 节点1允许缺货，存在残次品，考虑碳排放影响

节点1所有上游节点不允许缺货，节点1的单位时间的成本

(16)

c″i如式(10)，节点1上游节点单位时间成本C″21以及多级库存的单位时间C″m分别为式(11)和(12)。

4 需求不确定条件下的EOQ模型

运用(R,Q)策略，当节点1的需求不确定时，其总单位时间成本为

(17)

ci如式(2)，节点1上游节点的总单位时间成本C2以及多级库存的总单位时间成本C分别为式(3)和(4)。

ci考虑残次品和碳排放影响的节点1总单位时间成本为

(18)

对于节点1的上游节点订货策略不变，所以之前的模型仍成立。c″i如式(10)，节点1上游节点的总单位时间成本C″2以及多级库存的总单位时间成本C″分别为式(11)和(12)。

考虑残次品和碳排放影响的需求不确定的EOQ模型为

(19)

式(19)是一个非线性的混合规划问题，运用精确的算法进行直接的求解很难实现，本文运用LINGO中的非线性进行求解。

5 算例分析

5.1 方法分析

利用LINGO工具箱进行处理，Q1,Q0和α2,α3,…αn是整数，通过@gin取整，同时保证α2,α3,…αn大于等于1，求解目标函数中的n个变量Q1和α2,α3,…αn的数值，最终确定整条供应链中单位时间总成本。

5.2 算例描述与结果

1)例1。

考虑一个3级库存系统，节点1的顾客需求率d为120，缺货成本h0=2元固定的运输成本Fa=100元，变动的运输成本Fb=5元，正向物流中，M1=30元，M2=2元，逆向物流中，N1=20元，N2=2元。如表2所示。

表2 相关参数

表3 例子结果

根据上面计算得出的策略，最小库存费用是4 110元。

2)例2。

当节点1需求不确定时，5～10月需求概率分布如表4所示。

表4 需求概率分布

经过计算，需求的平均值为120，方差为150，同时各个节点的提前期为1、3、5，且服务水平为98%。根据上文分析，应该确定出安全库存，98%的服务水平所对应的安全系数f=2.05，安全库存s=922.5,则安全库存的费用为1 845元，此时最小费用为4 110+1 845=5 955元。

6 结语

本文以供应链多级库存串行系统为研究对象，研究了考虑残次品、碳排放等影响的供应链库存持有成本、订购成本、运输成本和检查成本的构成函数，建立了供应链EOQ模型，为考虑残次品与碳排放的供应链多级库存控制提供依据。经过算例验证，结论有效，拓展了EOQ模型应用范围。未来研究方向：1)模型假设较理想，忽略检查时间，未考虑上游节点缺货、运输批次以及运输方式等问题；2)本文的碳排放仅在运输中考虑，未考虑在生产与库存持有中的碳排放；3)本文的研究对象是串行单链系统，现实应用需要将其扩展为网状供应链。

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·简讯·

第23届工业工程与工程管理国际学术会议圆满召开

2016年9月17日，由中国机械工程学会工业工程分会主办、华中科技大学承办的第23届工业工程与工程管理国际学术会议(IEEM2016)在武汉召开。来自国内外60多所高校的240余名代表参加了会议。

会议开幕式由组委会主席高亮教授主持，大会主席李培根院士致欢迎词，大会共同主席、中国机械工程学会工业工程分会理事长、天津大学齐二石教授致开幕词。

来自工业工程与工程管理领域的五位专家分别作大会报告。

美国普渡大学AbhijitDeshmukh教授作了题为“对工业工程的再思考——工业工程的前沿创新”大会报告，通过对当今社会所面临的各种挑战的思考，激励探索新的方式来改善现状，构画未来，对社会的进一步发展有着深远影响。

上海交通大学江志斌教授作了题为“面向医疗健康服务的工业与系统工程：发展历史和趋势”的大会报告，通过追溯工业系统工程在医疗保健领域的发展历程和应用，分析其存在的挑战，进而指出了今后这个方向值得研究的新方向。

日本中央大学TakakuwaSoemon教授作了题为“日本工业4.0与车间运作管理的现状”的大会报告，总结了工业4.0和物联网在社会经济、商业管理、车间控制、大数据分析和人工智能等方面存在的主要问题，强调了工业4.0将在制造体系和社会经济的各个方面造成影响。

香港大学黄国全教授作了题为“制造物联网的同步联动”的大会报告，提出了物联网的核心技术，阐述了物联网互动互操作定律、技术共享定律、资源共享定律以及万有价值定律，分析“三高问题”产生的原因，考虑同步的调度模型与方法，强有力地简化和明确了物联网的透明度和可追溯性。

台湾清华大学简祯富教授作了题为“一种工业3.5的概念框架与实证研究”的大会报告，提出将“工业3.5”作为工业工程一种新的混合发展策略，并对未来工业工程数字制造技术的改革结果进行了展望。

大会设两个分会场，共有近30位作者作了口头报告，对自己的论文及成果加以阐述。

第二十三届工业工程与工程管理国际会议(IEEM2016)作为工业工程与工程管理领域的重要学术会议，将国内外的专家学者和企业界人事汇集于此，为他们提供了一个理论研究和推广应用的交流平台，将进一步促进和推动工业工程与工程管理领域的研究与应用。

(中国机械工程学会工业工程分会供稿)

EOQ Models for Multi-inventory Systems Considering Defective Items and Carbon Emissions

Withregardtomulti-inventorysystemsinsupplychain,theEOQmodelsformulti-inventorysystemsconsideringdefectiveitemsandcarbonemissionsandconstitutionfunctionsofinventoryholdingcost,orderingcost,transportationcostandinspectioncostareconstructed,andtheeconomicorderquantityandinventorycontrolstrategyofsupplychainconsideringdefectiveitemsandcarbonemissionsprovided.Andexamplesaregiventoillustratetheeffectivenessofthesemodels.

2015- 07- 31

国家社会科学基金资助项目(14BGL055)；教育部人文社会科学研究资助项目(12YJA630049)；河北省高等学校自然科学青年基金资助项目(2011125)

康凯(1964-)，男，河北省人，教授，博士，主要研究方向为物流与供应链管理.

10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.05.010

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