魏 恒,张建军,李宏伟,王志华,赵隆茂
(1.太原理工大学 应用力学与生物医学工程研究所,太原 030024;2.山西汾西重工有限责任公司,太原 030027;3.材料强度与结构冲击山西省重点实验室,太原 030024)
基于路径线法的泡沫材料冲击特性探讨
魏 恒1,张建军1,李宏伟2,王志华3,赵隆茂3
(1.太原理工大学 应用力学与生物医学工程研究所,太原 030024;2.山西汾西重工有限责任公司,太原 030027;3.材料强度与结构冲击山西省重点实验室,太原 030024)
将泡沫材料动态特性的数值模拟结合路径线法验证结果,对实验过程中量计线的区域布置、量计线间距大小,以及有效分区等方面进行研究。结果表明,当计量线区域设计为距离撞击端30 mm,且较小的计量线间距(2 mm)及较多的有效分区(7个),可以提高路径线法实验的精度;用该方法获得泡沫材料不同于其准静态条件下的高应变率动态响应曲线,证明泡沫材料是一种应变率敏感的材料。该研究结论对采用路径线法研究泡沫材料的动态响应具有重要的指导意义。
拉格朗日分析;波传播;路径线法;泡沫材料;数值模拟
在研究材料的动态特性时,一般会遇到“狗咬尾巴”的问题,即惯性效应(应力波效应)和应变率效应的耦合问题[1]。传统的分离式霍普金森压杆技术(split Hopkinson pressure bar,SHPB)是对惯性效应和应变率效应解耦的经典办法,但是在研究泡沫材料的动态特性时,由于泡沫材料在高速冲击下变形的局部化特征,SHPB的均匀性假设得不到满足,从而不能消除试件的惯性效应,因此,SHPB实验无法得出泡沫材料是应变率相关还是应变率无关。另外一种解耦的方法是波传播法[2],波传播法是通过试件中波的信息来反演材料的动态本构,其结果是基于材料点从而消除了惯性效应的影响。Lagrange(拉格朗日)分析方法的基本思想是基于波传播法的理论,事先不对材料进行任何的本构假定,只需通过测量材料动态响应时不同位置处的相关变量(应变或速度等),由动量守恒方程和质量守恒方程来反演材料的动态本构关系。
在20世纪70年代初,FOWLES[3]提出了Lagrange法的一系列理论,认为波在材料中传播时,每个力学量(速度、应力、应变等)一般情况下都是以不同速度传播,FOWLES将其定义为相速度,并通过相速度揭示了率相关波传播的内禀特性。随后,GRADY[4]在FOWLES工作的基础上,对相速度法进行了改进,提出了路径线法。之后近40年的时间里,Lagrange法取得了很多成果,如:SEAMAN[5]提出了曲面拟合法,对物理流场分片曲面拟合,得到力学量流场的解析形式。GUPTA[6]提出了自洽检验法,通过求得的应力场反推速度场,若推得的速度场和原速度场吻合,则证明结果正确。FOREST[7]提出了冲量时间积分函数法,通过预定义一个冲量时间积分函数,应力、质点速度等变量及守恒方程可以从预定义函数的偏导数关系中导出。国内唐志平等[8]讨论了曲面拟合在拉格朗日反分析方法中误差的产生和发展。陈叶青等[9]对拉格朗日分析方法当前的研究进展进行了简要的分析总结,并揭示了在应用中应注意的几个问题,即实验数据的可靠性、波形特征相似性和波形完整性。
WANG et al[10-11]提出多种路径线方法,在已知速度场的情况下,有“1s,v+nv”和“nv+T0”两种,即已知一个应力-质点速度的边界(1s,v)条件或者零初始(T0)条件,利用路径线法对泡沫材料的动态特性进行了实验研究,得到了泡沫材料的动态响应,分析结果表明研究泡沫材料的冲击特性时需要考虑其应变率效应。本文基于路径线法,即在拉格朗日坐标下,得到不同位置处的速度-时程曲线,构筑成一个速度场,通过路径线法将速度场中的各点联系起来,进而来分析材料的动态特性,研究旨在通过对比泡沫材料动态特性的数值模拟和路径线法的结果来讨论该实验过程中需要注意的问题,如:如何布置量计线区域,确定量计线间距以及有效地分区等,从而能准确获得泡沫材料的动态本构关系。
Lagrange法主要利用一维平面应力波的2个守恒方程。
质量守恒方程:
(1)
动量守恒方程:
(2)
式中:ε,v,σ分别为应变、质点速度和应力;X和t是拉格朗日坐标和时间。质量守恒方程揭示了应变和质点速度之间的关系,动量守恒方程反映了质点速度与应力的关系。联立2式,理论上我们可以得到动态的应力应变关系。本文将利用“nv+T0”的方法,即已知n个不同拉格朗日位置点的速度时程曲线和零初始条件进行分析。路径线法就是对量计线以一定规则进行分区,在每个区域中,对每条速度曲线分等节点数。再将这些点用光滑的路径线连接起来,使整个流场的信息联系起来,如图1所示。
根据全微分有,
(3)
式中:下标p为沿路径线(path-line)微分;下标X和t是指在拉格朗日坐标和时间下求微分。方程(3)对t建立差分格式:
(4)
式中:i表示拉格朗日坐标X;j表示时间t。式(4)将应力对时间的偏导数建立成差分格式,即可以通过上一条路径线上的应力来求解下一条路径线上的应力。第1条路径线描述的是初始条件,可知其上应力为0,且应力对X的全导数也为0。因此,第2条路径线上的应力可以由公式(4)求得。当求第3条路径线上的应力时,可以对第2条路径线上应力进行多项式插值拟合,并求得应力对X的全导数。这样,第3条路径线上的应力也可以得到。余下路径线上的应力可以依此类推,即可得到全部拉格朗日点的应力信息。
图1 路径线法示意图Fig.1 Schematics of path-line method
应注意到,两条路径线间的时间步长Δt越小,截断误差虽然会越小,但同时每步计算还会引入舍取误差。由于两种误差的逐层积累和传播,当Δt越小,计算次数越多,积累误差会越大,到某一时刻真解会被“淹没”,所以Δt的选择需要考虑差分格式的稳定性。赵隆茂[12]对显示格式的稳定性进行了详细地分析,给出了固体单元临界时间步长的计算公式,公式如下。
(5)
(6)
式中:Q为Q1和Q2的函数;Q1和Q2分别为二次和线性粘性系数;Le为单元特征长度;C为材料的绝热波速;εkk(k=1,2,3)为3个不同方向上的线应变分量。本研究的时间步长在上式时间步长范围内以保证差分格式的稳定性,控制累积误差的发展。
根据FOWLES引入的相速度的概念,可从泡沫材料的速度场看出,泡沫材料中质点的速度相速度从弹性段到塑性坍塌平台段的变化范围比较大。因此,在对速度场进行分区分析时,不能简单地对速度场中的特征拐点处进行分区,即不能简单地分为弹性段和塑性坍塌平台段两个区域,还须将塑性坍塌段进行多个分区以保证整个区域差分格式的稳定性,以缩小区域减小误差。
根据唐志平等[13]对等时距构筑路径线进行的相关理论分析,在开始阶段,量计线距离越近,截断误差占主导,计算精度越高;但随着时间的增加,累积误差发展的速度会加快,累积误差成为主导,计算精度反而会降低;即量计线距离并不是越近,计算精度就越高。虽然本文并不是等时距来构筑路径线,但仍须考虑量计线的间距带来的影响。
应变同样可以用上述方法得到,其差分式为:
(7)
这样,在已知质点速度场的条件下,就可以通过式(4)和式(7)以及零初始条件来求出试件中的应力场和应变场。
2.1 有限元模型
为验证路径线法在实验研究中的可行性,并尽可能减小误差。本文通过Ls-dyna有限元分析软件来模拟泡沫材料的直接撞击实验,刚性板尺寸为60 mm×80 mm×10 mm,泡沫材料尺寸为Φ37 mm×200 mm,刚性板固定约束,以下泡沫材料给定80 m/s的初始撞击速度,模型如图2所示。
图2 泡沫杆撞击刚性板模型Fig.2 Model of a cellular rod imping onto a rigid target
刚性板采用*MAT-RIGID的材料模型。泡沫材料采用*MAT-Crushable-foam的材料模型,材料参数为:ρ0=526 kg/m3,v=0,拉伸应力失效值pcut=8 MPa,粘性阻尼系数(DAMP)为0.3,其中泡沫材料的单元尺寸为0.75 mm×1.00 mm×1.00 mm。试验中,输入准静态的名义应力(名义应力即力除以初始面积)与体积应变关系曲线,如图3所示。
图3 泡沫材料准静态的名义应力与体积应变关系曲线Fig.3 Relation between nominal stress and volumetric strain of foams
2.2 计算结果
2.2.1 量计线布置区域
图4是从模拟结果中提取的距撞击端30 mm处应力-时程和应变-时程曲线。从图中可以看出,目标单元在p点对应时刻开始受到卸载波的影响。单元开始遇到卸载波的时间t可由式(8)估算。
(8)
图4 距离撞击端30 mm处单元的应力-时程和应变-时程曲线Fig.4 The stress-time and strain-time curves of an element which is 30mm from the impact side
2.2.2 分区方法及量计线间距
由于量计线的间距会影响计算的结果,本文取量计线的间距为2,4,8 mm分别进行计算。当量计线的间距为2 mm,3个拉格朗日位置为14,16,18 mm时,其速度场如图5所示。从图中可以发现曲线有明显的拐点,符合泡沫材料的变形模式,即从弹性阶段向塑性坍塌阶段过渡。在0.4 ms左右时,曲线由于压缩波和卸载波的叠加出现波动。将速度场分为2个区时,2个区分别对应的是弹性段和塑性坍塌段。
图5 撞击速度为80 m/s时不同Lagrange位置点的速度-时程曲线Fig.5 Particle velocity profiles at the Lagrange position of 14,16,18 mm when the impact velocity is 80 m/s
若分更多的区,是将塑性坍塌段根据速度时程曲线特征进行重分区,使路径线和量计线构成的流场与真实流场更接近,且路径线均按3阶导数为0处理,以下分别对2,4,7,9个区的不同分区方式进行计算,来分析不同分区方式对计算结果精度的影响。利用Matlab编制路径线法的计算程序,不同分区方式在拉格朗日坐标14,16,18 mm位置处的应力-时程的数值计算结果以及路径线法计算结果如图6所示(见下页)。
从图6可以看出,2个和4个分区的路径线法计算结果误差仍然较大,而将速度场分为7个和9个区时,计算精度明显提高。说明将速度场中分足够多的区域分析既可以保证差分格式的稳定性又可以减小积累误差,比仅按特征拐点分区的精度高。且由于分7个区时精度已经足够,为节约计算成本,以下的分析都是基于分7个区进行的。
同样,当量计线间距为4 mm时,取X为12,16,20 mm 3个位置,其计算结果如图7-a。当量计线间距为8 mm时,取X为8,16,24 mm 3个位置,其计算结果如图7-b。对比图6和图7可以发现,量计线间距为2,4 mm时,计算精度较高;间距为8 mm时,误差比较大。当间距为8 mm时,较大误差的主要原因可能是路径线和量计线形成的流场与真实的速度场相差太大。
上文泡沫材料给定撞击速度为80 m/s,通过路径线法得到泡沫材料的应变场,再将应变对时间求导,得到的最大值即所求的应变率,为6×103s-1。图8-a给出了泡沫材料撞击速度为150 m/s时,在拉格朗日坐标14,16,18 mm位置处的速度场,取量计线间距为2 mm,将速度场分为7个区,其应力时程曲线见图8-b,通过计算得出其对应的应变率为3×104s-1。证明当泡沫材料处于更高撞击速度时,即:在更高应变率的条件下,路径线法与模拟得到的结果也吻合地很好。
a-2 zones;b-4 zones;c-7 zones;d-9 zones图6 量计线间距为2 mm时不同分区方式3个Lagrange位置处的应力-时程曲线Fig.6 Stress-time curves at 3 Lagrange positions by different dividing methods with gauge length of 2 mm
a-gauge length=4 mm(X=12,16,20 mm);b-gauge length=8 mm(X=8,16,24 mm)图7 分7个区不同量计线间距条件下对应3个Lagrange位置处的应力-时程曲线Fig.7 Stress-time curves at 3 related Lagrange positions when 7zones are divided
图8 撞击速度为150 m/s时 3个Lagrange位置点的速度-时程曲线(a)和应力-时程曲线(b)Fig.8 Particle velocity profiles and strain-time curve at 3 Lagrange positions with impact velocity of 150 m/s
本文中泡沫材料采用的是*MAT-Crushable-foam的材料模型,粘性系数为0.3,即考虑了泡沫材料的应变率效应。图9是泡沫材料的撞击速度分别为80,150 m/s时,拉格朗日位置14 mm处的动态应力-应变曲线和输入的准静态应力-应变曲线的对比,由于路径线法消除了惯性效应的影响,图中平台应力的增强部分是泡沫材料应变率效应的作用,表明泡沫材料是一种应变率敏感的材料。
图9 不同撞击速度时14 mm拉格朗日位置处的动态和准静态应力-应变曲线Fig.9 Comparison between the dynamic and the quasi-static stress-strain curves with varied impact velocity
本文没有得到泡沫材料密实化阶段的应力-应变曲线,是因为泡沫材料杆的撞击速度还不够大,对于计算机模拟来讲,泡沫杆的速度可以增加到足够大,但对于实验来讲却很难实现;且从速度场的角度来讲,泡沫杆直接撞击的条件下,速度场不能区分平台段和密实段。为了得到泡沫材料完整的动态应力-应变曲线,可用泡沫材料的反撞击来研究其完整的动态响应。
在研究泡沫材料的动态特性时,会遇到惯性效应和应变率效应的耦合问题,用路径线法更适合分析此类问题。本文讨论分析了路径线法在实验过程中需要注意的问题,得出了以下结论。
1) 当计量线区域设计为距离撞击端30 mm,且较小的计量线间距,以及速度场中较多的有效分区可以提高路径线法实验的精度。
2) 当研究中设计泡沫材料的应变率为103~104s-1数量级范围时,路径线法都是适用的。
3) 研究中动态应力-应变曲线和准静态应力-应变曲线对比证明泡沫材料是一种应变率敏感性材料。
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(编辑:李文娟)
Discussion on Dynamic Behavior of Foams Based on Path-Line Method
WEI Heng1,ZHANG Jianjun1,LI Hongwei2,WANG Zhihua3,ZHAO Longmao3
(1.InstituteofAppliedMechanicsandBiomedicalEngineering,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China; 2.ShanxiFenxiHeavyIndustryCo.,Ltd.,Taiyuan030027,China; 3.ShanxiKeyLaboratoryofMaterialStrength&StructuralImpact,Taiyuan030024,China)
The research focuses on the comparison of the numerical results and the results by path-line method about the dynamic response of the foams, in order to analyze the determination of the velocity gauge lengths and the division of zones. Results show that when gauges in the area are designed as 30 mm from the impact end, the smaller gauge lengths (2 mm) and more effective division of zones (7) can improve the precision of the path-line method experiment; meanwhile, the dynamic response of foams with high strain-rate obtained by using path-line method is different from that of the quasi-static case, and this indicates the strain-rate sensitivity of the foams. The conclusion of this research has important guiding significance on experimental study about the dynamic response of foams using the path-line method.
Lagrangian analysis; wave propagation;path-line method; foamed materials; numerical simulation
1007-9432(2016)03-0418-06
2015-12-30
国家自然科学基金资助项目:功能梯度多孔金属夹芯复合结构的冲击力学行为及波致失效机理研究(11172196);山西省留学人员科研基金资助项目:强动载荷下梯度夹芯复合壳的力学行为及其多功能优化设计(2013-046)
魏恒(1991-),男,湖北鄂州人,硕士生,主要从事冲击动力学研究,(E-mail)872630120@qq.com
王志华,教授,博士,主要从事冲击动力学研究,(E-mail)wangzh@tyut.edu.cn
O347
A
10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.03.026