数学极限专题的科技创新实验

梁齐天

【摘要】现在世界上大学非文科的一年级新生，都要学习高等数学这门课程的。而高等数学里第一个概念就是数学极限的定义，这对于学生是非常难学的，老师也感到难教，目前高中阶段在教学变化率导数时，也是有意地绕过极限定义而困难的进行着，可见数学极限定义难教难学的程度。

【中图分类号】G633.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）10-0144-03

第一课时：

教学目的：使学生初步认识极限的概念

一、事物的极限：极限就是极大限制值、极小限制值（至于为什么是这样？可详见本刊2016年9月期的“从事物的极限到函数的极限”一文。）

1、例如，我们行在一座桥的前面，看见一个交通警示牌，牌上写着20t，这是什么意思呢？这是告诉机动车司机们经过桥时，机动车的车重和载物不要超过20吨重，超过了就可能引起桥的破坏性事故。20t是该桥的负荷极大限制值。

2、例如，某中学高中一年级去年招收新生的入学的分数线是500分，这是该校高中一年级新生入学的考试成绩的极小限制分。

总之，含有变量的事物在某种条件下变化着，它的极大限制值或者极小限制值，就叫做该事物的极限（横线以上的字是在教师指导下由学生填写，以下同。）。

三、数列的极限：

（一）数列极限的定义（什么叫做数列的极限？）

仿照事物的极限得到如下：

数列极限第一种定义：数列f（n）在项数n无限制的增大时，它的极大限制值或者极小限制值就叫做数列的极限。

首先考查例题乙里数列f（n）与数1的关系：

我们从例题乙的图形可以看到：数列f（n）随着项数n的无限增大，也是越来越靠近数1的（你总不能说f（n）是越来越远离数1的吧？），但是却隔着一个大空白处。f（n）的极小限制不是1，这样一来

然后研究数列f（n）与数3的关系：

从例题甲的情况看，数列f（n）是越来越紧靠近数3，而且是无空白的紧靠近。数3对f（n）来说，是f（n）的极小限制值，所以数3是f（n）的极限。

于是得出例题甲结论：f（n）无空白处的紧靠近于数

现在把两个结论并排放在一起如下：

例题甲结论：f（n）无空白（无空隙）的紧靠于数

例题乙结论：f（n）有空白（有空隙）的靠近于数1

综合上面例题甲和例题乙的无空白和有空白靠近的两种情况对比与衬托，我们可以得到：数列极限的第二种定义是：数列f（n）在n无限制的增大的情况下，f（n）无空白（无空隙）（无缝隙）的紧靠数A，那么A就叫做f（n）的极限（记号为：f（n）=A），否则，A就不是f（n）的极限。

上述数列极限的第二种定义仍然有缺点，它不含数学式子，也不能参与数学的计算，所以还得继续研究产生出一个新的定义。

我们再进一步研究如下：

四、f（n）无空白（无空隙）紧靠于数3，在数学上是什么意思呢？

我们在前面对照例题甲及其图形，说过数列f（n）是无空白的紧靠数3的，那里只是直观观察呀，还要进一步用数学式子来验证一下“无空白紧靠”在数学上这个纯朴的概念。于是我们继续考查上述数列f（n）与数3之间无空白紧靠近数3的现象。

以直线y=3为一条边，任意小的长为宽度（比如：0.07为宽度）向上作一个足够长的长方形的一个长条形，看看这个长方形区域内存在f（n）的情况。

回答：（1）龙头项是 f（[ ]）

（2）龙身是f（[ ]） 以后各项

（3）指导学生填写：从f[ ]项起及其以后各项等等，到数3的距离皆小于L。

（4）不管上述长方形宽度多么小，多么窄，也就是L任意小，龙头那个项和其后各项形成的龙身结合在一起组成的无限长的长龙解，都被套在这个长条形里。它们到数3的距离皆小于L，这是多么美丽而神秘的现象。

至此，我们得到例题甲的论点是：f（n）无空白紧靠于数3f（n）的极限是3 |f（n）-3|

二、下面是考查例题乙f（n）有空白的靠近数1的情况。以数1为一条边，宽度为L，L为任意小的正数。向上作一个长方形无限长的长条形，看看此长条形能套住f（n）的哪些项呢？

第三课时：

教学目的：两个数列和、差、积、商的极限

一、数列极限定义的简写形式：

数列极限定义（常用定义）

已知数列f（n），又已知数A，L是一个任意小的正数，若数列f（n）到数A的距离不等式|f（n）-A|

六、作业（略）

请各位老师多指导和认可我的这个创意。把极限下放到初二或者高一年级是完全可行的。至于较复杂的函数的极限定义仍放在大学一年级进行。

本文第一轮实验在皖淮北市第十中学初二（1）班于6月上旬进行。由于第一课时对于事物极限让学生举例，耽误了时间，第一课时时间比较紧张。

本文第二轮实验在皖淮北市濉溪县小湖孜初级中学初二班于6月下旬进行，克服了第一轮的缺点，效果和可接收性皆很好。