基于拉格朗日建模的两轴稳定平台耦合干扰分析

贾继红，宋江鹏

(1.军事交通学院 军事物流系，天津 300161； 2.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001)



基于拉格朗日建模的两轴稳定平台耦合干扰分析

贾继红1，宋江鹏2

(1.军事交通学院 军事物流系，天津 300161； 2.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001)

为研究载体与内外框架之间的耦合关系，基于拉格朗日方程，建立包括摩擦力矩模型和质量不平衡力矩模型的完整稳定平台动力学模型。同时根据所建立两轴稳定平台动力学模型进行仿真分析，明确各种耦合力矩对控制性能的影响。仿真结果表明：与框架间耦合力矩相比，载体运动对光轴稳定的影响较大；外框架控制系统设计需要考虑转动惯量、摩擦力矩干扰和几何约束角速度干扰带来的影响，应具有较强鲁棒性。

拉格朗日建模；耦合干扰；摩擦力矩；几何约束

两轴光电稳定平台是动载体光电成像稳定装置中较为常见的一种结构形式，技术较为成熟，但其运动学和动力学模型仍是一个存在轴间运动耦合和非线性干扰的非线性控制系统[1]，建立完整的运动学、动力学模型和进行全面的耦合力矩分析是高精度稳定平台机械系统和控制系统设计的基础。本文以常规两轴方位-俯仰框架稳定平台为研究对象，采用表达式非常简洁的拉格朗日方程对其建模，避免了欧拉方程动力学建模过程中存在的大量动量矩矢量变换的复杂推导过程。同时，在推导过程中考虑了摩擦力矩，并将两轴光电稳定平台的运动学特性、动力学特性和框架电机的特性结合起来，建立更具有普遍意义的控制模型[2]。分析摩擦力矩、几何约束角速度等因素对稳定平台的不同耦合途径，将稳定平台作为一个整体进行全面分析，并针对实际数据进行仿真分析，从而为光电稳定平台控制系统设计和控制性能分析提供理论基础和参考模型。

1 坐标系定义

(1)载体坐标系Omxmymzm。原点一般位于载体质心。Omxm轴沿载体纵轴向前，轴在载体纵对称面内向上，Omzm轴按Omym右手系定义方向。

(2)外框坐标系Ooxoyozo。原点位于内、外框连接部分的几何中心点。Ooyo轴与稳定平台外框架方位轴重合，向上为正，其余两轴符合右手定则。采用方位角λy表示外框架理想旋转角。

(3)内框坐标系Oixiyizi。原点位于内、外框连接部分的几何中心点。Oizi轴与稳定平台内框架俯仰轴重合，Oixi与探测器光轴重合，指向目标为正。Oiyi符合右手定则。采用俯仰角λz表示内框架理想旋转角。

2 稳定平台运动学模型推导

设定载体坐标系惯性运动角速度矢量为

ωb=[ωbxωbyωbz]T

外框架坐标系惯性运动角速度矢量为

ωo=[ωoxωoyωoz]T

内框架坐标系惯性运动角速度矢量为

ωi=[ωixωiyωiz]T

(1)

(2)

式(1)、式(2)中：c表示cos，s表示sin，下同。

根据载体和稳定平台框架运动关系可知外框架惯性运动角速度为

(3)

同理，内框架惯性空间角速度为

(4)

内框架惯性空间角速度是载体运动、外框架运动以及内框架自身运动的合成，由于成像探测器安装于内框架上，内框架的运动方程就是光轴运动方程。

3 动力学推导及耦合分析

3.1 稳定平台动力学模型推导

本文借鉴文献[3-5]对质量不平衡力矩和摩擦力矩的分析方法，采用第二类拉格朗日方程，在考虑摩擦力矩干扰和质量不平衡力矩的条件下推导出两轴稳定平台动力学模型。

(5)

式中：T为系统动能；D为系统瑞利耗散函数；qk为系统广义坐标；k为系统独立的自由度个数；Qk为系统的广义力。刚体旋转运动的动能为ω·H/2[8]，刚体平移运动的动能为m·v2/2。根据刚体旋转运动和平移运动的动能的计算公式以及式(4)、式(5)，可得平台两个框架的总动能T为

式中：Jx、Jy、Jz为框架主转动惯量；Jxy、Jyz、Jxz为框架惯性积。

同时，考虑稳定平台框架轴上的摩擦力矩影响，本文选择经典的库仑+粘滞摩擦模型，推导系统的能量耗散函数为[6]

(6)

式中：Kov、Kiv分别为外框架和内框架的粘滞摩擦系数；Toc、Tic分别为外框架和内框架的库仑摩擦力矩。

选取合适的广义坐标是建模的关键，本文选取两框架相对角度λy、λz以及两框架质心位置ρox、ρoz和ρix、ρiy为广义坐标，则由式(5)、式(6)可得到平台的动力学方程为

(7)

由式(6)、式(7)可得外框架摩擦力矩Mfy和内框架摩擦力矩Mfz分别为

(8)

(9)

同时，外框架质量不平衡力矩Muy和内框架质量不平衡力矩Muz分别为

Muy=ρozFox-ρoxFoz=m(ρozaox-ρoxaoz)

(10)

Muz=ρixFiy-ρiyFiz=m(ρixaiy-ρiyaix)

(11)

3.2 耦合分析

根据式(5) ～式(11)，得俯仰轴动力学方程为

(12)

式中：Js为外框架等效转动惯量，且Js=Joy+Jixsin2λz+Jiycos2λz+Jixysin(2λz)；Mcry为外框架线缆干扰力矩；My＿cross为外框架轴间惯量耦合力矩，主要受到内框架运动反作用力矩影响。

4 稳定控制分析

4.1 稳定平台控制系统框图

通过上一节中推导的两轴稳定平台的运动学模型和动力学模型，建立稳定平台控制系统的控制框图(如图1、图2所示)[7]。

图1、图2中：Gv(s)为控制回路校正传函；L为电机电感；R为电机内阻；Kt为力矩系数；Ke为反电势系数；Kf为反馈通道增益；J为内框架转动惯量；Tf为非线性摩擦力矩。

图1 外框架稳定平台控制框图

图2 内框架稳定平台控制框图

4.2 摩擦力矩产生的耦合运动分析

为了定性分析摩擦力矩的影响，将方位框架摩擦力矩的非线性环节Tf(·)采用较简单的库仑摩擦+粘滞摩擦模型进行分析。

(13)

式中：Tc为库仑摩擦系数；Kv为粘滞摩擦系数。

采用线性分析方法建立载体扰动ωby通过摩擦力矩耦合到光轴方位角速度ωiy的传递函数：

(14)

将式(13)代入式(14)，并忽略反电动影响，求得传函幅值：

(15)

式(14)、式(15)表征了载体扰动通过摩擦力矩耦合对方位轴光轴角速度的影响。当增加稳定回路控制器值增益Gv(s)、提高负载转动惯量Js、内框架俯仰角λz较大以及扰动频率ω较高时，光轴方位方向对摩擦力矩扰动的隔离能力较好。

4.3 几何约束产生的耦合运动分析

载体扰动以几何约束方式对方位光轴惯性角速度产生影响。设定该载体扰动项为ωbg=-ωbxcosλy+ωbzsinλy。建立载体扰动 通过摩擦力矩耦合通道到光轴方位角速度ωiy传递函数如下：

(16)

该传递函数表征了载体扰动通过几何约束干扰对方位轴光轴角速度的影响。由式(16)可知，当增加稳定回路控制器值增益Gv(s)、提高负载转动惯量Js、内框架俯仰角λz较小时，方位光轴对几何约束扰动的隔离能力较好。

5 仿真与分析

某稳定平台框架设计参数见表1。

表1 模型参数

(1)设定载体运动在滚转、俯仰、偏航方向存在幅值为2°、频率2 Hz的正弦姿态扰动，作为两轴稳定平台的输入条件。两轴稳定平台方位框架和俯仰框架均在零度角，不考虑质量不平衡力矩以及导线干扰力矩的影响，方位轴和俯仰轴的惯量耦合力矩输出仿真结果如图3所示。图3(a)是俯仰内框架耦合的方位外框架等效转动惯量。图3(b)是载体以及内框架运动引起的外框架惯量耦合干扰力矩，显然，该力矩很小，产生的影响一般可以不考虑。

(a)

(b)图3 方位框等效转动惯量和交叉耦合力矩

(2)设定载体运动在滚转、俯仰、偏航方向存在幅值为2°、频率2 Hz的正弦姿态扰动，不考虑质量不平衡力矩以及导线干扰力矩的影响，内框架俯仰角度由0°递增至90°,外框架航向角度在零度角。如图4(a)所示，随着内框架俯仰角度不断增加，载体扰动引起的摩擦力矩对光轴稳定精度影响逐渐减小。

(3)设定载体在滚转、俯仰、偏航方向存在幅值为2°、频率从0～100 Hz的正弦姿态扰动，方位框架和俯仰框架均在零度角，如图4(b)所示，随着载体扰动频率的增加，载体扰动引起的摩擦力矩对光轴稳定精度影响呈先高后低趋势。

(a)

(b)图4 摩擦力矩引起的光轴方位角速度值

6 结 论

(1) 影响稳定平台光轴稳定精度的因素中，载体运动与框架间耦合力矩相比，对光轴稳定的影响较大。

(2) 载体扰动频率越大，摩擦力矩对光轴稳定精度的影响越小。

(3) 外框架的转动惯量为变转动惯量，在外框架控制系统设计和电机选型时，需要通过测量或理论建模方式得到外框架转动惯量的变化范围；同时，外框架控制系统设计必须具有较强鲁棒性。

[1] 华征. 成像导引头伺服机构若干基本问题研究[D].北京：国防科学技术大学，2012.

[2] 董小萌，张平，付奎生.极坐标捷联式视觉导引平台的机电建模与仿真[J].系统仿真学报，2009，21(1)：262-265.

[3] 朱华征，范大鹏，张文博，等.质量不平衡力矩对导引头伺服机构性能影响分析[J].红外与激光工程，2009，38(5)：767-772.

[4] 阴蕊，房建成，钟麦英. 航空遥感用三轴惯性稳定平台动力学建模与仿真[J].中国惯性技术学报，2011，19(6)：676-680.

[5] 宋江鹏，孙广利，周荻.偏轴反射镜平台视轴稳定技术及建 模分析[J].红外与激光工程，2015，44(8)：2484-2490．

[9] 聂旭涛. 导引头伺服机构若干强度与动力学问题研究[D]. 北京：国防科学技术大学，2009.

[10] 鲍文亮，黄显林，卢鸿谦. 多框架光电平台动力学建模及耦合分析[J].哈尔滨工程大学学报，2009，30(8)：893-897.

(编辑：史海英)

Coupling Disturbance of Two-axis Stabilization Platform Based on Lagrangian Modeling

JIA Jihong1, SONG Jiangpeng2

(1.Military Logistics Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China; 2.School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

To study the coupling relation between carrier and inner and outer framework, the paper establishes a complete stabilization platform dynamic model which includes friction and mass unbalance torque model based on lagrange equation, and makes simulation analysis according to this model and defines the impact of all kinds of coupling torque on control performance. The simulation result shows that carrier movement has greater influence on optical axis stability comparing to coupling torque between frameworks, and designing outer framework control system should have robustness and consider the influence factors such as variable moment of inertia, friction torque disturbance, and geometric constraints angular velocity interference.

lagrangian modeling; coupling disturbance; friction torque; geometric constraint

2016-03-14；

2016-06-06．

军事交通学院科研基金项目(2016B52).

贾继红(1979—)，女，硕士，讲师.

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2016.11.021

TP275

A

1674-2192(2016)11- 0091- 05