利用找、用、画突破相似图形学习的困难

王裕龙

利用找、用、画突破相似图形学习的困难

王裕龙

“图形的相似”是初中数学的主要内容之一，是全等图形的继续和延伸，图形的相似也是我们解决函数、圆、三角形等综合性问题的一个常用的知识点，在中考中占据着重要的地位.下面就相似三角形中几个常见的难点问题进行剖析，希望能为同学们在解题的思维、方法等方面提供帮助.

方法一“找”——找要用到的相似三角形

例1（2013·江苏苏州）如图1，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G.

图1

（1）求证：△APB≌△APD.

（2）已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.

①求y与x的函数关系式；

②当x=6时，求线段FG的长.

【解析】（1）由菱形的性质，得到AB=AD和AC平分∠BAD，即∠DAC=∠BAC，由“SAS”判断△APB≌△APD.

（2）①由已知条件DF∶FA＝1∶2，及要得到DP、PF之间的关系，我们可以思考是否用相似来解决，DF、FA、DP、PF这四条线段能否直接构成两个三角形，即用△AFP和△DPF来证明相似，我们发现这是不可能的.接下来考虑把其中某些线段转换，由△APB≌△APD得DP=BP，由DF∶FA=1∶2，得AF∶BC=2∶3，这样由“Z”字型相似，证得：△APF∽△CPB，

②当x=6时，y=4，则BF=10，

求得FG=5.

【点评】解题关键是如何找到两个要用到的相似三角形，这就需要同学们结合已知条件及所求结论来“侦查”有用信息.

方法二“用”——用相似三角形性质测距

例2在“测量物体高度”的活动中，三个小组分别选择测量学校里不同的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别采集到了如下数据：

图2①

图2②

A小组：测量一根长为1米的竹竿的影子长为0.8米，此时甲树的影长为4米.

B小组：如图2①，乙树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，测得墙壁上的影子如图CD=1.2米，落在地面上的影子AC=2.4米.

C小组：如图2②，丙树OP的影子除落在地面上外，还有一部分落在一个斜坡上，测得落在地面上的影子长OQ=2米,斜坡上影子长QR＝4米，且∠OQR=150°.

根据上述信息分别求甲、乙、丙三棵树的高.

【解析】（1）如图3，已知：XZ=4，求XY.

图3

根据平行投影结论：在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成正比.得到，由XZ=4，得XY=5.所以甲树的高度为5米.

（2）如图4，因为点B通过太阳光线照射投影在点D处，所以太阳光线的方向是直线BD方向.

图4

由条件AB∥CD，CE∥BD，

证得四边形CDBE是平行四边形，求得BE=CD=1.2，即AB=AE+BE=4.2.

所以乙树的高度为4.2米.

（3）作法一：

由图可知：PO=PM-OM.

图5

要求出PO的长度，就要分别求出PM、OM的长度，由图可知RM=MN+RN，此时我们就要分别求出OM、MN、RN的长度，而可证四边形OMNQ是矩形，

即OM=NQ，MN=OQ=2，此时就要求出QN、RN的长度，由条件∠OQR=150°，而∠OQN=90°，可得∠NQR=60°，即△NQR是内含30°角的直角三角形，因为QR=4，所以QN=2，RN=2，则RM=2+2，此时求得PM=，所以PO=.所以丙树的高度为

作法二：

如图6，使MQ∥PR，

图6

在Rt△NQR中，∠NRQ=30°，QR=4，

【点评】在用相似解决实际问题时，首先画出需要的图形，然后常利用相似的性质：相似三角形对应高的比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，以及投影等知识得到比例式，选择恰当的未知数建立方程.

方法三“画”——画相似图形觅得解答途径

例3如图7，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）.

图7

（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧，将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，画出四边形TA′B′C′；

（2）写出点A′，B′，C′的坐标；

（3）在（1）中，若D（m，n）为线段BC上任一点，则点D的对应点D′的坐标为（____，__）.

【解析】（1）已知位似比是2∶1，分别延长TA、TB、TC至A′、B′、C′，使AA′=TA、BB′=TB、CC′=TC，就可得到四边形TA′B′C′.

（2）由图可得A′，B′，C′的坐标.A′（3，5），B′（5，5），C′（7，3）.

（3）构造图8，△TDH∽△TD′H′，相似比2∶ 1，可得，即，求得TH′=2m-2，D′H′=2n-2，

图8

求得D′坐标（2m-1，2n-1）.

【点评】图形的位似是特殊的相似，这里还要注意的是以T为位似中心，而不是原点，我们抓住相似比2∶1，通过构造一个辅助直角三角形准确求得点D′的坐标.

同学们可利用“找”“用”“画”这三个方法，不断提高对相似图形的处理能力.

（作者单位：江苏省常熟市王庄中学）