品味例题走进“二次元”世界

张晓东

品味例题走进“二次元”世界

张晓东

在数学学习中，教材是我们的立足之本，每个例题不仅仅是知识内容的载体，其背后还蕴含着一些数学思想方法.我们在平时的学习过程中，要学会对书本上例题有进一步的思考、反思，从中提炼出解决一类问题的策略、方法.本文从教材中一道二次函数应用题出发，和大家一起品味例题，走进一元二次方程和二次函数的世界.

原题呈现：苏科版《数学》九年级下册第8页第5题

如图1，用50m长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，试写出花园的面积y（m2）与边长x（m）之间的函数关系式.

图1

【分析】本题首先要弄清楚两点：第一，50m的护栏长，从图中看就是三条线段AB+ BC+CD=50，在知道BC=x后，可用含字母x的代数式表示得到AB=CD=（50-x）；第二，要写出矩形面积与边长之间的函数关系式，只要知道AB的长，利用公式就可以列出.

此时x的取值范围为：0＜x＜50.

【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析清楚可知和需知，根据实际问题中的数量关系列出函数关系式，最后要注意自变量x的取值范围.

【拓展一】问题条件不变，问矩形面积能否等于313m2？

【分析】本题有两种方法：一种是利用一元二次方程根的判别式解决，另一种是利用二次函数的最大值解决.

即x2-50x+626=0，Δ=-4＜0.

所以此方程无解.

这就是说矩形花园的面积不可能等于313m2.

故矩形花园面积的最大值是312.5，也就不可能取到大于312.5的值.

【分析】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定二次函数关系式，把面积最大值问题转化为二次函数的顶点纵坐标来求.

【拓展二】如图2，用50m长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，墙的长度为20m，试写出花园的面积y（m2）与边长x（m）之间的函数关系式，并求出花园的最大面积.

图2

【分析】矩形面积y与边长x之间的函数关系式没有变化.但要注意到因为受墙长为20m这个条件的限制，自变量x的取值范围变化了，从而在求面积的最大值时，x的值取不到顶点的横坐标25.所以面积的最大值也就不再是顶点的纵坐标了.

此时x的取值范围为：0＜x≤20.

此时，这个二次函数的对称轴为直线x= 25，在自变量取0＜x≤20时，图像在对称轴的左侧，图像开口向下，函数值矩形面积y是随着自变量x的增大而增大.

所以，当x=20时，矩形面积有最大值，最大值为300m2.

【点评】在解决最大最小值问题中，函数方法是常用方法，一般情况下最值在顶点取到，但在实际应用的时候受自变量取值范围的限制，其最值可能在左端点或右端点取到.必要时可以画出函数的草图解决.

【拓展三】如图3，矩形花园一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长度是19m.（1）若花园的面积是24m2，求AB边的长度是多少？（2）若只利用这些栅栏将如图所示的矩形花园分隔成两个有一边相邻的矩形花园，且围成的总面积最大，求两个矩形花园公共边的长.

图3

【分析】第（1）小题列出一元二次方程，应该能比较快地解决.第（2）小题的题型应该是常规问题，也就是列出函数关系式，利用二次函数顶点坐标解决，但因为没有明确如何分隔，可以是横向也可以纵向，所以本题要分类讨论.

解：（1）设AB=x，则BC=19-2x.

由题意得：x（19-2x）=24.

∴x1=8，x2=

（2）①当隔栏垂直墙时，

设隔栏长为xm，则平行墙的围栏长（19-3x）m.

花圃面积S=x（19-3x），即S=-3x2+19x.

②当隔栏平行墙时，

【拓展】对于此题的解决还可以设BC=x来解决，但这样会出现分数，运算起来相对麻烦些.问题还可以拓展到继续分割成三个、四个甚至更多个矩形来考虑.

通过对一个问题的深入思考挖掘进行拓展、演变和延伸，才能让我们“回头是岸”，脱离“题海”，带大家进入数学的美妙世界.

（作者单位：江苏省太仓市沙溪实验中学）