从混凝土历史发展的长河中学习、理解A定则B公式之二（II）

王永逵，王健，耿加会，余春荣，冯立艳

（1. 上海奇齐科技开发实业有限公司，上海　201600；2. 河南舞阳县惠达公路工程公司，河南　舞阳　462400；3. 建筑材料工业技术情报研究所，北京　100024；4. 四川德阳明鸿商品混凝土有限公司，四川　德阳　618099）

从混凝土历史发展的长河中学习、理解A定则B公式之二（II）

王永逵1，王健1，耿加会2，余春荣3，冯立艳4

（1. 上海奇齐科技开发实业有限公司，上海201600；2. 河南舞阳县惠达公路工程公司，河南舞阳462400；3. 建筑材料工业技术情报研究所，北京100024；4. 四川德阳明鸿商品混凝土有限公司，四川德阳618099）

阿勃莱姆斯的 A 定则是在费雷特普适公式基础上的发展和提高，对混凝土强度理论具有里程碑的意义。保罗米的 B公式是在 A 定则基础上的简化，使数理统计对混凝土中的应用进入新阶段。但与A定则没有质的区别，都是对混凝土强度期望值估计值的计算，其结果应该很接近。A 定则—B 公式成了现代混凝土的基础理论之一，有很强的现实指导意义。

A 定则—B 公式；期望值；预报；控制

（接前节）

3.4B 公式的电脑拟合

上述列表计算的方法可以作为学习、掌握一元线性回归分析的基本训练，可以看出计算还是很繁琐的，仅子样为27对﹙Xi，Yi﹚数据的小样本，计算数据约300个次上下，而且计算中不能出任何差错，假使有一个错误，就不可能得到正确的结果。可见在那个仅有手摇计算机的年代，拟合一个用于生产和科研的公式多么不易。如果你能动手亲自算一算，你就体会到我们今天重温历史，学习当年的成果，对费雷特、阿勃莱姆斯和保罗米他们所做的开创性工作是多么值得敬重。现在好了，几百个几千几甚至上万个数据，甚至更大的样本，用身边的电脑，仅用几分钟的时间就准确无误的得到需要的结果。

3.4.1电脑拟合 B 公式的步骤

（1）在 Excel 文档中列表，将胶水比﹙Xi﹚和混凝土实测强度﹙Yi﹚按由小到大顺序排列；

（2）选中 Xi和 Yi后，点击“插入”中的“图表”，点击相应的“散点图”，点“完成”；

（3）选择“散点图”里面的一个“点”鼠标右击，在显示界面中选择【添加趋势线】，如本例的直线方程；

（4）在【添加趋势线】界面里面点直线方程，在显示界面中点【选项】进入界面；

（5）在界面【选项】里面勾选【显示公式】和【显示 R均方差】，即可。

完成图中除直接标出散点和线型外，同时标出一元一次的线性方程。

电脑拟合公式为：R28＝26.206－18.612(B/W) 与列表计算的十分接近，但两者的计算过程相比后者要简单多了，即使对几千或数万对的（Xi，Yi）试验数据的回归方程拟合，也就是上面的几个步骤，就可在很短时间内，得到你要拟合的一元回归方程，并能同时得到你要检验的回归方程与理论曲线的相关系数检验方差值 R2，大小与相关系数检验r值相同，可视为相关关系很好。

图3　电脑计算拟合 B 公式小直线图

以上是以笔者在商品混凝土近二十几年技术工作中，积累的部分胶水比与强度的样本的子样数据（Xi，Yi），并用列表和电脑分别拟合的 B 公式。仅27组数据对，样本很小，有可能受积累数据的局限性，影响公式的合理性，应尽可能接近事件的母体，从更大范围收集数据，用更大的样本拟合B公式似乎更具合理些。列宁还说过“要从事实的整体，从事实之间的联系中去掌握事实……如果不是从整体上，不是从联系中去掌握事实，如果事实是零碎的和随意挑出来的，那么它们就只能是一种儿戏，或者连儿戏也不如。”就是强调要从现实生产的整体﹙称为“母体”﹚或更大数据中去寻求事实的规律才更有说服力。为此，笔者以十年来《商品混凝土》杂志发表的论文为基础，收集水胶比与强度数据子样（Xi，Yi）249对。这其中有你、有我、也有他（她），可以说是业内各位专家学者同行十几年的共同积累，虽不能称之为总体，甚至也说不成是大样本，但在现有条件下与27对子样的样本相比，是相对的较大样本了。现在以此249个的胶水比为自变量（X）28天抗压强度为因变量（Y），用电脑重新拟合的大样本保罗米公式，试看其与小样本和规范及实际统计的差别（为了区别标注 B 公式大与 B 公式小），结果如下：

3.4.2“大样本”的 B 公式电脑拟合

对比小样本中的式（22）小、（24）、（25）数据，与用较大样本建立的B公式大相比基本一致。常数项回归系数K1，K2的偏差都不足2%。对 Y28估算和 B/W 的估算值计算没有影响。从大小两 B 公式对估计值计算的比较，自然是大样本的 B 公式大具有更大的覆盖率。两者的相关系数相比，B 公式大的 R2＝0.9419；B 公式小的 R2＝0.9587，数字相比有少许差别，查自由度 γ＝249－2＝247，临界值 γn＝0.1615。现｜γ｜＝0.9419＞＞0.1615，∴方程式（26）大与式（22）小都属于特别显著。

3.4.3以3.2C30为例分析混凝土 R28随机变量分布的特征

从表5中，列出249个以水胶比为自变量（X）和28天抗压强度为因变量（Y）原始数据的目的，借以观察混凝土抗压强度的不确定性数据的分布特点：在给定水胶比条件下，对应的并非一个且并不相同。如表中给定 W/B＝0.46的条件下，序号123～145中为水胶比皆为0.46的混凝土抗压强度值有24个，，与 C30用式（26）计算的 C30＝38.2MPa 相差甚少，且为正态分布，曲线略有点偏，这是因为样本小，远没达到接近母体要求的原因，抗压强度值均方差为 σ＝2.94MPa。

图4　电脑计算拟合 B 公式大直线图

表5　“大样本”的采集

序号W/BB/W强度序号W/BB/W强度序号W/BB/W强度序号W/BB/W强度330.6001.66724.5960.4702.12838.61590.4402.27342.52220.3402.94166.4340.6001.66728.0970.4702.12836.51600.4302.32639.52230.3303.03068.5350.6001.66725.4980.4702.12838.21610.4302.32644.02240.3303.03072.3360.5901.69523.8990.4702.12836.81620.4302.32643.52250.3303.03059.6370.5801.72428.21000.4702.12837.51630.4302.32642.62260.3203.12558.2380.5701.75427.41010.4702.12836.81640.4302.32642.12270.3203.12557.6390.5601.78631.91020.4702.12839.71650.4302.32640.22280.3203.12558.4400.5501.81831.21030.4702.12840.91660.4302.32638.22290.3203.12559.7410.5501.81832.51040.4702.12836.51670.4302.32642.72300.3203.12565.8420.5501.81828.91050.4702.12840.11680.4302.32642.52310.3103.22668.6430.5401.85233.41060.4702.12837.81690.4202.38143.72320.3103.22670.5440.5401.85230.71070.4702.12835.91700.4202.38144.02330.3103.22662.8450.5401.85232.31080.4702.12849.51710.4202.38148.52340.3103.22665.8460.5401.85235.11090.4702.12836.81720.4202.38145.12350.3103.22672.8470.5401.85232.71100.4702.12838.71730.4202.38144.82360.3103.22663.2480.5401.85234.91110.4702.12836.81740.4202.38145.62370.3103.22662.2490.5301.88728.71120.4702.12835.71750.4202.38147.22380.3003.33367.9500.5301.88729.51130.4702.12838.41760.4202.38141.22390.3003.33365.8510.5301.88732.11140.4702.12833.41770.4202.38140.62400.3003.33365.8520.5301.88734.71150.4702.12838.01780.4102.43942.92410.3003.33363.1530.5201.92329.21160.4702.12842.11790.4102.43946.02420.3003.33365.8540.5201.92329.61170.4702.12841.81800.4002.50044.42430.2903.44865.9550.5201.92327.81180.4702.12840.41810.4002.50045.32440.2903.44868.2560.5101.96133.21190.4702.12834.71820.4002.50047.62450.2903.44866.2570.5101.96130.81200.4702.12840.31830.4002.50044.92460.2903.44874.1580.5101.96129.51210.4702.12835.21840.4002.50045.22470.2903.44872.8590.5101.96133.81220.4702.12838.11850.4002.50046.72480.2703.70478.2600.5101.96133.81230.4602.17442.21860.3902.56446.82490.2703.70472.6610.5101.96135.11240.4602.17435.01870.3902.56445.2620.5101.96132.11250.4602.17435.51880.3902.56446.6630.5101.96128.31260.4602.17434.01890.3902.56450.0

图5　C30强度正态分布

图5平均值37.8MPa 出现的概率最高约为50%。

3.5B 公式的拟合可以用水胶（灰）比近似成反比吗？

瑞典科学家保罗米在170多年前将美国伊利诺斯大学的达夫•阿勃莱姆斯﹙Duff·Abrams﹚教授建立的混凝土强度与其水灰比成双曲线函数关系的A定则，简化为成的线性关系，从而使A定则的应用更为简单，这无疑是个进步。但自然会联想到，把阿波莱姆斯用的强度因子水灰比改为灰水比的做法有这个必要吗？这与习惯应用的水灰比，似乎多一层麻烦。因此，B 公式也许还可以用另一种形式。那就是混凝土强度与水灰比是否可成反比的一元线性回归方程？方法同上，直接以水胶比为自变量（Xi）与对应强度为因变量（Yi）列表，用上述电脑拟合的步骤得到。

混凝土强度与水胶比成反比的公式拟合结果见图6。

图6　混凝土强度与水胶比成反比的数学模型

从电脑绘制出的散点图看，斜直线穿过水胶比散点的较少，两端的散点在斜直线的以上（低强和高强混凝土的强度估计值较实际偏低），相关性检验值也从0.9419降到0.9149，说明混凝土强度与水胶比近似成反比的公式覆盖率相对较低，与直线的相关性没有与胶水比成正比的高。为验证其用性，试用3.2C30泵送混凝土用式（17）估算的 W/ B＝0.46比较，式（30）估算 C30水胶比：W/B＝(103.05-38.22)/134.72＝0.48，用式（17）和式（30）估算 C30水胶比，显然两者的水胶比估算（W/B）相差较大，表明：

（1）混凝土强度与胶（灰）水比近似成正比的一元线性回归B公式比用强度与水胶（灰）比近成反比的一元线性回归更贴近实际。保罗米之所以认为混凝土强度与胶（灰）水比近似成正比，而没用混凝土强度与水胶（灰）比近似成反比是经过慎重验证的，不是别出心裁。

（2）强度—水胶（灰）比近似成反比的一元线性回归方程，相关性有少许差别，但仍不失为相关性特别显著。因此，可称为混凝土强度与灰（胶）水比近似成正比，也可称之为混凝土强度与水灰（胶）比近似成反比，但在配合比设计应用中，混凝土强度与仍以水胶比成正比更贴近实际。另外，从历史的源头回顾这一结论，深感前人对科学的严紧态度很值得尊敬、学习。

3.6B 公式仍可用于现代混凝土

A 定则—B 公式提出的100多年来，是被混凝土实践证明了的符合生产实际的，并为已往混凝土的生产、技术发展和提高带来应有的理论依据。但对普遍使用高效减水剂和大掺量矿物细粉料的现代混凝土，原来的水灰比已改为水胶比的今天，它还能用于指导现代混凝土研究和配合比设计的吗？这是值得深入探讨的问题。为此，我们以 B 公式（26）估算各强度等级混凝土的水胶比与现代普通商品混凝土实际生产常用的水胶比作比较，试看表6。

表6　B 公式 ﹙26) 估算水胶比与实际生产的水胶比的对比

用 B 公式估算的普通商品混凝土各强度等级的 W/B，在C20～C55（W/B＝0.57～0.31）范围内与王元[8]对辽宁省百余家商品混凝土企业调查统计后，用1000多组水胶比与强度数据统计的结果 十分接近。也与笔者在近二十年中，从事商品混凝土技术实践的经验数据基本一致。说明：

（1）B 公式虽诞生于170余年前的干硬性、塑性的四组分混凝土，对于今天的流动性、大流动性的多组分混凝土的配合比设计与生产技术管理，仍有现实的理论指导意义，可直接用于现代普通商品混凝土配合比设计，不代入水泥强度及粉煤灰矿粉影响系数，亦可求出所要求配制强度的水胶比估计值；

（2）混凝土强度在 C20～C50范围内估算值与试验值基本－致，只是在 C10～C15和＞C50时，B 公式计算的W/B和 R28略有偏差，但均未超过5%。根据这一特点，在试验时对其进行适当的调整即可。另外，B公式对现代多组分混凝土应用范围不是缩小，而是进一步扩大，不再是早年认为的（C20～C40）B/W＝1.5～2.5，而是1.43～3.45。说明 A 定则—B 公式随时代的科技发展不是失去实用意义，而是进一步扩大适用范围，对现代混凝土发展仍有较强的理论指导意义。究其原理是：保罗米是把灰水比—混凝土强度的关系，近似简化成直线关系的数学摸型，建立在大量试验建立的线型数模和对不确定性数据运用最小二乘法数学原理基础上的，在理论上是严谨的。

（3）笔者拟合的 B 公式计算出的 C20～C50混凝土 R28和 W/B 估计值，之所以与辽宁省建科院王元根据1000多组调查得出的统计值殊途同归，完全一致绝不是偶然的巧合，它是反映当前我国南北方商品混凝土的整体水平，具有一定的客观现实性，不以人的主观意志为转移。这也说明 B 公式有其应用上的普适性。

（4）对最常用的 C25、C30的引气型混凝土用式（29）估算 W/B 与表中 ACI 推荐的 W/B 十分接近（特别是最常用的 C25、C30），差别主要在于样本取于不同的国家和年代以及 B 公式与 A 定则本来就是近似关系有关。

4　小结

（1）B 公式是对 A 定则的简化，两者没有质的区别。时代的发展、混凝土的科技进步、高效减水剂和矿物掺合料等的应用，都可在其样本子样（Xi，Yi）中得以反映，改变的是两回归系数，而 A 定则—B 公式的数学表达形式没有变化，仍可用于现代混凝土的配合比设计，有很强的现实指导意义；

（2）A 定则—B 公式是人类对混凝土认识从感性到理性进步的重要标志，他们的贡献应给予充份肯定。但随实践、认识、再实践、再认识的不断循环往复与发展，人们对混凝土强度的认识总是希望有所发现发展，认识永远不会停留在一个层面上，A 定则—B 公式出现新的演变是必然的。

[8] 王元．减水剂的应用对使用水灰比定则的影响[J]．商品混凝土，2013(3):1-6．

［通讯地址］上海松江区荣乐中路228弄北九峰小区152号302室（201600）

王永逵（1934—），前兰州铁道学院土木系建材室主任。