类比思想在数学中的应用

杜梦真

一、类比的含义

类比推理是从特殊到特殊的推理。是根据两对象具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一属性，从而推出另一个对象也具有与该属性相同或类似的属性的推理。其基础是对象与对象之间有某些相同或相似的性质。运用类比推理来启发思考所研究的对象具有某种关系或属性的方法称为类比法。

那么类比有哪些特征呢？（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在被研究中的事物的属性，它以已有知识作基础，喻出新的结果。（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性。（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但具有发现功能。

二、类比的类型

1.根据所依据的推理形式进行分类

（1）简单共存类比：它是根据事物的属性之间有简单共存关系而进行的类比。一般来说，由简单共存类比得到的结论，其可靠程度较高，但两种不同的事物毕竟有差别，所以，用这种类比得到的结论也不能保证完全正确。

（2）因果类比：它是根据事物的属性之间可能具有同一种因果关系而进行的类比。在数学中，运用因果类比较多，由问题条件的相似去猜测结论的相似就是运用这种类比。因果关系是一种必然的关系，所以因果类比有一定的可靠性，但由于一种原因可产生不同的结果，或同一结果也可能由不同的原因造成，所以有时也不能保证这种推理的结论一定正确。

（3）对称类比：它是根据事物的属性之间具有某种对称性而进行的类比。运用这种类比时，“相似性”“对称性”趣两个概念要作广义理解，即如果两个事物之间有某种对应关系，就可以理解为这两个事物相似。

（4）协变类比：它又称为数学相似类比。它是根据两个事物的对象之间具有某种确定的协变关系，即函数关系而进行推理的，由一事物具有某种属性推出另一个事物也可能有相似的属性。这种类比，由于它的根据是定量描述两个事物对象之间的相似关系，因此它比前面提到的类比前进了一大步，现代数学研究的对象和方法主要运用的就是这种类比。

（5）综合类比：它是根据事物的属性的多种关系的综合相似而进行的类比。

2.类比法在数学中的应用方式大致类型

（1）低维与高维类比：一般对高维问题的思索不及低维问题容易，因此为了解决高维问题，常先找出类似的低维问题加以比较，从对低维问题的探索中找到类似的方法与结论来解决高维问题。

（2）一般与特殊的类比：研究一个比较复杂的问题时，可以先解决这个问题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时所用的方法、所得的结论进行分析，把它与一般情况进行类比，研究在一般情况下能否作类似处理。

（3）数与性类比：在数学研究中，数和形的类比经常在两个相反的方向上得到应用：既可以通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又可通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。

（4）有限与无限类比：数学中有关无限的性质一般均可由与有限问题进行类比的方法提供线索，研究无限情况下的问题，常可设法先找出与此有联系的有限情况下的问题，然后把有限情况下的方法、结论类比到无限情况中去。

（5）离散与连续类比：数学中许多离散型问题可通过这种类比形式推广成连续型问题，而某些连续型问题的研究也可通过这种类比形式，借助相应的离散型问题的方法获解。

三、类比的作用

1.类比是提出新问题和做出新发现的一个重要源泉

类比法能提供一条线索，能帮助我们分析猜想，发现解决问题的途径，是扩大知识的范围、获得新知识的重要手段，在获得科学和数学命题中有重要作用。类比是提出数学猜想的一种有效方法，数学发展史上曾经运用类比方法提出不少猜想，并导致许多重大发现。

2.有助于探索解题思路

类比在求解数学问题中有着广泛的应用。类比是解题时把问题引向我们熟悉的类型的重要手段。运用类比法发现解题思路，就是通过观察和联想寻找与待解决问题相相似的熟悉问题作为类比对象，由于相似问题的解法也有一定的相似性，从而可以借鉴熟悉问题的解题思想和方法，去发现待解决问题的解题途径和方法。这样通过类比达到启发思路，提供线索，举一反三，触类旁通的效果。用类比法指导数学解题，关键在于寻找一个合适的类比对象。一搬来说，可根据数学题的不同特点，从题型结构、图形特征、有关性质、解题方法等方面进行类比，以寻觅恰当的类比对象。

3.有助于掌握数学知识

许多数学知识之间可以进行类比，教师应在教学中努力发挥类比法的作用。譬如，初中生在学习“分式”内容时，往往感到难学、难记，不会运用。如果学习这一内容时将分式与分数类比，则可收到良好的学习效果。

四、类比的局限性

类比与归纳一样，也是一种“合情理”推理，带有必然性，其结论正确与否，必须经过严格的证明。类比推理的结论判断的可靠程度取决于两事物的相似属性以及它们之间的相关程度。相似属性与相关程度越高，其可靠程度就越大。类比是一种猜测的方法，由此而得出的只是可能的结论，它既可能为真，也可能为假，因此不能不加证明地相信其为真。

五、类比与归纳、演绎的关系

类比与归纳的关系甚为密切，二者既有联系又有区别。从逻辑观点看，他们都是合情理的推理，都具有创造潜能，而且在探索与发现真理的过程中，类比常与归纳综合运用。当通过类比对已有结果加以推广时，所从事的常常就是归纳的工作。

类比与归纳在意义上差别很大，是两种不同的探索式思维形式。类比法的推理是从特殊到特殊，它是归纳法和演绎法的中间状态。演绎法只要前提正确，推出的结论就一定正确，但是演绎法推出的结论并没有超出前提的范围，不会得到新的一般原理；归纳法推出的结论不一定可靠，但是归纳法可以从许多事实中概括出新的一般原理，它是富于创造性的方法；而类比法推出的结论其可靠程度更差，但却是最富有创造性的方法。

（作者单位：河南省信阳市高级中学）