浅谈方程思想在初中数学中的应用

孔令先

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2016）08-0125-02

小学生接触的数学题是直接的、正面的利用题中数据直接建立等式，而方程思想则是需要设置未知数带入来建立的等式。在整个初中学习中方程思想开始有着大量的运用，这种方程思想对于其他的数学问题，也能进行巧妙地运用使题更加的简单。这就要求学生必须能熟练运用方程思想知识。

1 方程思想在销售问题中的应用

和其他的很多的数学方法一样，方程思想在教学中有很大的价值，是因为他能将教学中的理论联系实际原则进行实际的应用。

例1：某百货商店服装柜在销售中发现：“快乐”牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了庆祝店铺营业5周年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，每件服装每降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种服装上盈利1200元，那么每件服装应降价多少元。

解：每件服装应降价x元，依题意列方程思想（40-x）（20+2x）=1200x2-30x+200=0，解得x1=20，x2=10。为了尽量减少库存，所以取x1=20。因此综上每件服装应降价20元。

提示：降价问题中最应该注意的就是要弄清楚打折价，还有就是找到恒不变量——进货价格。其次降价问题是在人们生活中经常出现的问题，因此如果学生能熟练的用数学中的方程思想解题，不仅能增加对数学学习的兴趣，而且学会更多的将数学思想运用与生活中。

2 方程思想在路程问题中的应用

还有一种常见与实际贴近的题型是路程问题。特别的在物理中这也是一种常见的题型，下面主要就数学中常见的路程问题做分析。

例 2：在一次严重的地震后，某商家献爱心为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆A型货车、8辆B型货车运送，计划A货车比B货车每辆每次多运帐篷200顶，A、B货车每天均运送一次，两天恰好运完，求A、B货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

解：（1）设B货车原计划每辆每次运送帐篷x顶，则A货车原计划每辆每次运送帐篷（x+200）顶，根据题意，得2[8x+2（x+200）]=16800解得x=800，x+200=1000。答A、B货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶、800顶。

提示：本题考查了一元一次方程的应用，需要从题中提取有效信息，合理设立未知数，找到恰当的数量关系建立方程。

3 方程思想在代数问题中的应用

在代数中运用方程思想，常常有种柳暗花明的感受。先弄清楚代数中数或者说字母之间的关系，再根据题设未知数使代数式最终计算起来简单明了。

例3：现有两个同类的根式，，那么根据条件，求（a+b）ab的具体值是多少？

解：因为由题知两个代数式是同类根式，可得方程思想组 a+b=2

3a+b=4b解得a=1，b=1。所以（a+b）ab=2。

提示：在解这类题的思路是首先理清了数之间的关系，然后建立等式，再解出具体的数值，最后带入，使得题由繁化简。

4 方程思想在解析幾何问题中的应用

在解几何题时，常常题中是没有能给出具体的图形的，这首先就要考察学生对数形结合的熟练，其次也是很考察学生的利用图形来找等量关系。特别是在结合中隐藏的比例，和熟练的应用几何中的概念、定理、性质来设未知数建立方程思想。

例4：已知点M（a，b），现过点M作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于E点，l2交y轴于F点，求线段EF的中点O的轨迹方程思想。

解法一：设点M（x，y），则点E（2x，0），点F（0，2y），因为l1⊥l2，所以2|MO|=|EF|，又因为|MO|=，|EF|=，所以 2=，因此可得出所求点O的轨迹方程思想为2ax+2by-a-b=0。

化简可得所求点O的轨迹方程思想为2ax+2by-a2-b2=0。

提示：遇到垂直问题，常利用垂直的两条直线的斜率之积等于-1解题，但首先须讨论斜率是否存在。本题解法一、二分别利用直角三角形的性质、勾股定理求解，解法简捷。

5 方程思想在函数问题中的应用

函数和方程思想在初中常常是千丝万缕的关系，他们之间是能很好的相互转换的。

例5：在学校上体育课的时，高一一男同学准备扔铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果这名男同学出手处K点的坐标（0，2），铅球路线的最高点处O点的坐标为（6，5），求二次函数的解析式。

解：设这个函数的解析式为y=mx2+nx+q。因为O点的坐标为（6，5）是二次函数的最高点坐标，则x=-=6。再将K、O两点坐标带入函数的解析式，可得关于m、n、q的方程组

提示：本题是由函数来建立的方程组，然后由方程组来确定函数的表达式。

作为现代数学教师就要在教学时更加注重方程思想的教学。可以从六个方向来培养学生的用方程思想解应用题的能力：一是使学生充分了解方程思想的概念，形成用方程思想解题的意识；二是加强与巩固学生对基本的数量关系的掌握；三是培训学生掌握方程思想问题的分析方法；四是从多个角度练习如何巧设方程思想的未知数；五是从多种题型中来加强学生寻找等量关系的能力；六是分步骤来加强学生解方程与方程组的能力。方程思想教学作为一个难点，教师要按照前述六个方面逐渐培训，让学生形成方程思想，具备用方程思想解题的意识，帮助学生牢固地掌握基本的数量关系，让学生懂得寻找等量关系的技巧，学会解决方程思想问题的一些常用方法，有了这个基础才能使学生有效的分析方程问题，并找出里面的等量关系列出方程去解决方程问题。方程思想显然是那些最基本的解题工具之一，也是数学科学的基础，应当让学生重点理解并掌握。作为一种重要的解题方法，方程思想有着明显的数学方法论意义，让学生了解方程思想在数学方法论上的意义，以及它在整个数学学习中的地位，对真正理解、掌握方程思想有着积极的意义。充分调动学生学习的主动性、积极性，提高学生学习的应用题兴趣，整体提升学生列方程解应用题的能力。