定理（公式）教学的优秀案例分析

赵红芳

定理、公式教学在数学教学中占有很重要的地位，而精心的教学设计在课堂教学更是有突出的作用。文章将借助优秀的案例，从三个方面对定理、公式教学设计进行分析。

1.定理（公式）教学在课堂教学的地位

2.定理（公式）教学的几个基本环节

3.定理（公式）教学的主要环节研究以及每个环节要注意的问题。

新课标中指出：数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的一门工具学科，不仅是自然科学和技术科学的基础；也是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。

“素养”比能力的含义更为广泛，它与能力的不同点表现为：能力既可以是与生俱来的，也可以是后天形成的；素养则是“可教、可学、可测”的，是经后天学习获得的，它可以通过有意地人为教育加以规划、设计、培养，是经由课程教学引导学习者账期习得的。从素质改进为素养，再到现在的核心素养，这在教育理念上来说非常大的进步，同时也为我们的教育指明了方向。

新课标对中学数学教学要求是三维目标，这就是我们进行教学设计的努力方向。如何引导学生运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，我们在教学设计中要认真进行研究。

第一部分：定理（公式）教学在课堂教学的地位

定理教学是数学教学的主要内容，是数学的基础知识，是运算的主要依据，是证明后继命题的依据。在解答和论证数学问题时离不开定理公式。定理本身的推证也是传授数学思想、数学方法，培养数学能力的基本手段，一个定理掌握的好坏，对提高分析和解决数学问题的能力起着至关重要的作用。

传统的教法是先出示定理公式的内容，接着就介绍定理公式的运用，学生只是被动地接受定理公式，对于定理公式的得来很是突兀，甚至学生都未分清楚定理的条件和结论，更不用说提高学生的推理能力和自我学习能力。

从教育与发展心理学的特点出发，定理与公式教学的基石是探究发现：通过一类具有本质共性的个体解决，抽象概括，得到此类问题一般性条件与解决的基本范式，进而得到基本定理与公式。重视学生数学原理的认知生成、探究过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性。

第二部分：定理（公式）教学的几个基本环节、

一般而言，定理与公式的教学应经过以下几个环节：

1.中心问题提出；

2.通过典例同类问题，引导学生探究个体解法；

3.把握共性问题本质与解决问题的共性特征，归纳出解决普遍性问题的一般性经验方法；

4.给出教材定理公式；

5.对定理公式精加工，包括条件、定理中的关键词、逻辑意义以及记忆方法进行深入而细化的分析；

6.结合例题或习题，帮助学生形成应用公式、定理解题的规范性步骤与技能；

7.定理公式的精练；引导学生建立良好的知识结构，深刻把握公式定理背后所蕴含的数学思想方法与一般性策略。

第三部分：定理（公式）教学主要环节研究

定理公式教学在数学课堂教学中有着重要的基础性的地位，我们在做课堂教学设计的时候必须下足功夫、做足文章，让定理公式教学达到最好的教学实效。改变原有的教学方式，用新的理念指导教学，做好定理公式教学，以提高学生数学能力为目标。为了真正实现此目标，我从以下三个主要环节进行分析。

1.定理的引入

定理是人们在观察的基础上通过比较分析、归纳概括成命题，再加以证明而得到的。因此，在引入定理公式时，我们应该遵循上述的客观规律，即根据教和学的实际，提出问题，创造情境，引导学生观察、猜想去发现定理公式。这样引入不但使学生对定理印象深刻，而且对学生的数学能力培养是极有好处的。同时也体现了教师为主导、学生为主体、训练为主线的教学思想。具体做法有

以下：

（1）通过实例引入。

案例1：九年级在讲“垂径定理”在引入时，可提出这样一个实际问题：赵州桥历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。它的主桥是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，我还若想知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我设计一个方案并计算吗？

显然，学生用旧知识是无法解决。因此。我们必须继续学习，从而引出“垂径定理”。

（2）通过模型引入

案例2：七年级讲“同位角相等，两直线平行”的定理时，教师引入时，可设问启导：平面内两直线在什么情况下可以平行？显然用“永不相交”来判定是没有可操作性的，于是可引导学生制作“三线八角”的模型，并转动其中一条被截直线，在转动的过程中发现“同位角相等，两直线平行”的判定定理。

如图，三根木条相交成∠1、∠2，固定木条b、c，转动木条a ， 在木条a的转动过程中，∠1与∠2的大小关系发生了什么变化？木条a、b的位置关系发生了什么变化？

建构模型：三线八角

（3）通过作图引入案例：九年级讲“经过三点的圆的定理”引入时，教师可这样教学，过一点可以做无数圆，过两点可以做无数圆，均让学生在动手作图中去体会，圆的确定是由圆心的位置和圆的半径大小确定的，进而提出作图要求：过三点能否做圆？若能，可以做几个？然后指导学生通过画图，发现定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。

（4）通过计算引入

案例：九年级在讲“韦达定理”在引入时，教师可提出问题：已知下列四个一元二次方程以及它们的根，请大家计算每一个方程的根之和、之积，并观察、思考它们与方程中的系数有什么关系？

方程 根 两根和

（） 两根积

（）

2 3 5 6

-3 6 3 -18

-1 -4 -5 4

1 -3 -2 -3

通过计算，用不完全归纳的思想，猜想估计从而引入“韦达

定理”。

2.定理的证明或者验证

在数学中，定理证明是一种思维形式，它是从题设出发，通过已知的概念或者真命题来判断被证命题真实性的推理过程，在教学时必须做到以下几点：

（1）分清定理的条件和结论，尤其是有些定理存在逆定理，更要引导学生分析清楚。

案例：勾股定理：条件是直角三角形。结论是：两条直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理逆定理：三角形的三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方。结论是：这个三角形是直角三角形。

很多学生学完这一部分，脑子里留存的东西仅有一个等式：，甚至对代表什么都不理解，这就导致在应用的过程中，稍作变式就又是完全不会。

（2）在定理证明时，教师不能照抄课本上的过程，而应该将定理的证明过程设置成问题，引导学生思考，并拾级而上，让学生深刻理解证明过程。

案例1：勾股定理

我曾听过一个刚参加工作的新教师对勾股定理的一个处理：直接给出勾股定理，教给学生如何应用。定理的应用着实是最后的归结，但定理的证明、验证过程的中数学思维培养和能力提高却是完全没有实现的。

数学教学要培养学生的计算能力、数学论证乃至数学决策等三大能力，而勾股定理教学正是一个恰当的例子。一直以来，勾股定理的教学备受关注，有人称“勾股定理是教学改革的晴雨表”。从20世纪五六十年代数学课程中的严格论证，到后来提倡“量一量、算一算”，再后来“告诉结论，做中学”，到现在的探究式等，勾股定理的教学见证着教改的“春花秋月”。

“量一量、算一算”的探究模式，试图设置一个动手情景，让学生在做中学，但这样测量计算的办法受到数学测量精确性的制约，又局限于数据的多少限制。实际上，特殊数据成立直接暗示，无异于告诉学生事实。所以此方法科学的探究方法。我们不管如何探究勾股定理，都必须体现“猜想—证明”这种数学思想方法的本原性意义。

回顾自己以前教勾股定理，主要采用欧几里得的等积变形进行证明。无论是弦图、还是总统证法，都是采用等面积变形的方式推导出了勾股定理。这种构思巧妙真很令人折服，但技巧性太强，难度太高，与新课程倡导的探究式学习方式不符。所以一直起到更好的探究方式出现。直到我校去年一节数学拓展课《拼图与勾股定理》。

教学引入时用一段视频，上海科技馆的一个勾股定理立体验证试验。

如图，我们可以看到中间是一个黄色的直角三角形，它分别以直角三角形的三边为底做了一个底面是正方形的长方体。在这几个长方体中有蓝色的液体。当旋转这个的时候大家可以看到，两个小长方体中的液体全部进去大长方体中。可以说明，两个小长方体的体积之和等于大长方体的体积，而这三个长方体的高是一样的，因此我们可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，由此我们验证了勾股定理。

用流水实验探究两个小长方体的体积等于一个大长方体的体积。这个实验利用水的流动性转移面积的实验，巧妙地利用等高条件，将面积关系的比较转化为体积比较，实验的直观性和效果都非常。根据体积与面积的分析，不用数字计算就可验证勾股定理。这自然也成了本节课新亮点。

（3）要帮助学生总结定理公式的推证方法。在数学教学中，重要的推证方法都是伴随着定理的证明或者推演例题逐一介绍给学生的。其中有的方法教材中已经给出名称，例如九年级在将圆内接四边形判定以后，总结出了反证法，在讲一元二次方程解法是就提出了配方法、换元法等等。 这些重要的数学方法，应该帮助学生很好的掌握。还有一些重要的数学思想、数学方法，例如转化思想、函数思想，辅助线添加等等，在教学中教师应该明确指出，让学生逐渐体会、掌握。

3.定理的应用

学生利用定理公式解题时，主要问题实在很多情况下不能联想到有关定理公式，对所需定理共识的基本特征、主要变式不熟悉。建议可以采取以下措施：

（1）在讲完定理公式证明后，要对定理公式进行“变式”处理。即改变题目的条件和结论的形式，改变图形的位置和形状，对学生进行训练，可加深学生对定理的理解。

（2）在应用定理公式之前，要对定理公式的应用范围以及条件结论知己恩的逻辑关系进行明确，从而加深学生对定理的理解。

（3）再讲定理应用时，关键是要选好例题，例题选取要有代表性，要由易到难，要有满足条件的正面的例子，也要选一些不适合订立的反例，对学生进行训练，客厅搜学生思维的变通性和鉴别能力。

新课标对中学数学教学要求三维目标，这就是我们教学设计的努力方向。引导学生对原理进行积极探究，把握探究过程，才能真正提高他们的思维能力，培养他们对数学的热爱。教学过程不仅仅是传授知识的过程，也是学生学习水平提升与认识策略优化的过程，在某种程度上讲，教是为了不教，教师为了更好地学。