引潮位展开的不同规格化形式及其转换

雷伟伟 张捍卫 孙 茜

1 河南理工大学测绘与国土信息工程学院，焦作市世纪大道2001号，454000



引潮位展开的不同规格化形式及其转换

雷伟伟1张捍卫1孙 茜1

1 河南理工大学测绘与国土信息工程学院，焦作市世纪大道2001号，454000

在引潮位展开过程中，为使大地系数的数值在不同阶次中保持相对稳定，对其进行规格化处理。从引潮位的基本理论公式出发，在分析缔合勒让德函数及其完全规格化的基础上，给出了引潮位展开中3类不同规格化(Doodson规格化、Cartwright & Tayler规格化、Hartmann & Wenzel规格化)公式的具体形式，得到3者之间的转换关系与转换系数。同时给出Doodson规格化中2～6阶规格化因子的具体数值，指出并改正Doodson、Roosbeek文献和IERS 2003、2010规范中的3处错误。

完全规格化缔合勒让德函数；大地系数；潮波分量；规格化因子；IERS 规范

引潮位展开是地球物理、空间科学、天文/测地学研究的基本理论问题。Doodson[1]首先基于勒让德函数和球面天文学的相关理论，通过对引潮位理论公式进行演绎推导，实施了引潮位的完全解析展开。Cartwright等[2]、Hartmann等[3]、Kudryavtsev[4]对引潮位的理论数值序列进行频谱分析，得到潮波分量的频率和振幅。在展开过程中，学者们均将引潮位统一表达为“大地系数”与“潮波分量”之积的形式，其中“大地系数”由两部分组成，分别为测站地心纬度φ和测站地心距r的函数。各阶次中与r相关的函数极值均约等于1，而与φ相关的函数极值变化甚大。为使“大地系数”的数值在不同阶次中保持相对稳定，在各展开过程中都对“大地系数”进行了规格化处理。规格化方法主要有3类：Doodson规格化、Cartwright & Tayler规格化、Hartmann & Wenzel规格化。

郗钦文[5]研究了前两类规格化之间的转换关系，给出了2～4阶的Doodson规格化因子与转换系数的具体数值。IERS规范[6-7]给出了2～3阶的各规格化之间的转换参数，但个别参数有误。这些转换参数都是通过对“大地系数”各阶次的具体展开式进行比对后得出的，并未从理论层面揭示出转换参数的内在实质。本文拟从引潮位展开的理论公式出发，通过对3类规格化方法本质的描述，揭示3类方法间的内在关系，并给出转换参数的一般化公式形式。

1 理论公式

某历元天体对地面某测站点总的引潮位V为[8]：

(1)

式中，GMJ为万有引力常数与天体J的质量之积，RJ、r分别表示天体、测站点的地心距，ZJ为天体与测站之间的地心天顶距：

cosZJ=sinφsinδJ+cosφcosδJcosHJ

(2)

(3)

式中，(αJ,δJ)、(λ,φ)分别表示天体、测站点在地心参考系中的地心经度、地心纬度，HJ为天体的地方时角。

2 各规格化公式

2.1 Doodson规格化公式及其展开式

定义Doodson常数DJ为：

(4)

式中，a为地球参考椭球长半径，cJ为天体J到地球的平均地心距。

将式(1)改写为：

(5)

表1 2～6阶的

2.2 Hartmann & Wenzel规格化公式及其展开式

由文献[9]可知：

Pn(cosZJ)=

(6)

故文献[3]将式(1)表达为如下形式：

(7)

2.3 Cartwright & Tayler规格化公式及其展开式

(8)

并将式(1)改写为：

(9)

3 各规格化公式之间的转换

3.1 Doodson规格化与Hartmann & Wenzel规格化之间的转换

将式(7)改写为：

(10)

(11)

因此，Doodson规格化与Hartmann & Wenzel规格化之间的转换关系为：

(12)

式(5)是将式(2)代入Pn(cosZJ)展开式后合并同类项得到的。事实上，根据式(6)，Doodson规格化公式的本质为：

(13)

3.2 Hartmann & Wenzel规格化与Cartwright & Tayler规格化之间的转换

将式(8)改写为：

(14)

将式(9)改写为：

(15)

对比式(7)与式(15)，即可得到Cartwright & Tayler规格化与Hartmann & Wenzel规格化之间的转换关系：

(16)

3.3 Doodson规格化与Cartwright & Tayler规格化之间的转换

将式(15)继续改写为：

(17)

对比式(13)与式(17)即可得到Doodson规格化与Cartwright & Tayler规格化之间的转换关系：

(18)

该转换关系也可以通过式(12)、式(16)间接得到：

(19)

4 结 语

在引潮位展开中存在Doodson规格化、Cartwright & Tayler规格化、Hartmann & Wenzel规格化3类不同的规格化方法。郗钦文[5]给出了Doodson规格化与Hartmann & Wenzel规格化之间的转换关系，并给出了2～4阶的Doodson规格化因子与转换系数的具体数值。本文是对郗钦文[5]工作的扩展，不仅给出了引潮位展开中3类不同规格化公式的具体形式，还由此得到3类不同规格化方法之间的转换关系与转换系数。同时给出了Doodson规格化中2～6阶规格化因子与转换系数的具体数值，指出并改正文献[10]和IERS规范[6-7]中的两处错误。

[1] Doodson A T. The Harmonic Development of the Tide-Generating Potential [J]. Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1921, 100(704): 305-329

[2] Cartwright D E, Tayler R J. New Computations of the Tide-Generating Potential [J]. The Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1971, 23(1): 45-74

[3] Hartmann T, Wenzel H G. The HW95 Tidal Potential Catalogue [J]. Geophysical Research Letters, 1995, 22(24): 3 553-3 556

[4] Kudryavtsev S M. Improved Harmonic Development of the Earth Tide Generating Potential [J]. Journal of Geodesy, 2004, 77(12): 829-838

[5] 郗钦文. 不同规格化的引潮位展开及其转换[J]. 地球物理学报，2007, 50(1): 111-114(Xi Qinwen. Expansion of the Tidal Generating Potential in Different Normalizations and Their Convention [J]. Chinese Journal of Geophysics, 2007, 50(1): 111-114)

[6] McCarthy D D, Petit G. IERS Conventions (2003), IERS Technical Note 32 [R]. Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, 2003

[7] Petit G, Luzum B. IERS Conventions (2010), IERS Technical Note 36 [R]. Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, 2010

[8] Melchior P. The Tides of the Planet Earth[M].Oxford:Pergamon Press, 1983

[9] Hofmann W B, Moritz H. Physical Geodesy [M]. NewYork:Springer, 2006

[10]Roosbeek F. RATGP95: A Harmonic Development of the Tide-Generating Potential Using an Analytical Method [J]. Geophysical Journal, 1996, 126(1): 197-204

About the first author:LEI Weiwei, lecturer, PhD candidate, majors in geodesy, E-mail: geodesy@163.com.

The Different Normalization Forms of Tidal Generating Potential Development and Their Transformation

LEIWeiwei1ZHANGHanwei1SUNQian1

1 School of Geodesy and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, 2001 Shiji Road, Jiaozuo 454000, China

In the Tidal Generating Potential (TGP) development process, the geodetic coefficient is normalized in order to maintain the relative stability of its value among different degrees and orders. At present, there are three main normalization methods: Doodson normalization, Cartwright & Tayle normalization, and Hartmann & Wenzel normalization. The specific formulas of these normalization methods in TGP development are derived from the basic theoretical formula of TGP, along with analysis of the associated Legendre’s functions and their full normalization forms. On this basis, the transformation relationships and coefficients among the three methods are obtained. At the same time, the specific values of the 2～6 degree and order normalization factors in Doodson normalization are given, while three errors in the treatise of Doodson and Roosbeek and in the IERS 2003,2010 Conventions are pointed out and corrected.

fully normalized associated Legendre functions; geodetic coefficient; tidal wave component; normalization factor; IERS conventions

National Natural Science Foundation of China, No.41474021; Surveying and Mapping Basic Research Program of NASMG, No.15-01-05.

2016-01-11

项目来源：国家自然科学基金(41474021)；国家测绘地理信息局测绘基础研究基金(15-01-05)。

雷伟伟，讲师，博士生，主要从事大地测量学研究，E-mail: geodesy@163.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.016

1671-5942(2016)012-1105-04

P223

A