高三数学例题选取原则的研究

陈亮

高三数学学案是组织高三数学课堂的一种重要教学手段和工具，是教师综合各方面的因素以及本节课的教学任务编制的具有实用性及可操作性的资料.例题作为学案的重要的组成部分，在学案中的作用是毋庸置疑的.选用什么样的例题、所选取例题的质量如何，直接关系到课堂教学效果和教学质量.特别是在学讲模式的大环境下，如何编制一份质量上乘的学案，就要恰当地选取例题.例题的选取要注重一下几个原则.

一、科学性的原则

所谓科学性原则是指例题的选取规范，要做到语言简洁准确、无歧义；标点符号使用要正确、图形要规范清晰，没有科学性的错误.例题的选取一定要遵循科学性的原则，避免出现错题，以免对学生产生误导.如某中学的月考试题：

例1已知cosα=35，cos（α+β）=-1213，且α，β∈（0，π2），则cosβ=.

解析cosα=35，cos（α+β）=-1213，α+β∈0，π，所以sinα=45， sin（α+β）=513. cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-1213×35+513×45=-1665.由于α，β∈（0，π2），所以cosβ>0，而求出cosβ<0，故本题是错误的.在编制本题就犯了科学性的错误，这样就对学生后面试题的处理带来了消极的作用.

二、适应性的原则

高三数学学案编写的主体是高三学生，学案的编写要适用这一主体.为了更好的适用，在编制时要注意从以下三个方面入手：一是校情，即要根据本校学生的具体情况以及本校的整体水平.如一个三星级或者三星级以下学校，那么在例题的选取上就要注重基础性的例题.如一个四星级的学校在例题的选取上就要侧重于提升类的题目，要有些难度.

例2已知函数f（x）=ex-a（x-1），其中a∈R，e为自然对数的底数.

（1） 当a=-1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2） 讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；

（3） 已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值.

解析这是一道有关导数性质与应用的例题.前两问考查了运用导数求切线方程，以及讨论含参的函数的单调性的问题.属于中档性题目，第三问考查了复杂的含参的讨论，难度较大.对于本题三星级或者三星级以下学校就可以选取本题的前两问，四星级的学校就可以加入本题的第三问.二是学情，即一定要考虑本班学生的实际情况.教师一定要掌握本班的学生具体情况，制定适合本班级使用的学案.三是学案的编写一定要符合《数学新课程标准》和《考试大纲》.要从两个方面入手：一是例题的选取不能超出《数学新课程标准》和《考试大纲》，对于当中不做要求的内容，就不要选取，如知识点三视图、线性回归方程等.二是了解《考试大纲》中对各个知识点的要求，对于考点中的A级要求，A级要求主要考查学生对知识点的了解，对于这样的知识点教师要做到不引、不挖、控制难度.

三、可塑性的原则

学案例题的选取要有助于培养学生灵活的解题能力、应变能力和发散思维等各个方面的能力.能够熟练地运用所学知识灵活地解决问题.因此，选取的例题要具有可塑性和可变性.要注重变式教学和一题多解的训练.如在讲解《基本不等式》一节时：

例3已知正数x，y满足x+2y=2，则（x+8y）/（xy）的最小值为.

变式1已知正数x，y满足（x+8y）/（xy）=1，则x+2y=.

变式2已知正数x，y满足x+8y=xy则x+2y=.

变式3已知a，b为正数，且直线 ax+by-6=0与直线 2x+（b-3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值为.

例4已知函数y=ax+b（b>0）的图象经过点P（1，3），则

4a-1+1b的最小值为.

解法1 （基本不等式法）由图可知a>1，点（1，3）在函数y=ax+b的图象上，所以 a+b=3，且1

所以4a-1+1b=12×24a-1+1b=12[（a-1）+b]4a-1+1b=125+4ba-1+a-1b≥92.

当且仅当4ba-1+a-1b，即a=73，b

=23时取等号.所以4a-1+1b的最小值为92.

解法2（三角代换法）由解法1可知a+b=3，且1

a-12+1b=1.令

a-12=cos2θ，b2=sin2θ，所以4a-1+1b=

2cos2θ+12sin2θ=2（1+tan2θ）+12（1+cot2θ）=52+2tan2θ+cot2θ2≥92.

以下同解法1.

解法3 （判别式法）由解法1可知a+b=3.令u=4a-1+1b=4a-1+13-a，去分母整理得ua2-（4u+3）a+11+3u=0.因为a∈R，当u≠0时，Δ=（4u+3）2-4u（11+3u）=4u2-20u+9≥0，解得u≥92或u≤12.又因为u=

4a-1+13-a>2+12=52，所以u≥92.当a=73，b=23时，u=4a-1+1b=92，所以4a-1+1b的最小值为92.

例3体现了变式教学，考查了“1”的运用.例4体现了一题多解.两个例题充分考查了基本不等式中各个知识点和典型例题的解法和技巧.

四、系统性的原则

高中数学学案的编制无论是内容还是结构一定要体现知识的完整性和系统性，在例题的选取上一定要尽量体现本节课所涉及的知识点.如在讲解《导数的应用》一节，本节课主要涉及的知识点有：

1.运用导数求函数的单调区间；

2.运用导数求函数的极值；

3.运用导数求函数的最值等.

因此，本节课可以选取例题：

已知函数f（x）=lnx-x-ax，a∈R.

（1） 当a=0时，求函数f（x）的极大值；

（2） 求函数f（x）的单调区间；

（3） 当a>1时，设函数g（x）=|f（x-1）+x-1+ax-1|，若实数b满足b>a且g

bb-1=g（a），g（b）=2g（a+b2），求证：4