对数学校本化作业之试题命制的思索

蔡振树

命题是中学教师平时教学工作的一个重要环节，同时也是教师专业发展的重要支点.对数学学科而言，一道好的试题的命制，往往是教师辛劳的付出，当然也是一份收获.试题是数学作业的重要组成部分，其校本化就是为将先进的教育思想、课程方案加以具体化、行为化.好的题目能发挥其学习考查功能，对提升教学和复习有效性也是大有裨益的.因此，在教学中如能加强试题命制方法的研究，既是平时教学的需要，更是高考复习的重点，做到知己知彼，定能百战不殆！

一、命制的依据

校本化作业之试题命制，它的直接依据应该是课程标准及考试说明，命制时要以中学数学基础知识为载体，立足数学学科本质，坚持从学科的整体意义上选材立意，坚持能力立意，全面考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.

同时追求合理的知识结构和能力层次，注重发挥开放性、探索性试题的评价功能.试题应体现“基础”、“交汇”、“能力”、“应用”、“探究”、“开放”、“数学本质”、“数学文化”等关键词.命题的目的是通过试题的功能来巩固所学数学知识和提高数学学习素养，以及检测学习效果，实现学习目标.

二、例说校本化作业之试题的命制方法

1.由历年高考试题改编而成

对历年高考试题的结论进行改造、类比、推广、迁移是快速得到好题的一个途径.当然如能在本质上加以改造更是优异，尤其是针对学生实际，注重校本化研究，提高学习的有效性.这是平时教学研究和练习巩固等最常采用的方法.

例1某学校高三年级共有500名同学，在某次数学单元测试中，成绩的频数分布表如下：

（Ⅰ）用分层抽样的方法从成绩在120，130，130，140和140，150的同学中共抽取5人，其中成绩在120，130的有几人？

（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的5人中，任取2人，求成绩在120，130和130，140中各有1人的概率；

例题1来源自2013年高考广东卷的题目：从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）

频数（个）5102015

（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？

（Ⅲ） 在（Ⅱ）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率.

2.在教科书中寻找题源背景

教科书的各个角落都可成为命题出发点，对其进行深入的改造，可得到很好的适合校本的好题.教材的许多素材可以作为试题的背景，或者对其进行二次改编可得.

例2图中三角形称为Sierpinski三角形，其中第n个三角形中的黑色小三角形的个数为an，等差数列bn满足：b1=a2，b4=a3.

（Ⅰ）求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）写出数列an的一个通项公式，并求数列an+bn的前n项和Sn.

例题2就是来自如下课本的问题，选取其为背景，设置数列的基础问题，考查其通项公式及求和.

以教材问题为背景来自课本的灵感的试题在高考题命制中也经常发生.如2013年高考福建卷的题目：如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…A9和B1，B2，…B9，连结AC⊥PB，过E做PC轴的垂线与OBi交于点Pi（i∈N*，1≤i≤9）.

（Ⅰ）求证：点Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；

（Ⅱ）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程.

本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想.这试题就源自于普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》习题2.2B组第4题：

如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6.E，F，G，H分别为矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点.请证明ER与GR′、ES与GS′、ET与GT′的交点L，M，N都在椭圆x216+y29=1上.

3.在知识交汇处寻找亮点

考试大纲明确指出：“注重学科的内在联系和知识的综合”，“强调知识之间的交叉、渗透和综合，体现综合性 ”，因此在各知识网络的交汇处设计试题，也将是命题的必然趋势.一般地，每一个试题都有一个主考知识点与几个次考知识点构成.如今的趋势，常常冷热交织，“热”即主干知识，“冷”即非主流考点.

例3四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，用斜二测画法画水平放置的底面ABCD的直观图是如图所示的平行四边形A1B1C1D1（其中O′D1

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）若点E在PC上，且PA∥平面EDB，试问当侧棱PD多长时，才能使得四面体E-BDC的体积等于32？

本题考查的是立体几何的基本问题，研究空间几何的平行与垂直位置关系，它把高考中少见的直观图问题嫁接进来设置试题，试题由直观图与立体几何问题自然交汇而成，不失为一道好题.

4.从期刊杂志中获取灵感

中学数学期刊杂志的文章中，有对各种数学结论的探究，有对各类试题的研究评价等，只要认真研读，或许其中的某一个点就能激起的思维的火花，成为命题的落脚点，切实做好试题命制的校本化.

例4已知点M到点F1，0和直线x=-1的距离相等，记点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作相互垂直的两条直线l1，l2，曲线C与l1交于点P1，P2，与l2交于点Q1，Q2.

证明：1P1P2+1Q1Q2=14；

（Ⅲ）圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性. 在（Ⅱ）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论.请你写出关于椭圆Γ：x24+y23=1的一个相类似的结论（不需证明）.

本题来自《数学通讯》中一道日本高考题，受其启发，改编背景和设问方式，并进一步加强得到一般结论，体现由特殊到一般的数学思想.

5.应用多媒体工具发现结论

几何画板、超级画板、Microsoft Visio等作图软件是命题者进行数学探究，发现数学结论的重要工具.通过这些作图软件进行图形绘制，得到的图形十分精准、直观，修正改动时也更加直接、方便.在例5的命制过程中，笔者就是借助几何画板，研究函数y=lnx+x与其切线的关系，从而观察出三个结论，进而命制成题的.

例5已知函数fx=lnx-ax在点A1，f1处切线为l.

（Ⅰ）当切线l的斜率为2时，求实数a的值；

（Ⅱ）证明：无论a取何值，函数fx的图象恒在直线l的下方（点A除外）；

（Ⅲ）设点Qx0，fx0，当x0>1时，直线QA的斜率恒小于2，试求实数a的取值范围.

三、对教学的启发

课本是数学学习的重要载体，特别是在新课的教授阶段.很多试题在课本中都能找到题源.因此校本化的一个不变的原则就是“源于课本，又不囿于课本”.我们必须重视课本知识的回顾和整理，对课本知识重新认识，挖掘其更深层次的内容，充分发挥课本上的例题和习题的典型作用，二次进行开发，进而提高学习效率，达到事半功倍的学习效果.克服脱离教材的“题海战术”，取材于教材习题的合理改造是校本化的重要方式，因而课本还是学习的根本.

夯实数学基础知识，注重校本实际.通过基础知识的掌握，加深对数学思想的理解，从而强化数学意识，掌握解题方法，提高解题能力，积累解题信心，以不变应万变，兵来将挡，水来土掩.要全面落实课程标准，不随意忽视所谓的“冷门知识”.知识的交汇就是创新，通过在交汇处命题是跳出“模式化”的关键，是需要深入研究的教学立足点，是更高层次的校本化.

基于作业校本化下的试题命制要求教师根据学生学习水平的差异，针对性地在各层次学生的最近发展区之中设计一定量的题目，进而调动学生学习可能性的易变因素，使作业与学生学习可能性相互适应.通过有计划地实施以后，使不同层次的学生都在原有的基础上获得较好的发展，达到激发学生学习兴趣的目的，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，改变学生的学习现状，提高学生学习的有效性，真正起到使每一个学生都能得到充分发展的目的.