漫话数列

每个人几乎在上幼儿园之前就开始学数数了，1，2，3，4，5，…，按一定的次序数下去。也可以这么说，我们与数学的最初接触是从数列开始的。

数列的概念一点也不深奥，但思考与数列有关的问题却能显示出无穷的智慧。在求1，2，3，…，n这n个自然数的和时，人们总习惯于将它们依次相加。18世纪“数学王子”高斯，小小的年纪却发现了令人拍案叫绝的方法。这种配对相加，几乎每个人一见就明白；但却如同被薄沙覆盖的钻石，多少人在它面前经过，竞无人拂去尘土，让其绽放光彩。真是太不可思议了。

其实，人类对数列的研究很早就开始了。有关数列的古老话题，在阿拉伯、古印度、中国、古希腊等数学史藉中均有记载，分布十分广泛。如在古巴比伦的泥版上就记有一串神秘的数字，翻译成今天的记法如下：

1，4，9，16，25，36，49，1·4，1·21，2·24，…，58·1。

这一串数是什么意思？它包含了怎样的规律？长期以来人们猜测纷纷。最终用古巴比伦的60进位制才获得了令人信服的解释，原来是这样：

1·4=60+4=64=8²。1·21=60+21=81=9²，…，58·1=58×60+1=3 481=59²。

这串数表示的就是数列：1，2²，3²，4²，5²，6²，7²，8²，…，59²。把这一串数相加，就是历史上非常有名的自然数的平方和。

古代《易》中有“是故《易》有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，《庄子·天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这里面包含了今天我们研究的等比数列，甚至是无穷等比数列。中国的《九章算术》、西方的欧几里得《几何原本》中都有丰富的数列内容。它们表明，数列是非常古老的数学内容，在某些方面，古代数学家们已经做了很深入的研究。

虽然数列的历史久远，然而它与近现代数学却有着非常密切的联系。数列的极限是函数极限的基础，函数极限是微积分的基础，微积分又是近现代数学的基础。因此，数列虽历经千百年的发展，在今天依旧散发着青春活力。我们要学好近现代数学，必须要学好数列。

中学数学中，函数起着统领其他数学知识的作用。从函数的角度看，数列也可视为函数，是离散函数。此时函数的定义域为正整数集（或其子集（1，2，3，…，n）），当自变量由小到大取值时对应的一列函数值，便是数列。

在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。

数列无论是对我们的数学学习，还是个人的生活及发展都有着十分重要的作用。相信在数学的学习中，数列的奇妙之处一定会不断被发现。

弓月