简论“小数乘整数”教学实践与思考

陈晶

【摘 要】在计算教学过程中，需要让学生基于已有的经验对原来的运算和数量关系进行自然扩充，让学生联系已有的经验形成对运算意义的把握，形成计算方法，建立与已有计算过程的联系。在学生理解算理形成算法后，还需要适当回顾理解算理的过程，基于不同的经验去理解计算的规则，提升学生理解算理的水平。

【关键词】推广；联系；回顾

中图分类号：G623.56 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）31-0062-03

“小数乘整数”是苏教版小学数学五年级上册第五单元第一课时的教学内容，学生在学习本内容之前已经学习了整数的四则运算，认识了小数的意义，会计算小数的加减法。在教学过程中，大部分老师都是让学生根据题目直接列出小数乘整数的算式，然后将小数乘整数转化成整数乘整数来计算，在后续的学习过程中，通过练习形成计算技能。这样的教学过程，学生仅仅知道了小数乘整数可以转化成整数乘整数，并没有经历把整数集上的乘法运算扩充到有理数集上的过程，也没有建立起小数乘整数与整数乘整数之间的本质联系。在后续的学习过程中，并没有通过进一步的学习逐步加深学生对算理的体会，对于小数乘整数算理的理解仅仅停留于最初的研究水平。如何让学生经历四则运算的推广过程，建立小数乘整数与整数乘整数之间本质的联系，通过螺旋式上升的过程逐步提升学生对小数乘整数运算算理的理解呢？在这个单元的教学中，笔者进行了尝试，现将部分教学过程摘录如下：

一、运算推广，生成算式

学生前面学习的运算都是基于整数意义下的加、减、乘、除四则运算，在这里需要把原有的基于整数意义下的运算推广到有理数的运算，生成小数乘整数的算式，根据运算的意义探索小数乘整数的运算方法。

师：夏天的西瓜产量比较高，只有0.8元/千克（如图1）。夏天买3千克西瓜需要多少钱？

生1：每千克西瓜0.8元，3千克西瓜就是3个0.8元，算3个0.8相加是多少可以列出乘法算式：0.8×3。

师：真会推理！根据求几个相同的整数相加用乘法计算，想到求几个相同的小数相加也可以用乘法计算。

生2：从这个问题中知道了单价和数量，要求总价，就运用“单价×数量=总价”这个数量关系，可以这样列式：0.8×3。

师：这位同学由整数运算里的“单价×数量=总价”这个数量关系，想到了这个数量关系在小数运算里同样适用。刚才两位同学思考的过程有什么相同和不同的地方？

生3：都根据整数乘法算式想到了计算小数乘法算式，一个是借助于几个几相加来想的，另一个是借助于“单价×数量=总价”来想的。

师：借助于整数乘法的意义以及学过的数量关系想到小数乘法算式是个好方法！

通过减法运算，把自然数扩充到整数集，通过除法运算，把整数集扩充到有理数集。进一步把加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算都扩充到有理数集。当然，在进行运算推广的过程中，基于整数运算的意义和具体的情境抽象出来的数量关系也进一步推广。上述过程中，利用学生已有的解决问题的经验，把原有基于整数意义的乘法运算和相应的数量关系向小数推广，体会到小数乘整数的运算意义与整数乘法的运算意义相同，基于整数的意义抽象出来的数量关系，在小数中同样适用。一方面体会到运算扩充的过程，另一方面也逐步丰富了学生对原有数量关系的理解。

二、探索算理，形成算法

学生理解了小数乘整数的运算意义后，还需基于小数乘整数的运算意义去探索运算的方法，基于数和运算两个层次的意义建立小数乘整数与整数乘整数实质性的联系，体会到两者在运算技巧上的相通性。

师：0.8×3的结果是多少呢？自己先独立思考，然后和同桌交流。

（学生思考后组织交流）

生1：我是用加法算的，0.8+0.8+0.8=2.4，所以0.8×3= 2.4。

生2：我是把0.8元想成8角，8×3=24（角），24角也是2.4元，所以0.8×3=2.4（元）。

生3：我是把0.8当成8个0.1，8个0.1乘3等于24个0.1，24个0.1就是2.4，所以0.8×3=2.4。

师：同学们想到了三种方法，这三种方法有什么相同和不同的地方？

生4：他们都是把小数乘整数转化成已经学过的计算。第一种方法根据小数乘整数的意义，把小数乘整数还原成了小数加法，利用小数加法算小数乘法。

生5：第二、三种方法是利用整数乘整数想小数乘整数。第二种是借助于人民币的单位去想的，第三种是借助于计数单位去算的。

师：刚才这几种方法都能够算出小数乘整数的结果，选择你喜欢的方法，算一算下面几道题（如图2）。

师：在计算的过程中，你用了什么方法？

生6：如果借助于人民币的单位，那么思考过程会比较麻烦。直接借助于计算单位，把小数乘整数转化成整数乘整数简单一些。

师：以最后一道算式0.3×6为例，它是借助于哪道算式来帮助我们思考的？

生7：借助于3×6来思考的，想成3个0.1乘6的结果是18个0.1，所以是1.8。

师：你认为借助于3×6这道算式还可以帮助我们想哪个小数乘6？

（老师根据学生的回答整理，如图3）

师：以前借助于3×6可以帮助我们计算哪些整十、整百、整千数乘6的？

（老师根据学生的回答整理，如图4）

师：比较这两组算式，有什么相同与不同的地方？

生8：借助3×6这道算式不仅可以帮助我们计算整十、整百、整千数乘一位数，还可以帮助我们计算小数乘整数。

生9：小数乘整数其实和前面的一个数乘整十、整百和整千数的思考过程相同，只不过计数单位不同。

……

师：冬天的西瓜产量较少，价钱比较贵是2.35元/千克（图5），你能够算出冬天买3千克西瓜一共需要多少元吗？

生10：列算式是2.35×3，可以想成是235×3，想成235个0.01乘3，所以它的结果表示的是几个0.01。

生11：这道算式的计算过程如果感觉到麻烦，可以利用竖式来帮助计算。

师：（出示图6）小数乘整数像整数乘法一样，简单的我们可以口算，稍微复杂一点儿的就笔算。想一想：在计算小数乘整数的时候是转化成整数乘整数，但是与整数乘整数有什么不同的地方？

生12：小数乘整数转化成整数乘整数，在最后要点上小数点。

师：点小数点有什么窍门呢？观察我们刚才计算的一些算式，你能够找到点小数点的窍门吗？

生13：通过观察我们发现，乘数是几位小数，积就是几位小数。

生14：因为乘数的单位是0.1、0.01、0.001……那么结果的单位也就是0.1、0.01、0.001……所以乘数是几位小数，积就是几位小数。

……

对于小数乘整数，大部分老师在教学过程中仅仅停留于能够转化成整数乘整数来计算，小数乘整数和整数乘整数里面究竟有什么联系？可以这样来理解：所有的有限小数都可以写成以10的整数次幂为基底的形式。以0.03这个小数为例：0.03=3×10-2，这种形式与整十、整百数形式相当，以300这个百数为例：300=3×102，从形式上来看，两者是统一的。如果把300乘2，这其中的计算过程实质是这样的：300×2=3×102×2=3×2×102=6×102，联系计数单位表达就是：300乘2等于3个100乘2，结果是6个100，6个100是600；形式化的算法是：先算3乘2等于6，在6的后面再添上两个0。这种描述性的算理与形式化的算法与上面的算式表达实质相同，一个是抽象的数学算式，一个是基于儿童经验的表达。如果把0.03这个小数乘2，也就是这样的运算过程：0.03×2=3×10-2×2=3×2×10-2=6×10-2，联系计数单位的表述就是：3个0.01乘2，结果是6个0.01，6个0.01结果是0.06，形式化的算法就是：3乘2等于6，原来的0.03是两位小数，所以从积的右边起数两位点上小数点。从一个数乘整百数与小数乘整数的运算过程的算式表达来看，两者的运算过程是相同的。上述过程中，在学生联系计数单位把小数乘整数转化成整数乘整数后，通过进一步的联想生成一系列小数乘整数的算式。并且适时转换思维的角度，学生联想到前面的一个数乘整十、整百、整千数……通过联想与比较，理解两者的本质是相同的。通过对复杂算式的思考，进一步让学生理解，这里本质上的相通也包含运算形式上的相通，简单的算式直接口算，复杂的算式运用笔算，从内容和形式两个方面建立小数乘整数与整数乘整数的联系。

三、适时回顾，丰富认识

“算理”顾名思义就是对计算过程的理解，由于学生学习经验的限制，这种对算理理解的方式与数学家头脑里对算理理解的方式有区别。在后续学习了小数乘小数的计算之后，还需要进一步回顾小数乘整数的计算过程，丰富学生对小数乘整数计算算理的理解。在小数乘小数新课的学习快结束时，可以安排这样的回顾过程：

师：今天我们利用积的变化规律将小数乘小数转化成了整数乘整数。小数乘整数的计算过程可不可以利用积的变化规律来解释？谁来举个例子说说？

生1：0.8乘3，把0.8乘10，结果是8，8乘3的结果是24，因为乘数乘了10，所以，把24除以10，结果是2.4。

生2：小数乘小数是把两个数都转化成了整数，所以，乘得的积要除以两个数扩大倍数的积；而小数乘整数只是把其中的一个数转化成了整数，所以乘得的积只要除以一个数扩大的倍数。

从教材的安排序列来看，学生在学习了小数乘整数，基于小数乘整数的经验学习了小数的移动，然后基于小数点移动的经验将小数乘小数转化成整数乘整数。但是，从学生的学习经验来看，学生在学习了小数的意义后，完全可以理解并接受小数点移动的知识。所以，可以在学生学习了小数乘小数的运算方法后，再次基于积的变化规律去理解小数乘整数的运算过程，一方面加深学生对小数乘整数运算方法的理解，另一方面也让两者形成高度统一的运算过程，认识到小数乘整数与小数乘小数计算方法的一致性。

在计算学习过程中，如果遇到了基于新的数集的运算，需要让学生基于已有的经验对原来的运算和数量关系进行自然扩充；对计算算理的理解需要联系运算的意义，通过对数的意义的把握，建立与已有运算过程的联系；在学生理解算理、形成算法后，还需要适当回顾理解算理的过程，基于不同的经验去理解计算的规则，提升学生理解算理的水平。

（编辑： 张 婕）