新版的“平移、旋转和轴对称”究竟该怎么教

徐宏臻

【摘 要】苏教版小学数学教材四年级下册《平移、旋转和轴对称》的教学工作遇到颇多困难和疑问，因新教材至今使用还不到两年，对这一新内容的研究较少，尤其是对“旋转”的研究。为此，作者认为应该重视对新教材、新教法的研究，并提出了相关解决策略：重组教材、充分感知、紧扣对应、鼓励自创。

【关键词】苏教版；小学数学教材；平移、旋转和轴对称

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）31-0031-03

一、问题的提出

苏教版小学数学教材四年级下册安排了《平移、旋转和轴对称》。在教学“旋转”时，笔者颇感困惑，学生也感到十分困难。如在教学例3（见图1）时，学生能顺利地完成操作活动，并能在方格纸上画出旋转后的图形，但在做练习一第4题（见图2）时却感到十分困难，几乎不知所措。因为，这里的三角形不是直角三角形，而是任意三角形，只有一条边与格线重合；梯形是直角梯形，旋转点也不是直角顶点。有近一半以上的学生不能按要求独立完成，需要老师具体指导，或个别指导。即使在老师手把手地指导后，在完成练习一第10题时（类似于图2中的旋转一般三角形），仍有许多同学感到很为难。在指导画法时，虽然笔者多次强调，先确定和格线重合的边旋转后的位置，再找到和这边相对的角的顶点的位置，但由于学生还没学过三角形、梯形的底和高等相关概念，在操作时仍然失误颇多，需要再花时间进行训练。

这一问题是否具有普遍性？笔者询问了多位教过此内容的老师，大家一致认为有难度。究竟该如何有效地教学这部分内容？这不能不引起笔者的深思和探索。

由于是新教材（2014年12月才出版第一版，2015年春季才使用），至今还不到两年，因此，对这一新内容的研究较少，尤其是对“旋转”的研究。为此，我们应该重视对新教材、新教法的研究，并且也值得研究。

二、问题的分析

1. 知识分析

平移、旋转和轴对称属于刚体运动，在本质上是对应线段的平移、旋转和轴对称，而对应线段的平移、旋转和轴对称在本质上又是对应点的平移、旋转和轴对称，因为线段是由点连成的。在教学中，教师必须紧扣图形运动的本质，引导学生探索在方格纸上画运动后的图形的方法，而画运动后的图形的关键，在于根据运动前后图形中对应点或对应线段的关系，正确确定运动后图形的各点或各线段的位置，这就是这部分知识的“牛鼻子”。教师如能抓住这一“牛鼻子”，就能牵一发而动全身，从而自觉地、主动地去寻找图形中的关键点和关键线段，引导学生轻松、快乐地进行图形变换。

例如平移，通过平移得到的新图形与原图形在形状、大小上是完全全等的，并且新图形中的每一点或每一条线段都是由原图形中的对应点或对应线段通过平移得到的，连接各组对应点而成的线段，应是相互平行或重合的，并且长度是相等的。再如旋转，旋转前后两图形的大小、形状也是完全相同的，对应点到旋转中心的距离也是相等的，每两个对应点或对应线段在旋转方向上也是相同的，与旋转中心的距离也是相等的。而轴对称图形是能够沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合的，任何一组对应点到对称轴的距离（即垂直线段的长度）都是相等的，且垂足是同一点。在教学时，教师只要紧扣对应思想，让学生认识并学会找对应点或对应线段，就能让学生认识到平移、旋转和轴对称的数学本质，从而让其在理解的基础上画出运动后的图形，发展空间观念。

2. 教材分析

修订后的苏教版教材曾经在三年级上册让学生感受过平移、旋转和轴对称现象，紧接着在四年级下册第一单元又安排了上述内容的教学，而在第七单元才安排“三角形、平行四边形和梯形”的认识。此时，学生对这些基本图形的基本特征还未充分领悟和掌握，还不知道其中的关键点（如垂足和顶点等）和关键线段（如底和高等）。因此，在学习时学生只能整体感知，估摸画图，不能精细地感知和划分图形，更难以抓住其中的关键点或关键线段来描述图形的运动和画运动后的图形。修订前的教材正好相反，是在四年级下册先单独安排一单元（第三单元）教学“三角形”的认识，在第五单元教学“平行四边形和梯形”的认识，在此基础上，在第八单元才教学“对称、平移和旋转”。此外，编排次序也不尽相同，老教材是先学对称，再学平移，最后学旋转，新教材是先学平移，再学旋转，最后学轴对称。其实，在这三种运动中，“旋转”对学生来说是最难掌握的，因此，老教材把它放在最后教学是有一定道理的。即使是用老教材教，笔者发现，学生在学习“旋转”时也是相当困难，错误百出的。而且例题是教学直角三角形的旋转，两条直角边都在格线上，旋转点就是直角顶点，学生容易发现运动规律，但习题的跳跃性很大，是一般三角形和梯形，只有一条底边与格线重合，学生难以找到另一关键点或关键线段。教材这样编排，造成教师理解上的困惑和教学上的不知所措，原来积累的这方面教学经验也难以全部派上用场，只好让学生整体感知，模糊感知，或借助操作临摹，学生也只好模糊画图，约莫画图，错误难免较多。

3. 学情分析

画图形运动后的图形需要学生有较强的空间想象力，而空间想象力需要建立在空间知觉的基础上。要培养学生的空间知觉，需要学生有大量的感知和准确的体验，不但“眼中有图”，而且“脑中有图”。这些都需要学生积累大量的图形运动的实际经验，不但要按要求使图形运动起来，而且要反复观察，反复比较，从中感悟和发现运动规律，并且在脑中逐步建立表象，学会想象，而这些需要教者帮助学生在大量操作、观察、比较和交流的基础上，逐步把思维从形象思维过渡到表象思维，最后过渡到抽象思维，从而发展其空间观念。

实践证明，四年级学生的图形运动经验是不足的，他们的空间直觉是缺乏的，更不用说空间想象了，即使有，也是参差不齐的。因此，帮助学生通过实际操作积累图形运动经验是基础，不但要操作直角三角形，而且要适当操作一般三角形和梯形等，从而体验简单图形的运动过程，为在方格纸上画出其运动后的图形打下较为坚实的基础。

此外，在教学中，笔者还发现，对于画平移后的图形和补全轴对称图形的另一半，绝大部分学生能够理解和掌握，而画旋转后的图形则是教学难点，应予以重点关注。

4. 教学分析

在实际教学时，许多教师往往集中精力教学例3，引导学生把直角三角形按要求顺时针或逆时针旋转90°，但很少引导学生操作一般三角形，更不用说直角梯形了，导致学生缺乏对一般三角形和梯形运动经验的适当感知。此外，在教学例3时，许多教师往往满足于学生会操作、会画图即可，没有引导学生借助操作的经验，猜想图形运动后的位置，并通过操作进一步验证猜想和完善猜想，导致学生缺少表象，更难以想象。教师应该引导学生在大量操作的基础上，及时跳出操作，引导学生边操作边想象，并逐步过渡到先在脑中操作，再用操作验证想象，让学生的思维不断地在形象、表象和抽象之间来回穿梭，从而有效地发展学生的空间想象力，培养其空间观念。

三、问题的解决

1. 重组教材

在学生已经学过直线、射线、线段和角，直观地认识一些图形的基础上，四年级可先教学“三角形、平行四边形和梯形”的认识，初步认识这些图形的基本特征，以及关键的点和线段，再教学“平移、旋转和轴对称”，最后教学“确定位置”。在编排“平移、旋转和轴对称”这部分内容时，最好把“旋转”置后，让学生在积累一些图形变换经验和画图基本方法的基础上再学习它，以便化解难点。这样重组后，教学内容由易到难，循序渐进，符合学生的认知规律，有利于学生逐步掌握，也便于逐步发展学生的空间观念，使其感受数形结合和图形转换等数学思想方法。

2. 充分感知

在教学中，教师必须高度重视形象的作用，让学生在充分操作、反复感知的基础上不断增强切身体验，整体感知图形运动后大致的位置，从而依据运动现象，发现运动规律，感悟运动本质。可以让学生先想象再操作验证，做到边想边动，动想结合，从在“手上操作”逐步过渡到在“脑中操作”，直至形成空间表象和空间直觉。如在教学例3时，可让学生先剪下教材中第113页、与旋转图形完全相同的纸片，然后让学生动手操作，在方格纸上绕点A逆（顺）时针旋转90度得到旋转后的图形。之后，让学生多次旋转，不断增加感性认识，积累活动经验。最后让学生进行比较，充分感知旋转前后图形对应点之间的关系，以及对应边之间的关系：水平方向的直角边变为垂直方向的直角边，而垂直方向的直角边变为水平方向的直角边，这是直角三角形绕直角顶点旋转的情况，并在头脑中想象这个直角三角形多次这样旋转后的图形。如果学生还是难以想象，可以引导其再次借助操作帮助思考，整体把握运动后图形的位置。接着，让学生剪下第113页中的其他图形，每个图形设一个点A，然后分别绕点A顺时针或逆时针旋转90度，从而获得旋转经验，积累丰富的表象，理解各个对应点和对应线段之间的关系，为进行数学思考作充分的铺垫。在此基础上，让学生独立尝试完成练习一中的第4题和第10题，并予以适当帮助。

3. 紧扣对应

在教学中，教师必须依据图形运动的本质，紧扣对应关系，引导学生根据运动前后图形中各对应点或对应线段的相互关系和变换规律，正确确定运动后图形的各关键点或关键线段的位置，在此基础上画出全图。这在上文已经介绍过，这里不再赘述。

4. 鼓励自创

由于重视学生操作经验的积累和体验，重视运动本质的感悟和揭示，重视表象和想象的作用，学生的空间直觉不断丰富，空间想象力不断发展，他们在画运动后的图形时，能自主探索，自创画法。如在解决上述练习一第4题时，有的学生认为先剪一个与三角形或梯形完全相同的图形，覆盖在原图上，再按要求旋转它们，最后按图画出旋转后的图形，但有的学生认为此法太麻烦，只动手，没动脑；有的学生认为要利用三角形的直角边进行对应线段的旋转，先画出与格线重合的线段的旋转，之后从另一顶点出发，将三角形分为两个小的直角三角形，把梯形分为一个小直角三角形和一个小长方形，再画出与旋转点相邻的小直角三角形旋转后的图形，在此基础上确定另外的点，从而画出全图（如图3），这一画法与图形的放大与缩小的画法极为相似；还有一部分学生直接将三角形或梯形的高的概念运用到画旋转后的图形中来，先画出底边上的高，再分别旋转新增的小直角三角形，最后根据图形之间的关系画出全图（如图4）；还有的学生运用转化思想，将三角形、直角梯形放在一个长方形里，即先旋转所在的大长方形，画出长方形旋转后图形，因为画长方形旋转后的图形相比而言要简单一些，在此基础上确定各个对应点，画出里面一般三角形和直角梯形（如图5），认为这种画法简便。学生先独立思考，自主探索，再在组内交流，最后全班评议。笔者让学生自主选择自己理解的、喜欢的画法画图，从而有效地突破了难点。

通过上述改进，学生不但准确地把握了简单图形三种运动的本质，加深了对平移、轴对称和旋转等图形运动的理解，而且会用多种方法画出运动后的图形，强化了对这几种简单图形的认识，还为今后进一步学习各种几何图形及其运动打下基础，并培养了实践能力和创新意识，发展了空间观念，提升了数学思维。

（编辑：赵 悦）